Introdução à Programação

Transcrição

1 Introdução à Programação 1.Ano LCC-MIERSI DCC - FCUP Nelma Moreira Aula 12

2 Recursividade

3 Recursão versus Iteração FACTORIAL outra vez! Muitas versões. n! = n (n - 1)... 1 int facti(int n){ int fac=n; while(--n>0){ fac = fac*n; return fac; n!= if (n==0) 1 else n*(n-1)! int factr(int n){ if(n==0) return(1); else return(n*factr(n-1));

4 Chamadas recursivas e valores retornados de cada chamada n=5

5 Paradigmas Iterativo uma sequência de instruções é excutada duma forma repetitiva, controlada por uma dada condição. P.e: decremento de um contador ciclo while(n>0){... n--;

6 Recursivo 1. existem casos simples, em que a resposta é determinada directamente (base); 2. decomposição duma instância do problema, em instâncias mais simples da mesma forma. 3. repetição por chamadas sucessivas: numa f unção re cursi v a, são cr iadas vár ias activações dela própria que desaparecem há medida que a execução avança. Em cada momento apenas uma das activações está activa, estando as restantes à espera que essa termine para continuarem.

7 Equivalência entre os paradigmas Os dois paradigmas são equivalentes: dada uma função recursiva existe sempre uma iterativa e vice-versa.

8 Representação dum inteiro n na base b Iterativa Recursiva void num_b_ite(int n,int b) { if (n<0) { printf("-"); n= -n; if(n==0) { printf("%d",n); return; while(n) { printf("%d",n%b); n=n/b; void num_b(int n,int b) { if (n<0) { printf("-"); n= -n; if(n/b) num_b(n/b,b); printf("%d",n%b); As versões não são bem equivalentes. Porquê?

9 Sequência de Fibonacci Começando com 0 e 1, cada termo seguinte é a soma dos dois anteriores. O n-ésimo termo fn é calculado por fn = fn fn - 2; f0= 0, f1 = 1 Uma função recursiva é imediata: int fib(int n) { if(n==0 n==1) return n; return fib(n-1)+fib(n-2);

10 Torres de Hanoi Dados três suportes e n discos de tamanhos diferentes. Os discos estão empilhados num dos suportes por ordem crescente de tamanhos. Pretende-se mover os discos para outro suporte de modo que: em cada passo exactamente um disco seja movido de um suporte para o outro um disco não pode nunca estar por cima de um menor o terceiro suporte pode ser usado como auxiliar

11 1. Representar cada suporte por um caracter ('a', 'b' e 'c'). Pretende-se uma função recursiva: void hanoi(int n, char inicio, char fim, char temp); Escrever uma função moveum(char ini, char fim) que move a peça do cimo do suporte ini para o suporte fim. void moveum(char ini, char fim){ printf("%c-> %c",ini,fim); 2. A função hanoi() void hanoi(int n, char inicio, char fim, char temp) { if (n==1) moveum(inicio,fim); else { hanoi(n-1,inicio,temp,fim); moveum(inicio,fim); hanoi(n-1,temp,fim,inicio);

12 Execução %hanoi 3 a-> b a-> c b-> c a-> b c-> a c-> b a-> b

13 Complexidade/Eficiência O algoritmo é exponêncial O(2 n ): O número de movimentos é exponencial com n, Isto é, Por exemplo, Tn = 2Tn T1 = 1 Tn = 2 n - 1 T3=7, T10=1023, T50=

14 Intervalo 5 minutos

15 Método de ordenação Quicksort Dada uma sequência de valores, escolhe-se um elemento (pivot) e os restantes valores são reagrupados em duas subsequências (partição): os que são menores que esse elemento os que são maiores. O mesmo processo é aplicado recursivamente a cada subsequência. Quando um subconjunto tem menos que 2 elementos a recursão pára.

