Curso: Ciência da Computação Turma: 6ª Série. Teoria da Computação. Aula 6. Programas, Máquinas e Computações

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1 Curso: Ciência da Computação Turma: 6ª Série Aula 6 Programas, Máquinas e Computações

2 Avisos Hoje tem dúvidas sobre a segunda etapa da ATPS. Somente 28 alunos/alunas entregaram a ATPS etapa 1. Ainda dá tempo. Próxima aula será revisão para a prova. Tem uma lista de exercícios para fazer para a próxima aula na sala virtual.

3 Programas Um conjunto de operações e testes compostos de acordo com uma estrutura de controle: Monolíticos: desvios condicionais e incondicionais Iterativos: estruturas de iteração Recursivos: sub-rotinas recursivas 3

4 Interpreta Programas Máquinas Possui uma interpretação para cada operação ou teste que constituem o programa. 4

5 Computação Histórico do funcionamento da máquina para o programa e um dado valor inicial. Função Computada Função parcial induzida a partir da máquina e programa dados, a qual é definida sempre que, para um dado valor de entrada, existe uma computação finita (a máquina pára). 5

6 Programas Um conjunto estruturado de instruções que capacitam uma máquina a aplicar sucessivamente certas operações básicas e testes sobre os dados iniciais fornecidos com o objetivo de transformar esses dados numa forma desejável. Operações e Testes: Operações: F, G, H... Testes: T1, T2, T3... Operação Vazia: 6

7 Programa Monolítico É estruturado com somente desvios condicionais e incondicionais. Não emprega mecanismos auxiliares como iteração, sub-divisão ou recursão, de modo que toda a lógica do programa está contida em um único bloco: um monólito. Representados facilmente por um fluxograma. Partida Parada Operação Teste 7

8 Exemplo 1 Calcular a soma do números de 1 a 10 utilizando somente elementos do fluxograma. 8

9 início A = 0 A > 9 fim A = A + 1 9

10 Instruções Rotuladas Além da forma de um fluxograma, o programa pode ser representado como uma sequência de instruções rotuladas. Um rótulo ou etiqueta é uma cadeia finita de caracteres constituída de letras ou dígitos. Uma Instrução rotulada assume as formas: Operação: Indica a operação a ser executada seguida de um desvio incondicional para a instrução subsequente. r1: faça F vá_para r2 ou r1: faça vá para r2. Teste: Determina um desvio condicional, ou seja, que depende da avaliação de um teste. r1: se T então vá_para r2 senão vá_para r3. 10

11 Exemplo de Programa Monolítico 1.faça F vá_para 2 2.se T1 então vá_para 1 senão vá_para 3 3.faça G vá_para 4 4.se T2 então vá_para 5 senão vá_para 1 11

12 Definição de Rótulo, Instrução Rotulada 1. Um rótulo ou Etiqueta é uma cadeia de caracteres finita (palavra) constituída de letras ou dígitos. 2. Uma instrução Rotulada i é uma cadeia de caracteres finita (palavra) de uma das duas formas a seguir (suponha que F e T são identificadores de operação e teste, respectivamente e que r 1, r 2 e r 3 são rótulos): 2.1 Operação r 1 : faça F vá_para r 2 ou r 1 : faça vá_para r Teste r1: se T então vá_para r 2 senão vá_para r 3 12

13 Definição Formal de Programa Monolítico Um Programa Monolítico é um par P(I, r) I: Conjunto Finito de Instruções Rotuladas r: Rótulo inicial que distingue a instrução inicial em I Adicionalmente, relativamente ao conjunto I tem-se que: Não existem duas instruções diferentes com o mesmo rótulo. Um rótulo não associado a nenhuma instrução é um rótulo final. A estrutura oferecida pelos programas monolíticos é típica das linguagens de máquinas e de programas montadores (assembly), entretanto isto se reflete de diversas maneiras em linguagens de alto nível. 13

