RELATÓRIO DE PROJECTO

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1 Métodos Computacionais Instituto Superior Técnico RELATÓRIO DE PROJECTO André Lucas N.º Nuno Victoriano Lameiro N.º Vasco van Zeller N.º 53104

2 ÍNDICE INTRODUÇÃO...2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS...3 DESCRIÇÃO DO ALGORITMO E DOS PROGRAMAS...4 RESULTADOS...? DISCUSSÃO DOS RESULTADOS...?

3 INTRODUÇÃO Este relatório descreve o estudo realizado sobre a aplicação da Regra do Trapézio Composta Corrigido (RTCC) para cálculo integral. O projecto tem como objectivo implementar a RTCC num algoritmo de cálculo integral. Este algoritmo foi implementado e testado em duas linguagens, Fortran e Matlab. Os programas têm as mesmas funcionalidades. Considerando a RTCC (ou qualquer metodo de integração numerico), é intuitivo pensar que a exactidão do resultado é afectado de uma forma previsivel pelo numero de intervalos de integração, a velha regra de quantos mais melhor. No entanto, embora essa tendencia se verifique, mais a frente veremos, que não passa disso mesmo: uma tendencia, não uma linearidade. Os graficos apresentados são baseados nos resultados gerados pelo programa para cada uma das 4 funções, fazendo variar o número de intervalos de integração numa gama de 50 a 1000 com incrementos de 50. Os resultados em bruto podem ser examinados no Anexo A deste relatório. As quatro funções a integrar eram: 1 Função 1: f(x) = sin 2 ( x ) Inserir gráfico das funções aki Função 2: f(x) = 5x + ( x 1) Inserir gráfico das funções aki 4 Função 3: f(x) = ( x 2 + 1) Inserir gráfico das funções aki 1 Função 4: f(x) = x + x Inserir gráfico das funções aki 2 5

4 FUNDAMENTOS TEÓRICOS A regra do trapezio corrigida composta é apenas um de vários algoritmos para calcular integrais numéricamente.

5 RESULTADOS Função 1: f(x) = 1 sin ( 2 x ) INTEGRAL DA FUNÇÃO 1 Valor do integral 7,92E-01 7,90E-01 7,88E-01 7,86E-01 7,84E-01 0, ,82E-01 7,80E-01 7,78E-01 7,76E-01 7,74E-01 7,72E-01 7,70E-01 7,68E-01 Gráfico 1 ERROS (ABSOLUTO E RELATIVO) 2,5E-02 2,0E-02 Valor dos erros 1,5E-02 1,0E-02 5,0E-03 0,0E+00 Erro absoluto Erro relativo Gráfico 2

6 Função 2: f(x) = 5x + ( x 1) 5 INTEGRAL DA FUNÇÃO 2 10,02 10,00 9,98 Valor do integral 9,96 9,94 9,92 9,90 9,88 9,86 9,84 Integral calculado por derivada analítica Integral com derivada por diferenças finitas Valor exacto do integral Gráfico 3 ERROS (ABSOLUTO E RELATIVO) 1,6E-01 1,4E-01 Valor dos erros 1,2E-01 1,0E-01 8,0E-02 6,0E-02 4,0E-02 2,0E-02 0,0E+00 Erro absoluto (derivada analítica) Erro absoluto (derivada por diferenças finitas) Erro relativo (derivada analítica) Erro relativo (derivada por diferenças finitas) Gráfico 4

7 4 Função 3: f(x) = ( x 2 + 1) INTEGRAL DA FUNÇÃO 3 3,144 3,142 3,140 Valor do integral 3,138 3,136 3,134 3,132 3,130 3,128 3,126 Integral calculado por derivada analítica Valor verdadeiro do integral Integral calculado com derivada por diferenças finitas Gráfico 5 ERROS (ABSOLUTO E RELATIVO) 1,6E-02 1,4E-02 Valor dos erros 1,2E-02 1,0E-02 8,0E-03 6,0E-03 4,0E-03 2,0E-03 0,0E+00 Erro absoluto (cálculo com derivada analítica) Erro absoluto (cálculo com derivada por diferenças finitas) Erro relativo (cálculo com derivada analítica) Erro relativo (cálculo com derivada por diferenças finitas) Gráfico 6

8 1 Função 4: f(x) = x + x 2 INTEGRAL DA FUNÇÃO 3 Valor do integral 4,84 4,84 4,83 4,83 4,82 4,82 4,81 4,81 4,80 4,80 4,79 4,79 Valor do integral calculado com derivada analítica Valor exacto do integral Valor do integral calculado com derivada por diferença finitas Gráfico 7 ERROS (ABSOLUTO E RELATIVO) 4,5E-02 4,0E-02 3,5E-02 Valor dos erros 3,0E-02 2,5E-02 2,0E-02 1,5E-02 1,0E-02 5,0E-03 0,0E+00 0 Número de Intervalos Erro Absoluto Erro Relativo Erro Absoluto (Derivada Finita) Erro Relativo (Derivada Finita) Gráfico 8

9 DISCUSSÃO Perante os graficos, podemos extrair as seguintes observações: Tal como esperado, o valor do integral calculado tende para o valor exacto à medida que o número de intervalos aumenta. Essa tendência é excepcionalmente demonstrada no caso da função 1, onde as curvas de erro assumem um padrão particularmente previsível. De notar que a função 1 e periódica. No caso das outras funções, verifica-se que há picos de erro, mas que esses picos vão sendo gradualmente menores, à medida que o numero de intervalos tende para infinito. Em todas as funções há um pico de erro quando se efectua o calculo considerando 150 intervalos. Até agora não conseguimos explicar esse facto, e talvez uma analise dos erros mais precisa (que estudasse todos os intervalos entre 1 e 1000) pudesse explicar o fenomeno, mas parece-nos que ficaria fora do ambito deste projecto. Outro pormenor notável é o facto de o valor do integral calculado apenas exceder o valor do integral no caso (novamente) da função 1. De notar que esta é uma função periódica. O calculo com ou sem derivadas centradas finitas é quase irrelevante, como ilustram claramente os gráficos.