16 Seja o pivot o elemento do meio

17 void quicksort(int v[], int esq, int dir){ int i; if(esq>=dir) return ; i = particao(v,esq,dir); quicksort(v,esq,i-1); quicksort(v,i+1,dir); int particao(int v[],int esq,int dir){ int i, fim; troca(v,esq,(esq+dir)/2); fim = esq; for(i=esq+1;i<=dir;i++) if(v[i]<v[esq]) troca(v,++fim,i); troca(v,esq,fim); return fim; void troca(int v[], int i,int j){ int temp; temp = v[i]; v[i] = v[j]; v[j] = temp;

18 Execução Subvector: Pivot: 58 Particao esq: Particao dir: Subvector: Pivot: 25 Particao esq: 19 Particao dir: Subvector: Pivot: 37 Particao esq: Particao dir: 56 Subvector: Pivot: 95 Particao esq: 73 Particao dir: Ordenado:

19 Quicksort para ordenar uma variável indexada de strings void quicksort_s(char v[][maxcol],int esq, int dir){ int i; if(esq>=dir) return; i=particao_s(v,esq,dir); quicksort_s(v,esq,fim-1); quicksort_s(v,fim+1,dir); void particao(char v[][maxcol], int esq,int dir) { int i,fim; troca_s(v,esq,(esq+dir)/2); fim=esq; for(i=esq+1;i<=dir;i++) if(strcmp(v[i],v[esq])<0) troca_s(v, ++fim,i); troca_s(v,esq,fim); returm fim; void troca_s(char v[][maxcol], int i,int j) { char temp[maxcol]; strcpy(temp,v[i]); strcpy(v[i],v[j]); strcpy(v[j],temp);

20 Retrocesso na Resolução de Problemas de Pesquisa Para muitos problemas, o método de resolução consiste em percorrer uma sequência de decisões, cada uma fazendo avançar no caminho para a solução. Se se fizerem as escolhas correctas chega-se a uma solução senão tem de ser retrocecer e escolher outros caminhos. Divisão em subtarefas Pesquisar exaustivamente um árvore de subtarefas Uso de Recursão

21 Exemplos procura de uma solução de um puzzle procura duma estratégia vencedora num jogo de dois jogadores procura da saída de um labirinto procura de um caminho numa rede que liga vários pontos INCONVENIENTE: O tamanho da ár vore de pe squisa cre sce e xponencialmente com o tamanho dos dados

22 Salto do Cavalo Dado um tabuleiro n n determinar se um cavalo - do jogo de xadrez - consegue percorrer todas as posições do tabuleiro, uma só vez,em n 2-1 movimentos.

23 Estado Inicial: uma posição do tabuleiro Estado Final: ter visitado todas as posições Mudança de Estado: salto em ``L'' 2 por 1, de uma posição para outra (candidata) Movimento válido: se existe uma posição para saltar e essa posição ainda não foi visitada

24 Se o cavalo estiver na posição C estão marcadas as possíveis soluções: C

25 Algoritmo de Procura com Retrocesso (Backtracking) tenta inicializa seleção de candidatos repete seleciona um candidato se aceitável marcar posição se não estado final tenta o passo seguinte se não sucedeu retira marca da posição até estado final ou não haver mais candidatos Importante: Número de candidatos é finito!!!

26 int h[10][10], tab_max; int main(){ int i,j; do { printf(" Tamanho do tabuleiro[3-10]: "); scanf("%d",&tab_max); for(i=1;i<=tab_max; i++) for(j=1;j<=tab_max; j++) h[i][j] = 0; printf("posicao inicial: \n"); printf("linha: "); scanf("%d",&i); printf("coluna: "); scanf("%d",&j); h[i][j] = 1; if (try(2,i,j)==1) for(i=1;i<=tab_max;i++){ for(j=1;j<=tab_max;j++) printf("%d ",h[i][j]); printf("\n \n"); else printf("nao ha solucao \n"); printf("ctrl C para terminar \n"); while(getchar()!=eof); #define tab_sq tab_max*tab_max #define in_tab(x) (x>0 && x<=tab_max) int cx[]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2; int cy[]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1; int try(int i,int x, int y){ int k = 0, u, v; while( k < 8 ){ u=x+cx[k]; v=y+cy[k]; if(in_tab(u) && in_tab(v)) if (h[u][v] == 0) { h[u][v] = i; if (i >= tab_sq) return 1; if (try(i+1,u,v)==1) return 1; h[u][v] = 0; k++; return 0;

27 Execução Tamanho do tabuleiro[3-10]: 5 Posicao inicial: Linha: 1 Coluna: Ctrl C para terminar Tamanho do tabuleiro[3-10]: 5 Posicao inicial: Linha: 3 Coluna: Ctrl C para terminar ^C