14 Exemplos de Programas Monolíticos 1. P 1 = (I 1,1) onde I 1 é o conjunto constituído pelas instruções rótuladas 1, 2, 3 e 4 do exemplo anterior. Neste caso 5 é o rótulo final. 2. P 2 = ({r 1 : faça vá_para r 2 }, r 1 ) onde r 2 é um rótulo final. 14

15 Programa Iterativo Substituem desvios incondicionais por estruturas cíclicas, permitindo um melhor controle e manutenção de programas. A noção de programa iterativo deu origem às técnicas de programação estruturada, inspirando toda uma geração de linguagens como Pascal. São baseados em três mecanismos de composição de instruções, encontrados em diversas linguagens: Algol 68, Pascal, Ada, Fortran 90, etc Sequencial: composição de dois programas, resultando em um terceiro, cujo efeito é a execução do primeiro e, após, a execução do segundo programa componente; Condicional: composição de dois programas, resultando em um terceiro, cujo efeito é a execução de somente um dos dois programas componentes dependendo do resultado do teste; Enquanto: composição de um programa, resultando em um segundo, cujo efeito é a execução, repetidamente, do programa componente enquanto o resultado de um teste for verdadeiro. 15

16 Definição Formal de Programa Iterativo Um Programa Iterativo P é indutivamente definido como segue: a) A operação constitui um programa iterativo; b) Cada identificador de operação constitui um programa iterativo; c) Composição sequencial. Se V e W são programas iterativos, então a composição sequencial denotada por V;W resulta em um programa iterativo cujo efeito é a execução de V e, após, a execução de W; d) Composição condicional. Se V e W são programas iterativos e se T é um identificador de teste, então a composição condicional denotada por (se T então V senão W) resulta em um programa iterativo cujo efeito é a execução de V se T é verdadeiro ou W se T é falso; 16

17 Definição de Programa Iterativo e) Composição enquanto. Se V é um programa iterativo e se T é um identificador de teste, então a composição enquanto denotada por enquanto T faça (V) resulta em um programa iterativo que testa T e executa V, repetidamente, enquanto o resultado do teste for o valor verdadeiro. Caso contrário, a iteração termina. f) Composição até. Se V é um programa iterativo e se T é um identificador de teste, então a composição até denotada por até T faça (V) resulta em um programa iterativo que testa T e executa V, repetidamente, enquanto o resultado do teste for o valor falso. Caso contrário, a iteração termina. Iteração é o processo chamado na na programação de de repetição de de uma uma ou ou mais mais ações. ações. 17

18 Programa Iterativo Parênteses podem ser empregados para mudar uma interpretação: (enquanto T faça V); W enquanto T faça (V; W) 18

19 Exemplo de um Programa Iterativo (se T1 então enquanto T2 faça (até T3 faça (V; W)) senão ) Observações: É trivial traduzir um programa iterativo para um fluxograma, mas a recíproca não é verdadeira. O uso de identação é interessante para facilitar o entendimento. 19

20 Como Podemos Representar um Programa Iterativo Enquanto como um Fluxograma? 20

21 Programa Recursivo Nas linguagens de programação em geral o conceito de programa recursivo aparece associado ao de sub-rotinas recursivas. Recursão é uma forma indutiva de definir programas. Sub-rotinas permitem a estruturação hierárquica dos programas, possibilitando níveis diferenciados de abstração. 21

22 Definição Expressão de Sub-Rotinas Uma Expressão de Sub-Rotinas, ou simplesmente Expressão é indutivamente definida como se segue: A operação vazia,, constitui uma expressão de sub-rotinas. Cada identificador de operação constitui uma expressão de subrotinas. Composição sequencial: Se D 1 e D 2 são expressões de sub-rotinas, então a composição sequencial denotada por: D 1 ; D 2 resulta em uma expressão de sub-rotinas cujo efeito é a execução de D 1 e, após a execução de D 2 ; Composição condicional: Se D 1 e D 2 são expressões de sub-rotinas e T é um identificador de teste, então a composição condicional denotada por: (se T então D 1 senão D 2 ) resulta em uma expressão de sub-rotinas cujo efeito é a execução de D 1 se T é verdadeiro ou D 2 se T é falso. 22

