Estrutura de Dados Conceitos Iniciais

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1 Engenharia de CONTROLE e AUTOMAÇÃO Estrutura de Dados Conceitos Iniciais Aula 04 DPEE 08 Estrutura de Dados para Automação Curso de Engenharia de Controle e Automação Universidade Federal de Santa Maria beltrame@mail.ufsm.br

2 Sumário Recursividade Definição A função fatorial A sequência de Fibonacci

3 Recursividade Definição Um procedimento recursivo é aquele que contém, em sua descrição, uma ou mais chamadas a si mesmo Todo o procedimento deve possuir uma chamada externa Em um procedimento não recursivo, todas as chamadas são externas A [quase] todo procedimento recursivo corresponde um outro não recursivo

4 A função fatorial Dado um inteiro positivo n, o fatorial de n é definido como o produto de todos os inteiros entre n e Exemplo: 5! = 5 * 4 * * * = 0 Por definição: 0! = Algoritmo n! =, se n == 0 n! = n * (n-) * (n-) *... *, se n > 0 0! =! =! = *! = * *... 4

5 A função fatorial /5 Algoritmo em C Método iterativo Com repetição explícita de um processo fatorial = ; for (x = n; x > 0; x--) fatorial = fatorial * x; Observar que o fatorial pode, também, ser escrito Método recursivo Chamada a si mesmo 0! =! = * 0!! = *!! = *!... n! =, se n == 0 n! = n * (n-)!, se n > 0 5

6 A função fatorial Uma função recursiva exige o conhecimento do resultado anterior ) 5! = 5*4! ) 4! = 4*! )! = *! 4)! = *! 5)! = *0! 6) 0! = Cada caso éreduzido a um caso mais simples até a definição inicial 6

7 A função fatorial Cada função interna tem um conjunto local de variáveis Podem possuir o mesmo nome Mas não são vistas pela função externa As variáveis ficam, então, armazenadas na pilha do sistema Fatorial (5) 5 * Fatorial (5 - ) 4 * Fatorial (4 - ) * Fatorial ( - ) * Fatorial ( - ) * Fatorial ( - ) 7

8 A função fatorial /5 A função fatorial em C int fact(n) // Função fatorial int n; { int x, y; if (n == 0) // Condição de saída return(); } else { x = n ; y = fact(x); // Chamada recursiva return(n * y); // Ponto de retorno } 8

9 A função fatorial /5 printf("%d", fact(4)); n x y 4 * 0 n x y n x y n x y n x y n x y n x y fact(4) fact() fact() fact() fact(0) 4 * n x y 4 * n x y n x y n x y y=fact(0) y=fact() y=fact() y=fact() printf("%d", fact(4)) * 0 4 9

10 A sequência de Fibonacci Cada elemento n éa soma dos dois elementos anteriores (n ) e (n ) Exemplo: 0,,,,, 5, 8,,, 4,... Algoritmo recursivo fib(n) = n, se n == 0 ou n == fib(n) = fib(n-) + fib(n-), se n >= fib(4) = fib() + fib() = fib(0) + fib() + fib() = fib() + fib() = fib(0) + fib() = = 0

11 A sequência de Fibonacci Aplicações Matemática: máximo divisor comum (MDC) Informática: computação paralela Estudo de sistemas biológicos

12 A sequência de Fibonacci Observar que a sequencia de Fibonacci Difere da definição recursiva de fatorial Já que fib( ) refere se a si mesma por duas vezes Ocorre uma grande redundância computacional No exemplo anterior, fib() écalculada três vezes Alternativa: lembrar dos valores anteriores da série

13 A sequência de Fibonacci /5 Implementação usando método iterativo Nesse caso, mais eficiente que o recursivo por evitar repetição de cálculos if (n <= ) // Se 0 ou return(n); low_fib = 0; // Números anteriores high_fib = ; // da série for (i = ; i <= n; i++) { // Método iterativo x = low_fib; low_fib = high_fib; high_fib = x + low_fib; } return(high_fib);

14 Propriedades dos Algoritmos Recursivos Não deve gerar uma sequência infinita de chamadas a si mesmo Para, no mínimo, um argumento, a função recursiva f () deve ser definida de modo a não envolver f () novamente Deve existir uma saída da sequência de chamadas recursivas Saídas Fatorial 0! = Sequência de Fobonacci fib(0) = 0; fib() = ; 4

15 Revisão: Recursão versus Iteração Iteração Cada uma das repetições de um comando de édevida ao emprego de um laço Diversos problemas resolvidos de forma recursiva podem ser resolvidos de forma iterativa (e vice versa) Chamadas recursivas devem salvar o contexto do programa O contexto precisa ser recuperado após a execução de cada chamada recursiva O programa deve retornar imediatamente após ao ponto da chamada recursiva O conteúdo das variáveis precisa ser recuperado (salvos na pilha) 5

16 Revisão: Recursão versus Iteração Há problemas que não podem ser resolvidos de forma iterativa Percorrer uma árvore de dados para encontrar um elemento A recursão émuito útil na resolução de diversos problemas que possam se beneficiar do dividir para conquistar Ordenação por meio de quicksort ou mergesort Diversas técnicas de busca em grafos 6