Manipulador 2R Trabalho Final - Sistemas Não Lineares

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1 Manipulador 2R Trabalho Final - Sistemas Não Lineares Traple, A. Rigoni, R. Departamento de Automação e Sistemas, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis-SC, Brazil {andretraple, ronirigoni}@gmail.com Abstract: In this paper we propose two methods to control a two-link planar elbow arm: a Feedback Linearization Control (PID and PD) and a Sliding Mode Control (SMC). The main idea is to design a positioner control. Simulation results were obtained using MATLAB software in order to compare the different strategies. Keywords: Manipulator, Two Planar Elbow Arm, Sliding Mode Control, FeedBack Linearization. INTRODUÇÃO Um problema clássico em controlar robôs é fazer com que o manipulador siga uma trajetória pré-definida. E antes dele poder fazer qualquer coisa útil, ele precisa ser capaz de ir para o lugar certo através de certas circunstâncias. Assume-se aqui que o robô está se movendo em um espaço livre, sem contato algum com qualquer objeto do ambiente. Isto quer dizer que não há nenhuma outra força além do peso do próprio manipulador. Também assumirá-se que os modelos dos manipuladores são bem conhecidos. Controle na presença de incertezas ou parâmetros desconhecidos requerem um tratamento especial, por exemplo: controle robusto e controle adaptativo. E não será abordado aqui. O controle de manipuladores 2R é uma importante tarefa na indústria. Atualmente, cada vez mais, se busca automatizar processos para se aumentar a produção e evitar que pessoas tenham que se submeter a ambientes nocivos ou a algum trabalho que possa ser danoso, por exemplo, processos são requeridos movimentos repetitivos. O estudo nessa área é extenso, como pode ser visto em: Dawson (24) e Sciavicco (29). Um desenho esquemático do manipulador é mostrado na Figura. 2. MODELAGEM MATEMÁTICA A dinâmica do manipulador é dada por: M(q). q + V (q, q) + G(q) = τ () M(q) é a matriz de Inércia, V (q, q) representa a forças Centrífugas e de Coriolis, G(q) é o vetor de forças Gravitacionais e τ é o vetor de s aplicado nas juntas. Abaixo seguem as matrizes M(q), V (q, q) e G(q): Figure. Esquemático do Manipulador 2R M = [ ((m + m 2 )a 2 + m 2 a m 2 a a 2 cos(q 2 )) (m 2 a m 2 a a 2 cos(q 2 )) ] (m 2 a m 2 a a 2 cos(q 2 )) (m 2 a 2 2) V = [ ] ( m2 a a 2 (2 q q 2 + q 2)sin( 2 q 2 )) (m 2 a a 2 q sin(q 2 2 )) G = [ ] ((m + m 2 )ga cos(q ) + m 2 ga 2 cos(q + q 2 )) (m 2 ga 2 cos(q + q 2 )) Massa dos elos (m i ) Comprimento dos elos (a i ) Table. Parâmetros. Kg m

2 3. DESENVOLVIMENTO DO CONTROLADOR Nesta seção serão apresentados os controles desenvolvidos e suas respectivas modelagens. Considerando N = G + V. Tem-se: M(q). q + N(q, q) = τ (2) w n = 4,8 t 5% ξ w n = (6) k p = w 2 n = (7) Isolando q, temos: q = M (τ N) (3) Calculando k v e k p pelas equações 2 e 3, chegamos a: O erro e suas derivadas são dados por: e = q d q (4) k v = 2 2 ė = q d q (5) k p = ë = q d q (6) Substituindo 3 em 6, obtemos: ë = q d M (τ N) (7) Fazemos ë = u e isolamos τ, chegamos a: τ = M( q d u) + N (8) Este controle é chamado de Computed. 3. Controle PD Para o controlador do tipo Proporcional Derivativo temos: u = K v ė K p e (9) E considerando a dinâmica do erro como: ë + k v ė + K p e = () comparando com a forma padrão para um sistema de segunda ordem: s 2 + 2ξw n s + w 2 n = () temos que: k v = 2ξw n (2) Então, chegamos que nossa saída de controle é: τ = M( q d u) + N (8) u = k v ė k p e (9) Este controle é chamado de PD Computed. Abaixo segue os resultados para segmento de referência de q =π/2 e q 2 =π/ Figure 2. Posição das Juntas - PD e k p = w 2 n (3) 8 6 Temos como especificação um tempo de resposta t 5% =.48 segundos e um sistema sem overshoot. Escolhemos por um sistema criticamente amortecido. Para um sistema criticamente amortecido temos: t 5% = 4,8τ (4) ξ = Como τ = ξw n (5) Figure 3. /Controle Aplicado - PD Como pode ser visto nas figuras 2 e 3 as especificações de tempo e pico foram atendidas.

