Introdução à Programação / Programação I

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1 Introdução à Programação / Programação I Aula 19: Mais exemplos de recursão Rita P. Ribeiro 2018/2019 Departamento de Ciência de Computadores

2 Nesta aula 1. Desenhar árvores 2. Torre de Hanoi 3. Ordenação QuickSort INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 1

3 Desenhar árvores

4 Desenhar árvores Vamos fazer uma função recursiva para desenhar árvores usando turtle graphics. INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 2

5 Desenhar árvores (cont.) Parametrizamos a árvore pelo número de bifurcações n. Para desenhar uma árvore de ordem n: 1. desenhamos o tronco; 2. rodamos à esquerda e desenhamos uma árvore de ordem n 1; 3. rodamos à direita e desenhamos outra árvore de ordem n 1. Entre os passos 2 e 3 devemos repor a posição e orientação da tartaruga. INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 3

6 Desenhar árvores (cont.) size tamanho em pixels ratio fração de tamanho do tronco angle ângulo de rotação para as sub-árvores INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 4

7 Em Python def draw_tree(n, angle, size): ratio = 0.30 forward(ratio*size) # desenhar uma linha if n>0: nsize = (1-ratio)*size (x,y) = position() # guardar posição e orientação h = heading() left(angle) draw_tree(n-1, angle, nsize) penup() # evita desenhar goto(x,y) # repor a posição e orientação setheading(h) pendown() # voltar a desenhar right(angle) draw_tree(n-1, angle, nsize) INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 5

8 Exemplos draw_tree(6,20,300) draw_tree(6,90,300) INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 6

9 Torre de Hanoi

10 Torre de Hanoi A Torre de Hanoi é um quebra-cabeças matemático: numa base com três pinos são dispostos discos de diâmetro crescente; o objetivo é mover todos os discos de um pino para um outro usando o terceiro pino como auxiliar; só podemos mover um disco de cada vez; não podemos colocar um disco sobre outro de diâmetro menor. INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 7

11 Torre de Hanoi (cont.) Fonte: INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 8

12 Solução recursiva Designamos os três pinos por A, B, C. Para mover n discos de A para C: se n = 1 simplesmente movemos o disco no topo de A para C. se n > 1 vamos usar o pino B como auxiliar: 1. recursivamente movemos n 1 discos do topo de A para B; 2. movemos o último disco de A para C; 3. recursivamente movemos n 1 discos de B para C. (Ver demonstração... ) INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 9

13 Solução recursiva (cont.) Vamos definir uma função recursiva hanoi(n,...) que implementa este algoritmo Produz uma lista de instruções para mover discos individuais. Exemplo >>> hanoi(3, "esq", "meio", "dir") esq -> dir esq -> meio dir -> meio esq -> dir meio -> esq meio -> dir esq -> dir INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 10

14 Solução recursiva (cont.) def hanoi(n, A,B,C): "Mover n discos de A para C usando B como auxiliar." if n==1: print(a, ->, C) else: hanoi(n-1, A, C, B) # mover n-1 discos de A para B print(a, ->, C) # mover 1 disco de A para C hanoi(n-1, B, A, C) # mover n-1 discos de B para C INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 11

15 Ordenação QuickSort

16 Ordenação Quicksort O algoritmo Quicksort para ordenação de uma lista xs pode ser especificado de forma recursiva: se xs é vazia então já está ordenada; se xs não é vazia escolhemos um valor como pivot; sejam xs os restantes: 1. recursivamente ordenamos os valores de xs que são menores que o pivot; 2. recursivamente ordenamos os valores de xs que são maiores ou iguais do que o pivot; 3. concatenamos os resultados com o pivot no meio. INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 12

17 Ordenação Quicksort (cont.) Implementação simples em Python: escolhemos sempre o primeiro valor para pivot; partimos a lista dada usando lista em compreensão. INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 13

18 Ordenação Quicksort (cont.) def qsort(xs): "Quicksort usando listas em compreensão." if xs == []: return [] else: pivot = xs[0] menores = [x for x in xs[1:] if x < pivot] maiores = [x for x in xs[1:] if x >= pivot] return qsort(menores) + [pivot] + qsort(maiores) INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 14

19 Exemplo >>> qsort([3,2,4,1,5]) [1, 2, 3, 4, 5] qsort([3,2,4,1,5]) qsort([2,1]) [3] qsort([4,5]) qsort([1]) [2] qsort([]) qsort([]) [4] qsort([5]) [] [] [1] [5] [1,2] [4,5] [1,2,3,4,5] INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 15

20 Observações A solução simples constroi duas listas intermédias por cada chamada recursiva (menores e maiores) É possível modificar o algoritmo para ser mais eficiente: podemos ordenar modificando apenas a lista original. Um método para separar os menores dos maiores sem usar mais espaço foi inventado em 1960 por Tony Hoare (o autor do algoritmo QuickSort) Idea: re-organizar os valores na lista de forma a que os menores fiquem primeiro, seguidos do pivot e por fim os maiores. INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 16

21 QuickSort otimizado def qsort(xs): Ordenar uma lista usando QuickSort; modifica a lista dada. qsort_aux(xs, 0, len(xs)-1) return xs def qsort_aux(xs, i, j): "QuickSort recursivo (função auxiliar)." if i<j: k = partition(xs, i, j) qsort_aux(xs, i, k-1) qsort_aux(xs, k+1, j) INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 17

22 Partir a lista def partition(xs,start,end): pivotvalue = xs[start] i = start+1 j = end done = False while not done: while i <= j and xs[i] <= pivotvalue: i = i + 1 while xs[j] >= pivotvalue and j >= i: j = j -1 if j < i: done = True else: xs[i], xs[j] = xs[j], xs[i] xs[start], xs[j] = xs[j], xs[start] return j INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 18

23 Exemplo >>> qsort([4,1,5,3,2]) [1, 2, 3, 4, 5] qsort([4,1,5,3,2]) qs_aux([4,1,5,3,2],0,4) 3 = partition([4,1,5,3,2],0,4) qs_aux([3,1,2,4,5],0,2) qs_aux([3,1,2,4,5],4,4) 2 = partition([3,1,2,4,5],0,2) qs_aux([2,1,3,4,5],0,1) qs_aux([2,1,3,4,5],3,2) 1 = partition([2,1,3,4,5],0,1) qs_aux([1,2,3,4,5],0,0) qs_aux([1,2,3,4,5],2,1) INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO / PROGRAMAÇÃO I /2019: AULA 19 19