23 Definição Formal de Programa Recursivo Um Programa Recursivo P tem a seguinte forma: P é E 0, onde R 1 def E 1, R 2 def E 2,..., R n def E n Onde, para k є {1, 2,,n} E 0 : Expressão Inicial, que é uma expressão de subrotinas. E k : Expressão que define R k, isto é, a expressão que define a sub-rotina identificada por R k Adicionalmente, para cada identificador de sub-rotina referenciado em alguma expressão, existe uma expressão que o define. A operação vazia também é uma expressão de subrotinas. 23

24 Lógica Recursiva. Raciocínio Recursivo Pilha de Dados e Operações. Exemplo de Programa Recursivo: P é R; S, onde: R def F; (se T então R senão G; S) S def (se T então senão F; R) Exemplos Concretos: Fatorial Fibonacci Lista Recursiva 24

25 Máquinas As máquinas interpretam os programas suprindo todos os recursos necessários para realizar a computação que eles representam. Cada identificador de operação ou teste interpretado pela máquina deve ser associado a uma transformação na estrutura da memória e a uma função verdade respectivamente. Nem todo identificador de operação ou teste é definido em uma máquina. Para cada identificador de operação ou teste definido em uma máquina existe somente uma função associada. Adicionalmente a máquina deve descrever o armazenamento ou recuperação da informação na estrutura da memória. 25

26 Definição de Máquina Uma máquina é uma héptupla: M = ( V, X, Y, π X, π Y, Π F, Π T ), onde: V Conjunto de Valores de Memória X Conjunto de Valores de Entrada Y Conjunto de Valores de Saída π X Função de Entrada, tal que π X : X V π Y Função de Saída, tal que π Y : V Y Π F Conjunto de Interpretações de Operações tal que, para cada identificador de operação F interpretado por M, existe um única função π F : V V em Π F Π T Conjunto de Interpretações de Testes tal que, para cada identificador de teste T interpretado por M, existe uma única função: π T : V {verdadeiro, falso} em Π T Os conjuntos de interpretações podem ser vistos como conjuntos de funções, indexadas pelo subconjunto de identificadores de operações e testes para os quais a máquina está definida 26

27 Exemplo: Máquina de Dois Registradores Seja uma máquina com dois registradores, a e b, que assumem valores em N, com duas operações e um teste: Subtrair 1 de a, se a > 0. Adicionar 1 em b. Teste se a é zero. Adicionalmente valores de entrada são armazenados em a (zerando b) e a saída retorna o valor de b. Implementação dois_reg = ( N 2, N, N, armazena_a, retorna_b, {subtrai_a, adiciona_b}, {a_zero} ), onde: V = N 2 = Conjunto de valores de memória. X = N = Conjunto de valores de entrada Y = N = Conjunto dos valores de saída armazena_a: N N 2, tal que, para todo n є N, armazena_a(n) = (n, 0) retorna_b: N 2 N tal que, para todo n,m є N 2, retorna_b(n, m) = m subtrai_a: N 2 N 2 tal que, para todo (n, m) є N 2, subtrai_a(n, m) = (n-1, m), se n 0, subtrai_a(n, m) = (0, m), se n = 0. adiciona_b: N 2 N 2 tal que, para todo (n, m) є N 2, adiciona_b(n, m) = (n, m+1) a_zero: N 2 {verdadeiro, falso}, tal que, para todo (n, m) є N 2, a_zero(n, m) = verdadeiro, se n = 0, a_zero(n, m) = falso, se n 0, 27

28 Registradores (O registrador de uma CPU (unidade central de processamento) são unidades de memória capazes de armazenar n bits. Os registradores estão no topo da hierarquia de memória, sendo assim, são o meio mais rápido e caro de se armazenar um dado. São utilizados na execução de programas de computadores, disponibilizando um local para armazenar dados. Na maioria dos computadores modernos, quando da execução das instruções de um programa, os dados são movidos da memória principal para os registradores. Então, as instruções que utilizam estes dados são executadas pelo processador e, finalmente, os dados são movidos de volta para a memória principal.) 28