3 3.2 Controle PID Para o controlador do tipo Proporcional Integral Derivativo temos: u = K v ė K p e K i ǫ (2) ǫ = e. Utilizamos os mesmos valores K p e K v encontrados para o PD, e considerando o critério de estabilidade Routh-Hurwitz, temos que: k i < k v k p Dessa forma, os ganhos são: Figure 5. /Controle Aplicado - PID.8 k v = k p = k i = Figure 6. Posição das Juntas c/ Pertubação - PID Então, chegamos que nossa saída de controle é: τ = M( q d u) + N (2) 8 u = K v ė K p e K i ǫ (22) Este controle é chamado de PID Computed. Abaixo segue os resultados para segmento de referência de q =π/2 e q 2 =π/ Figure 7. /Controle Aplicado c/ Pertubação - PID 3.3 Sliding Mode Control Para o cálculo do Sliding Mode Control utilizamos a seguinte função de Lyapunov: Sua derivada: V (x) = 2 σ2 (23) V (x) = σ σ (24) Figure 4. Posição das Juntas - PID Foram consideradas perturbações na saída depois de 5 segundos, para análise do PID. Os resultados podem ser vistos nas figuras 6 e 7. Como pode ser visto o PID foi capaz de rejeitar a perturbação na saída. Levando o erro a zero novamente. E a superfície de comutação é dada por: σ = S (q r q) + S 2 ( q r q) σ = S e + S 2 ė (25) Sendo S,S2 >. E sua derivada: σ = S ė + S 2 ë (26) Substituindo a equação 26 em 24:

4 V (x) = σ(s ė + S 2 ë) (27) Como u = ë, u = u n + u, chegamos a: Isolando u : V (x) = σ(s ė + S 2 u n + S 2 u ) (28) V (x) = σ(s ė + S 2 u n ) + σs 2 u (29) Para deixar a função de Lyapunov apenas dependente de u, cancelamos o resto da equação fazendo: Então temos: Logo definimos u como: u n = S S 2 ė (3) V (x) = σs 2 u (3) Figure 9. /Controle Aplicado - SMC Os resultados do Sliding Mode Control com ANTI-CHATTERING são mostrados nas figuras e abaixo. u = {, se σ(x), se σ(x) > (32) 2.8 Chegamos que nossa saída de controle é: τ = M( q d u) + N (33).2.8 u = u n + u u n = S S 2 ė u = sgn(σ) (34) Figure. Posição das Juntas c/ Anti Chattering - SMC Os resultados do Sliding Mode Control são mostrados nas figuras 8 e 9 abaixo Figure 8. Posição das Juntas - SMC Como pode ser observado a referência foi seguida, porém o controle apresenta comutação em alta frequência (Chattering). Para resolver este problema foi emplementado o Sliding Mode Control com Anti Chattering, mostrado na próxima seção. 3.4 Sliding Mode Control com Anti Chattering Para reduzir o Chattering utilzamos a função abaixo: {, se σ(x) <. u = σ, se -. < σ(x) <., se σ(x) >. (35) Figure. /Controle Aplicado c/ Anti Chattering - SMC Como pode ser visto a frequência de comutação foi drasticamente reduzida sem depreciação da resposta. Dessa maneira os atuadores são preservados. 4. COMPARAÇÕES Com o intuito de comparar os 2 controles Feedback Linearization entre si, aplicamos uma perturbação de torque. Abaixo seguem os resultados. Como pode ser visto o Controlador do tipo PD (Proporcional Derivativo) não foi capaz de rejeitar a perturbação. O que era esperado para esse tipo de sistema.

