Fernando Silva DCC-FCUP. Estruturas de Dados

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1 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-Conquistar Fernando Silva DCC-FCUP Estruturas de Dados Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-Conquistar Estruturas de Dados 1 / 18 Recursão Uma função diz-se recursiva quando se chama a si própria, directa ou indirectamente. A recursão: é uma técnica de programação poderosa que, muitas das vezes, simplifica imenso a definição da solução, a sua percepção e implementação. permite, à semelhança dos ciclos, repetir a execução de um conjunto de instruções. está na base de uma técnica algoritmica, dividir-para-conquistar, em que a resolução de um problema consiste na sua decomposição em sub-problemas idênticos de menor complexidade, repetindo-se nestes o mesmo algoritmo. Exemplo: Factorial: fact(n) = n fact(n 1), n 1 e fact(0) = 1 Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-Conquistar Estruturas de Dados 2 / 18

2 A função factorial A definição recursiva da função factorial: 1 se n=0 n! = fact(n) = n fact(n 1) se n>0 Exemplo: 5! = = 5 ( ) = 5 4! Importante: o 0! = 1 funciona como caso base ou base de terminação da recursividade (i.e o que permite parar a recursividade). Funções recursivas têm de ter: pelo menos um caso base de paragem da recursividade apenas uma chamada recursiva (possivelmente com vários pontos de chamada). A chamada recursiva deve aproximar-se do caso base de terminação. Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-Conquistar Estruturas de Dados 3 / 18 Implementação Factorial Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-Conquistar Estruturas de Dados 4 / 18

3 Recursividade Linear Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-Conquistar Estruturas de Dados 5 / 18 Recursividade Binária Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-Conquistar Estruturas de Dados 6 / 18

4 Recursividade Binária - árvore de execução Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-Conquistar Estruturas de Dados 7 / 18 Recursividade na cauda (tail recursion) As funções recursivas gastam normalmente mais memória (criam novos ambientes de execução em cada chamada). Diz-se que um algoritmo exibe recursividade na cauda se a chamada recursiva for a última instrução do algoritmo. Nestes casos, podemos sempre converter o algoritmo numa versão não recursiva potencialmente mais eficiente. Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-Conquistar Estruturas de Dados 8 / 18

5 Torres de Hanoi Jogo do século XIX associado a uma história da construção do Templo de Brahma. Dadas 3 pegas em diamante, uma das quais com 64 discos em ouro, foi pedido aos bispos que deslocassem todos discos da 1 a para a 3 a pega, eventualmente usando a 2 a pega, mas sem nunca colocarem um disco maior em cima de um menor. Foi-lhes dito que quando terminassem seria o fim do mundo. Problema: dadas 3 torres A, B e C, como deslocar os discos de A para C, eventualmente usando B, deslocando um disco de cada vez e sem nunca colocar um disco maior em cima de um menor. Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-Conquistar Estruturas de Dados 9 / 18 Torres de Hanoi: uma solução (1) Objectivo é partindo de uma configuração inicial chegar a uma configuração final, deslocando um disco de cada vez e sem nunca colocar um disco maior em cima de um menor: Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-ConquistarEstruturas de Dados 10 / 18 Que passos devo dar?

6 Torres de Hanoi: uma solução (2) Suponhamos que conseguimos passar N-1 discos de A para B, usando C como temporário, ficando: Para chegar à solução final, os movimentos seguintes seriam: passar o disco maior de A para C passar os N-1 discos de B para C usando A como temporário O número mínimo de movimentos para chegar à solução é 2 N 1, para N discos. Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-ConquistarEstruturas de Dados 11 / 18 Torres de Hanoi: método moverdiscos() Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-ConquistarEstruturas de Dados 12 / 18

7 Torres de Hanoi: classe principal Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-ConquistarEstruturas de Dados 13 / 18 Torres de Hanoi: árvore de recursão A árvore de recursão correspondente à chamada moverdiscos(3, A, C, B ), representando-se apenas os argumentos do método. Na figura, A->C significa que um disco da torre A é deslocado para a torre C. Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-ConquistarEstruturas de Dados 14 / 18

8 Retrocesso (backtracking) Esta técnica é normalmente usada para se encontrar todas as soluções de um problema, por construção de soluções parciais. O algoritmo procura extender a solução parcial até estar completa, mas se alguma inconsistência acontecer o algoritmo retrocede (faz backtracking), removendo a parte da solução mais recentemente construída e tenta outra possibilidade. Exemplo/Problema: Calcular todas as soluções do problema de colocar N rainhas num tabuleiro N N sem que se ataquem mutuamente. Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-ConquistarEstruturas de Dados 15 / 18 Solução para as 8 Rainhas: classes Vamos estruturar uma implementação com duas classes: Notas sobre a solução: Apenas precisamos de um vector, s[], para representar a solução que se está a construir no tabuleiro (não precisamos da matrizes). Neste caso, s[c]= l; representa que na linha l e coluna c está colocada a rainha número c. Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-ConquistarEstruturas de Dados 16 / 18

9 Solução para as 8 Rainhas: colocarainhas() Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-ConquistarEstruturas de Dados 17 / 18 Solução para as 8 Rainhas: atacada() Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-ConquistarEstruturas de Dados 18 / 18