29 Definição: Programa para uma Máquina Diz-se que P é um programa para a máquina M se cada operação e teste em P corresponder a uma interpretação em M. Formalmente: Seja M = ( V, X, Y, π X, π Y, Π F, Π T ), uma máquina e P um programa onde P F e P T são conjuntos de operações e testes de P. P é um programa para a máquina M se e somente se: Para toda F em P F, existe uma única função π F : V V em Π F. Para todo T em P T, existe uma única função π T : V V em Π T. A operação vazia,, é interpretada em qualquer máquina. 29

30 Exemplo: Programa para a Máquina de Dois Registradores Os programas iterativo itv_b a e recursivo rec_b a são programas para a máquina dois_reg e atribuem o valor armazenado em a ao registrador b. Programa Iterativo itv_b a Até a_zero faça (subtrai_a; adiciona_b) Programa Recursivo rec_b a rec_b a é R onde R def (se a_zero então senão S;R), S def subtrai_a; adiciona_b 30

31 Computações e Funções Computadas Uma computação é, resumidamente, um histórico do funcionamento da máquina para o programa, considerando um valor inicial. Uma computação de um programa monolítico em uma máquina é um histórico de instruções executadas e o correspondente valor de memória. O histórico é representado como uma cadeia de pares onde: Cada par reflete um estado de máquina para o programa, ou seja, a função a ser executada e o valor corrente de memória. A cadeia reflete uma sequência de estados possíveis a partir do estado inicial. (instrução inicial e valor de memória considerado). 31

32 Definição: Computação de um Programa Monolítico em uma Máquina Seja M = ( V, X, Y, π X, π Y, Π F, Π T ), uma máquina e P = (I, r) um programa monolítico para M, onde L é o seu correspondente conjunto de rótulos. Uma computação do programa monolítico P para a máquina M é uma cadeia (finita ou infinita) de pares de L x V (s 0,v 0 )(s 1,v 1 )(s 2,v 2 )... onde s o = r é o rótulo inicial do programa P e v o é o valor inicial de memória e, para cada par (s k,v k ) da cadeia, onde K є (0,1,2,...), tem-se que (suponha que F é um identificador de operação, T é um identificador de teste e r', r'' são rótulos de L): a) Operação: a.1) Se s k é o rótulo de uma operação da forma: s k : faça F vá_para r então (s k+1, v k+1 ) = (r, π F (v k )) é par subsequente de (s k, v k ) na cadeia. a.2) Se s k é o rótulo de uma operação da forma s k : faça vá_para r, então (s k+1, v k+1 ) = (r, v k ) é par subsequente de (s k, v k ) na cadeia. 32

33 Definição: Computação de um Programa Monolítico em uma Máquina b) Teste: Se s k é o rótulo de um teste da forma s k : Se T então vá_para r senão vá_para r, então (s k+1, v k+1 ) é par subsequente de (s k, v k ) na cadeia, sendo que v k+1 = v k e: i. s k+1 = r se π T (v k ) = verdadeiro ii. s k+1 = r se π T (v k ) = falso Uma computação é dita Finita ou Infinita, se a cadeia que a define é finita ou infinita, respectivamente. 33

34 Observações A computação pode ser finita ou infinita, conforme a cadeia for finita ou infinita. Para um dado valor inicial de memória, a correspondente cadeia de computação é única, ou seja, a computação é determinística. Por que? Um teste e a operação vazia não alteram o conteúdo de memória. Em uma computação infinita não há rótulo final. 34

35 Exemplo: Computação Finita Computação Finita de Programa Monolítico na Máquina de Dois Registradores (s k, v k ) Ação (1,(3,0)) Instrução inicial e valor de entrada armazenado. (2,(3,0)) Em 1, como a<>0, desviou para 2. Em 2, subtraiu 1 do registrador a e desviou para 3. (3,(2,0)) 1. Se a_zero então vá_para 9 senão vá_para faça subtrai_a vá_para faça adiciona_b vá_para 1. (1,(2,1)) Em 3, adicionou 1 ao valor de b e desviou para 1, (2,(2,1)) (3,(1,1)) Em 1, como a<>0, desviou para 2. Em 2, subtraiu 1 do registrador a e desviou para 3. (1,(1,2)) Em 3, adicionou 1 ao valor de b e desviou para 1, (2,(1,2)) (3,(0,2)) Em 1, como a<>0, desviou para 2. Em 2, subtraiu 1 do registrador a e desviou para 3. (1,(0,3)) Em 3, adicionou 1 ao valor de b e desviou para 1, Em 1, como a=0, desviou para 9. (9,(0,3)) 35

