UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO. Prof.ª Danielle Casillo

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO TEORIA DA COMPUTAÇÃO Aula 04 Programa Recursivo e Máquinas Prof.ª Danielle Casillo

2 Funções recursivas Alguma função é recursiva quando é definida em termos dela própria. Teoria da Computação 2

3 Recursão - definição Uma definição na qual o item que está sendo definido aparece como parte da definição; O que devo ter? Uma Base Ponto de Partida Um Passo Recursivo Gerar novos casos Conceito poderoso Define conjuntos infinitos com comandos finitos Teoria da Computação 3

4 Recursão - definição Vantagens Redução do tamanho do código fonte Permite descrever algoritmos de forma mais clara e concisa Desvantagens Redução do desempenho de execução devido ao tempo para gerenciamento de chamadas Dificuldades na depuração de programas recursivos, especialmente se a recursão for muito profunda Teoria da Computação 4

5 Recursão - definição Uma sub-rotina recursiva pode ser: Diretamente recursiva: P chama P; Indiretamente recursiva P chama Q chama R... chama P. Teoria da Computação 5

6 Passos para desenvolvimento de algoritmos recursivos Passo 1: Entender o problema. Exemplo: Série de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, Teoria da Computação 6

7 Passos para desenvolvimento de algoritmos recursivos Passo 2: Formular o problema em uma (ou mais) funções/procedimentos recursivos. Fibonacci(1) = 1 Fibonacci(2) = 1 Fibonacci(3) = 2 Fibonacci(4) = 3 Fibonacci(5) = 5 Qual é a sequência (equação matemática)? Fibonacci(1) = 1 Fibonacci(2) = 1 Fibonacci(n) = Fibonacci(n -1) + Fibonacci(n - 2) Teoria da Computação 7

8 Passos para desenvolvimento de algoritmos recursivos Passo 3: Implementar: Teoria da Computação 8

9 Passos para desenvolvimento de algoritmos recursivos Passo 4: Testar: A primeira coisa a fazer é verificar se o algoritmo sempre chegará ao caso trivial (fim do programa). Depois disso execute um teste montando a árvore de recursividade para alguns casos. Teoria da Computação 9

10 Recursividade Quando elaboramos uma rotina para efetuar uma tarefa, as possíveis soluções podem estar em uma entre duas classes: a) Solução Iterativa: na forma de uma rotina fechada, que especifica a rotina como uma sequência de passos onde o problema original não aparece. Por exemplo, o fatorial de n é: fat(n) = n * (n-1) * (n-2) *... * 1 Teoria da Computação 10

11 Recursividade b) Solução Recursiva: a solução é expressa em uma forma aberta, onde a solução depende da solução do mesmo problema para um caso mais simples ou reduzido. Assim, podemos expressar a mesma função fat(n) do exemplo anterior como: fat(n) = n * fat(n-1) Teoria da Computação 11

12 Implementação de Fatorial Recursivo X Não Recursivo Implementação não Recursiva Function Fatorial (n: integer): real; var i : integer; result: real; begin result :=1; for i:= 2 to n do result := result * i; Fatorial:= result; end; Implementação Recursiva Function Fatorial (n: integer): real; begin If n = 0 then Fatorial := 1; else Fatorial := n * Fatorial (n-1); end; Teoria da Computação 12

13 Idéia básica Como já citado, a recursão corresponde a uma função chamar a si mesma, dentro de seu código; A execução de uma recursão cria uma árvore em que cada nó, que não seja nó folha, tenha um número N de filhos, sendo N o número de vezes que a função chama a si mesma dentro de seu código; Os nós folhas geralmente representam o final da recursão naquele trajeto e constituem o que chamamos de caso de parada. Teoria da Computação 13

14 Dicas Não se aprende recursividade sem praticar Para montar um algoritmo recursivo Defina pelo menos um caso básico (condição de terminação); Quebre o problema em problemas menores, definindo o(s) caso(s) com recursão(ões) Fazer o teste de finitude, isto é, certificar-se de que as sucessivas chamadas recursivas levam obrigatoriamente, e numa quantidade finita de vezes, ao(s) caso(s) básico(s) Teoria da Computação 14

15 Programa Recursivo Eu sou você amanhã, digo, uma recursão adiante Recursão é uma forma indutiva de definir programas. Sub-rotinas permitem a estruturação hierárquica de programas, possibilitando níveis diferenciados de abstração. Conjunto de Identificadores de Sub-Rotinas - R 1, R 2,.. Teoria da Computação - Aula 04 15

16 Programa Recursivo Expressões de sub-rotinas: A operação vazia constitui uma expressão de sub-rotinas. Cada identificador de operação constitui uma expressão de sub-rotinas. Teoria da Computação - Aula 04 16

17 Programa Recursivo A Composição Sequencial: é denotada por: D1;D2 resulta em uma expressão de sub-rotina cujo efeito é a execução de D1 e, após, a execução de D2. A Composição Condicional: Se D1 e D2 são expressões de sub-rotinas e T é um identificador de teste, então a composição condicional é denotada por: (se T então D1 senão D2) Teoria da Computação - Aula 04 17

18 Programa Recursivo Um Programa Recursivo P tem a seguinte forma: P é E 0 onde R 1 def E 1, R 2 def E 2,..., R n def E n em que (suponha k {1, 2,..., n}): E 0 : expressão inicial a qual é uma expressão de sub-rotinas; E k : expressão que define a sub-rotina identificada por R k. A operação vazia constitui um programa recursivo que não faz coisa alguma. Teoria da Computação - Aula 04 18

