Utilização do Conjunto de Cantor para a resolução da Torre de Hanoi

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1 Utilização do Conjunto de Cantor para a resolução da Torre de Hanoi Filipe Daniel Lemos FEUP Dezembro de 2004 Resumo Segundo trabalho para a cadeira de Física dos sitemas dinâmicos do curso de LEIC da FEUP. O tema desenvolvido é o estudo de um fractal, o Conjunto de Cantor, especificamente na sua utilização para a resolução da Torre de Hanoi. 1 Torre de Hanoi A Torre de Hanoi é um puzzle matemático inventado em 1883 por Edouard Lucas, que consiste em 3 postes e um conjunto de peças circulares de tamanho decrescente no primeiro poste, o mais pequeno no topo para formar um cone. O objectivo é mover o conjunto para outro poste, apenas uma peça de cada vez e não se podendo colocar uma peça sobre outra se esta última, não for maior. Considera-se a solução do problema, à lista de movimentos unitários a seguir, de maneira a mover a torre no número mínimo de movimentos. 1

2 2 Resolução Recursiva Para mover uma torre de n peças de um poste X para um poste Y (com o terceiro, Z, auxiliar), pode-se usar o seguinte método: n = 1, move-se a peça de X para Y. n > 1, efectuam-se os 3 passos seguintes: Passo 1: Move-se a torre n 1 de X para Z, usando este método. Passo 2: Move-se a primeira peça de X para Y. Passo 3: Move-se a torre n 1 de Z para Y, usando este método. Os passos 1 e 3 do método para n > 1 são resolvidos usando o próprio métdo, donde vem a denominação recursiva da resolução. O número mínimo de movimentos para mover uma torre n peças pode ser calculado através de um modo semelhante: { f[1] = 1 f[n] = 2f[n 1] + 1, n > 1 Simplificando, é possivel obter a função equivalente: g[n] = 2 n 1. Este método é fácil de implementar utilizando computadores. No entanto manualmente este método torna-se extramamente confuso, devido ao elevado número de movimentos como mostra o gráfico seguinte, que relaciona o número de peças de uma torre com o número de movimentos mínimos para a resolver. 2

3 3 Resolução com o Conjunto de Cantor 3.1 Conjunto de Cantor Este fractal é construído de um segmento de comprimento unitário. Forma outro ao qual é removido o terço central, obtendo dois segmentos, que por sua vez são submetidos à mesma operação. Depois de repetir infinitas vezes esta operação obtêm-se um subconjunto de números reais conhecido pelo Conjunto de Cantor (Cantor s Set). A representação gráfica é a seguinte: Este fractal exibe muitas propriedades para além das discutidas aqui. 3.2 Método Fractal Para resolver uma torre com n peças usando o Conjunto de Cantor, começa-se por associar um número a cada peça, de baixo para cima, para que a maior seja 1 e a menor n. No fractal do Conjunto de Cantor, ignora-se as iterações acima de n, e definem-se intervalos de maneira a obter uma série de numeros que correspondem ao numero de linhas horizontais. Cada número corresponde a um movimento da peça com esse número e com direcções diferentes caso seja par ou impar. 3

4 O conceito de direcção para a frente pode ser visto pelo esquema: Assim, associando as peças ímpares com a direcção para a frente, obtêm-se a solução para que a torre passe de A para B. No caso contrário a solução é de A para C. Pode-se então associar a direcção para a frente a números pares ou ímpares, na medida em que esta não seja alterada durante a resolução. 3.3 Explicação do Método Fractal Este método baseia-se na abstracção do método recursivo, através de uma representação fractal. Ambos os métodos baseiam-se na passagem da torre n através de três passos, de mover a torre n 1, o disco restante, seguido novamente da torre n 1, e repetindo. No entanto o método fractal representa a passagem de uma torre através de apenas um segmento e não de todo um protocolo como o primeiro método. Na representação do Conjunto de Cantor, o segmento original corresponde à passagem de toda a torre n, a divisão em dois segmentos no primeiro e último terços representa a simplificação dessa passagem através dos 3 passos já explicados: o primeiro segmento move a torre n 1, o intervalo no qual não irá existir mais nenhum segmento corresponde ao movimento do disco restante e segue-se a reposição da torre n 1. Repetindo para todos os segmentos até que as torres n 1 sejam na realidade apenas discos unitários. Pode-se de certo modo afirmar então que o método fractal é apenas uma representação alternativa do método recursivo. No entanto existe uma diferença importante: a abstracção ao problema. No método recursivo tinha um nível de abstracção baixo, ao qual devia-se o facto de se trabalhar com os discos e precisar, para cada uma nova iteração, de conhecer os postes de origem, destino. Como foi dito anteriormente, não é dificil de correr num computador, mas manualmente é confuso. No método fractal, o elevado nível de abstracção permite representar as iterações apenas como segmentos que constituem o fractal, e usando essa representação retirar facilmente a solução. Manualmente torna-se muito mais simples resolver o problema e mesmo com computador não é mais dificil que o primeiro método. De notar que, como todas as representações dos fractais na natureza, o usado para este método de resolução é finito. É óbvio que um fractal infinito, o número de peças da torre resolvido pela solução é também ele infinito (assim como o número de movimentos necessários para o resolver). 4

5 4 Conclusão Com este trabalho pretende-se mostrar como recorrer à propriedade dos fractais de existirem dentro da sua representação para implementar algoritmos recursivos. Dentro dessa categoria, o algoritmo da Torre de Hanoi é possivelmente dos mais simples, podendo ser associado ao, também ele simples, fractal do Conjunto de Cantor. Numa utilização mais avançada de fractais para resolver algoritmos que usam recursividade pode ser mais dificil encontrar um fractal correspondente e um método de conversão do fractal para dados do problema. Apesar disso, esta associação entre fractais e algoritmos recursivos parece mostrar que existe interesse num aprofundamento desta área. 5 Bibliografia Sítio da cadeira de FSD: Sobre o Conjunto de Cantor: Sobre a Torre de Hanoi: of Hanoi 5