36 Exemplo: Computação Infinita 1. faça adiciona_b vá_para 1. Porque é infinita? 36

37 Computação de um Programa Recursivo em uma Máquina A computação de um programa recursivo em uma máquina é análoga a de um monolítico. O histórico é representado na forma de uma cadeia de pares onde: Cada par reflete um estado da máquina para o programa, ou seja, a expressão de sub-rotina a ser executada e o valor corrente da memória; A cadeia reflete uma sequência de estados possíveis a partir do inicial. 37

38 Definição: Computação de um Programa Recursivo em uma Máquina Seja M = ( V, X, Y, π X, π Y, Π F, Π T ), uma máquina e P um programa recursivo para M, tal que: P é E 0 onde R 1 def E 1, R 2 def E 2,..., R n def E m. Uma computação do programa recursivo P na máquina M é uma cadeia (finita ou infinita) de pares da forma: (D 0, v 0 )(D1, v1)(d2, v2)... onde (D 0, v 0 ) é tal que D 0 = E 0 ; e v 0 é o valor inicial da máquina. 38

39 Definição: Computação de um Programa Recursivo em uma Máquina Para cada par (D k, v k ), supondo que F é um identificador de operação, T é um identificador de teste e C, C 1 e C 2 são expressões de sub-rotinas: Caso 1: D k = ; C (D k+1, v k+1 ) = (C, v k ) é par subsequente de (D k, v k ) na cadeia. Caso 2: D k = F; C (D k+1, v k+1 ) = (C, πf(v k )) é par subsequente de (D k, v k ) na cadeia. Caso 3: D k = R i ; C (D k+1, v k+1 ) = (E i ;C, v k ) é par subsequente de (D k, v k ) na cadeia. Caso 4: D k = (C1; C2); C (D k+1, v k+1 ) = (C1;(C2;C), v k ) é par subsequente de (D k, v k ) na cadeia. Caso 5: D k = E k = (Se T então C1 senão C2); C (D k+1, v k+1 ) é par subsequente de (D k, v k ) na cadeia, sendo que: V k+1 = v k D k+1 = C 1 ; C se π T (v k ) é verdadeiro D k+1 = C 2 ; C se π T (v k ) é falso 39

40 Definição: Computação de um Programa Recursivo em uma Máquina Observações: A computação pode ser finita ou infinita conforme a cadeia for finita ou infinita. A computação é determinística (por quê?) Teste ou referência a uma sub-rotina não alteram o valor da memória. Em uma computação finita, a expressão vazia ocorre no último par da cadeia e não ocorre em nenhum outro par. Em uma computação infinita, a expressão vazia não ocorre em nenhum par. 40

41 Exemplo: Computação Finita de Programa Recursivo Considere o programa a seguir: duplica é R onde R def (se zero então senão sub; R; ad; ad) Para a seguinte máquina: um_reg = (N, N, N, id N, {ad, sub},{zero}) Onde: N corresponde, simultaneamente, aos conjuntos de valores de memória, entrada e saída. Id N : é a função de entrada e de saída ad: N N é interpretação tal que, para qualquer n є N, ad(n)=n+1 sub: N N é interpretação tal que, para qualquer n є N: sub(n) = n-1, se n 0; sub(n) = 0, se n = 0. Zero: N {verdadeiro, falso} é interpretação tal que, para qualquer n є N; zero(n) = verdadeiro, se n=0; zero(n)=falso, caso contrário. 41