5 Posição Angular das Juntas (rad) Figure 2. Posição das Juntas c/ perturbação de torque - PD Porém pode ser visto nas figuras 2 e 4 que para o segmento de referência o controlador PD desenvolve uma resposta melhor. Com tempo de resposta abaixo de meio segundo e sem overshoot. A resposta mais lenta e com overshoot do controlador PID é causada pelo pólo adicionado em zero para a rejeição de perturbação. Para uma melhor comparação fizemos um segmento de trajetória senoidal aplicando nos 3 controles: Feedback Linearization PD, Feedback Linearization PID e Sliding Mode Control. Abaixo seguem as figuras de posição angular e torque aplicado de cada controle..6.4 Erro de Figure 6. Posição das Juntas - PD Figure 3. Erro da Posição c/ perturbação de torque - PD Figure 7. Aplicado - PD Figure 4. Posição das Juntas c/ perturbação de torque - PID.6.4 Erro de Figure 5. Erro da Posição c/ perturbação de torque - PID A mesma perturbação foi aplicada no sistema com o controlador do tipo PID (Proporcional Integral Derivativo). Neste caso o controlador foi capaz de rejeitar a perturbação levando o erro a zero novamente Figure 8. Posição das Juntas - PID Como pode ser visto comparando as figuras 6, 8 e 2, os controles PD e PID têm um tempo de resposta bem mais rápido que o SMC. Porém analisando as figuras 7, 9 e 2, verificamos que o torque aplicado pelo PD e pelo PID é muito maior. Se implementássemos esses controles numa planta real teríamos que considerar as limitações dos atuadores.

6 Figure 9. Aplicado - PID Figure 2. Posição das Juntas - SMC Neste trabalho foram implementadas duas técnicas de controle de sistemas não lineares: Feedback Linearization e o Sliding Mode Control. Estes foram analisados para segmento de referência de degrau e senoidal. E então foram comparados entre si. Verificamos que o PD não rejeitou perturbações de torque, como esperado. Porém este apresentou um tempo de resposta bem menor ao ser comparado com o PID e SMC. Podemos constatar também que, para rejeição de perturbações de torque fez-se necessário a introdução de um pólo em zero (PID), o que aumentou consideravelmente o tempo de resposta do sistema. O SMC também apresentou uma resposta mais lenta que a do PD, porém este fator é de certa forma compensado pela robustez dessa técnica de controle em comparação com o Feedback Linearization. No segmento de trajetória senoidal, vimos que em regime permanente os controles foram capazes de reduzir o erro a próximo de zero. E que os controles baseados em Feedback Linearization (PD e PID) foram bem mais rápidos comparados ao Sliding Mode Control. Outro aspecto a ser observado é atenuação na frequência de chaveamento causada pela introdução do anti-chattering no controle SMC. Tendo em vista que comutações excecissas degradam os atuadores, vê-se que em um sistema real o antichettering se mostra de grande valia. Enfim, neste artigo podemos implementar técnicas de controle para sistemas não lineares baseadas na interessante transformação do Computed, que facilita muito o desenvolvimento destes controladores. REFERENCES Dawson (24). Control of Robot Manipulators. publisher. Sciavicco, L. (29). Robotics Modelling,Planning and Control. Springer Figure 2. Aplicado - SMC Para segmento de trajetória senoidal, verificamos que os 3 controles levaram o erro praticamente a zero. Porém já foi mostrado acima que o controle PD não reijataria perturbações. E como todos os controles implementados nesse trabalho seguem o modelo do Computed. Lei de controle do Computed : τ = M( q d u) + N (36) É importante ressaltar a robustez do controle SMC quanto a má estimação de parâmetros, por exemplo: as matrizes M, V e G. Grande vantagem deste tipo de controle, comparado a PI s e PID s que são altamente dependentes do modelo. 5. CONCLUSÕES