19 Programa Recursivo Exemplo: programa recursivo P é R; S onde R def F; (se T então R senão G; S), S def (se T então senão F; R) Note que a recursão é implícita, no sentido em que as subrotinas R e S se referenciam mutuamente, e portanto, R e S se autoreferenciam indiretamente. Teoria da Computação - Aula 04 19

20 Programa Recursivo A computação de um programa recursivo consiste na avaliação da expressão inicial onde cada identificador de sub-rotina referenciado é substituído pela correspondente expressão que o define, e assim sucessivamente, até que seja substituído pela expressão vazia, determinando o fim da recursão. Teoria da Computação - Aula 04 20

21 Programa Recursivo Até agora, foram definidos três tipos de programas. Entretanto, esses programas são incapazes de descrever uma computação, pois não se tem a natureza das operações ou dos testes, mas apenas um conjunto de identificadores. A natureza das operações e testes é especificada na definição de máquina. Teoria da Computação - Aula 04 21

22 Exercícios 1. Identifique e compare construções análogas às usadas nas definições de programas monolítico, iterativo e recursivo na linguagem de programação C++. Programa monolítico, Programa Iterativo, Programa Recursivo if A > 0 then { A = A 1; B = B + 1; } while A > 0 do { A = A 1; B = B + 1; } function TC { if A > 0 then { A = A 1; B = B + 1; TC; } } Teoria da Computação - Aula 04 22

23 Exercícios 2. Fatorial para um programa recursivo: function fatorial (int n) { if (n == 0) return 1; else return n * fatorial (n - 1); } 3) Faça o mesmo programa para um programa iterativo Teoria da Computação - Aula 04 23

24 Exercícios int n; { long f = 1; int i; if (n == 0) return f; else { for (i = 1; i <= n; i++) f = f * i; return f; } } Teoria da Computação - Aula 04 24

25 Máquinas Interpreta os programas de acordo com os dados fornecidos. É capaz de interpretar um programa desde que possua uma interpretação para cada operação ou teste que constitui o programa. Teoria da Computação - Aula 04 25

26 Máquinas: definição A máquina deve suprir todas as informações necessárias para que a computação de um programa possa ser descrita: Caractrerísticas: cada identificador de operação deve caracterizar uma transformação na estrutura da memória da máquina; cada identificador de teste interpretado pela máquina deve ser associado a uma função verdade; Teoria da Computação - Aula 04 26

27 Máquinas Características: nem todo identificador de operação ou teste é definido em uma máquina; para cada identificador de operação ou teste definido em uma máquina, existe somente uma função associada; deve descrever o armazenamento ou a recuperação de informações na estrutura de memória. Teoria da Computação - Aula 04 27

28 Máquina: definição Uma Máquina é uma 7-upla M = (V, X, Y, π X, π Y, П F, П T ) V conjunto de valores de memória; X conjunto de valores de entrada; Y conjunto de valores de saída; π X função de entrada tal que: π X : X V π Y função de saída tal que: π Y : V Y П F conjunto de interpretações de operações; П T conjunto de interpretações de testes; Teoria da Computação - Aula 04 28

29 Máquina: definição Em que: П F conjunto de interpretações de operações tal que, para cada identificador de operação F interpretado por M, existe uma única função: π F : V V em П F П T conjunto de interpretações de testes tal que, para cada identificador de teste T interpretado por M, existe uma única função: π T : V {verdadeiro, falso} em П T Teoria da Computação - Aula 04 29

30 Máquina: Representação Gráfica M = (V, X, Y, π x, π y, П F, П T ) X; (π x ) Y; (π Y ) V Π F, Π T Teoria da Computação - Aula 04 30

31 Máquina: exemplo Máquina de dois registradores: Suponha uma especificação de uma máquina com dois registradores a e b os quais assumem valores em N (conjunto dos números naturais), com duas operações e um teste: subtração de 1 em a, se a > 0; adição de 1 em b; teste se a é zero. Os valores de entrada são armazenados em a (zerando b) e a saída retorna o valor de b. Teoria da Computação - Aula 04 31

32 Máquina: exemplo Dois_reg = (N 2, N, N, armazena_a, retorna_b, {subtrai_a, adiciona_b}, {a_zero}) N 2, N, N - Conjuntos de Memória, Entrada e Saída armazena_a (n) = (n, 0) retorna_b (n, m) = m subtrai_a (n, m) = (n-1, m) se n 0 e (0, m) se n = 0 adiciona_b (n, m) = (n, m+1) a_zero (n, m) = verdadeiro se n = 0 e falso se n 0 obs: dois registradores com valores em N podem ser definidos pelo produto cartesiano N 2 onde os registradores a e b são representados pela primeira e segunda componente. Teoria da Computação - Aula 04 32

33 Programa para uma máquina Sejam M = (V, X, Y, π X, π Y, П F, П T ) uma máquina e P um programa onde P F e P T são os conjuntos de identificadores de operações e de testes de P, respectivamente. P é um programa para a máquina M se, e somente, se: para qualquer F P F, existe uma única função π F : V V em П F ; para qualquer T P T, existe uma única função π T : V {verdadeiro, falso} em П T. Teoria da Computação - Aula 04 33

34 Programa para a máquina dois_reg Programa iterativo para a máquina de dois registradores: Programa Iterativo itv_b a até a_zero faça (subtrai_a; adiciona_b) Teoria da Computação - Aula 04 34

35 Programa para a máquina dois_reg Programa recursivo para a máquina de dois registradores: Programa Recursivo rec_b a rec_b aéronde R def (se a_zero então senão S; R), S def subtrai_a; adiciona_b Teoria da Computação - Aula 04 35