42 Exemplo: Computação Finita de Programa Recursivo Para o valor inicial de memória 3, a correspondente computação finita deve ser representada como: (R; ;3) ((se zero então senão (sub; R; ad; ad));, 3) ((sub;r;ad;ad);,3) (sub; (R;ad;ad);,3) ((R;ad;ad);,2) (R; (ad;ad);,2) ((se zero então senão (sub;r;ad;ad)); (ad;ad);, 2) ((sub;r;ad;ad);(ad;ad);, 2) (sub; (r;ad;ad) ; (ad;ad);,2) ((R;ad;ad);(ad;ad);,1) Valor de entrada armazenado Caso 3 Como n 0, executa senão Caso 4, composição sequencial Subtraiu 1 da memória Caso 4, composição sequencial Caso 3 Como n 0, executa senão Caso 4, composição sequencial Subtraiu 1 da memória 42

43 Exemplo: Computação Finita de Programa Recursivo (R; (ad,ad) ; (ad;ad) ;,1) Caso 4, composição sequencial ((se zero então senão (aub;r;ad;ad)); (ad;ad); (ad;ad);,1) ((sub;r;ad;ad));(ad;ad);(ad;ad);,1) (sub; (r;ad;ad);(ad;ad);(ad;ad);, 1) ((R;ad;ad);(ad;ad);(ad;ad);,0) (R; (ad;ad);(ad;ad);(ad;ad);,0) ((se zero então senão (sub;r;ad;ad;));(ad;ad); (ad;ad);(ad;ad);, 0) Caso 3 Como n 0, executa senão Caso 4, composição sequencial Subtraiu 1 da memória Caso 4, composição sequencial Caso 3 ( ; (ad;ad);(ad;ad);(ad;ad); ;0) Como n=0, executa então ((ad;ad);(ad;ad);(ad;ad);,0) Caso 1 (ad;(ad;(ad;ad);(ad;ad); ),0) ((ad;(ad;ad);(ad;ad); ),1) (ad;((ad;ad);(ad;ad);,1) (((ad;ad);(ad;ad); ),2) (ad;(ad;(ad;ad); ),2) ((ad;(ad;ad); ). 3) (ad; ((ad;ad); ), 3) (((ad;ad); ), 4) (ad;((ad); ). 4) (((ad); ), 5) (ad; ( ), 5) Caso 4, composição sequencial Adicionou 1 na memória Caso 4, composição sequencial Adicionou 1 na memória Caso 4, composição sequencial Adicionou 1 na memória Caso 4, composição sequencial Adicionou 1 na memória Caso 4, composição sequencial Adicionou 1 na memória Caso 4, composição sequencial (( ),6) Adicionou 1 na memória (, 6) Fim da recursão 43

44 Exemplo: Computação Finita de Programa Recursivo Note-se que o valor final da memória é o valor inicial duplicado. Observe-se que, usando a noção de recursão, não foi necessário utilizar duas células de memória, uma para controlar o ciclo e outra para calcular o resultado. De fato, a facilidade de recursão é usada para determinar quantas vezes a operação ad necessita ser executada. 44

45 Exercícios 1. Usando apenas os símbolos de fluxograma, representar um programa monolítico para calcular a soma dos 100 primeiros números ímpares. 2. Fazer o fluxograma do programa iterativo do exemplo dado em aula. 3. Desenhe um fluxograma que corresponde a cada um dos seguintes programas: 1. P 2 = ({r 1 : faça vá_para r 2 }, r 1 ); 2. Composição até (programa iterativo); 3. Programa sem instrução alguma; 4. Programa em loop. 4. Por que pode-se afirmar que a tradução de um programa iterativo para um monolítico é trivial? 5. Por que é possível afirmar que a computação de um programa monolítico em uma máquina, para um dado valor inicial de memória, é determinística? 6. Dê a definição forma da função computada (W,M) de um programa iterativo W em uma máquina M. 45

46 Exercícios 1. Traduza o fluxograma do programa monolítico abaixo em um programa recursivo. Início F V T1 F G V T2 F Fim Fim V T1 F F 46

47 Exercícios 1. Traduza os fluxogramas dos programas monolíticos abaixo programas recursivos. 47