Programação II RECURSÃO

Transcrição

1 Programação II RECURSÃO Bruno Feijó Dept. de Informática, PUC-Rio

2 Motivação Escher: Metamorphosis (1937) - Drawing Hands (1948) Relativity (1953) Alguém diz: Esta sentença é falsa! Paradoxo do Cretense Mentiroso um homem natural de Creta, em praça pública, anuncia: Todo cretense é mentiroso! Estas sentenças são Verdadeiras ou Falsas? O que há de comum neste slide? RECURSÃO! 2

3 Definições Recursivas Em uma definição recursiva um item é definido em termos de si mesmo, ou seja, o item que está sendo definido aparece como parte da definição;

4 Conceito de Recursão Em uma definição recursiva um item é definido em termos de si mesmo, ou seja,o item que está sendo definido aparece como parte da definição; Mas, atenção: a definição f(x) = f(x) não revela nada sobre a função f. A definição recursiva da função fatorial fat(n) = n (n 1) 1 é a seguinte: 1, se n = 0 fat( n) = n fat( n 1), se n > 0 Caso Base Recorrência (ou Passo Indutivo) Chamada Recursiva (ou Hipótese Indutiva) Uma definição recursiva é definida por um ou mais casos base e por um ou mais passos indutivos envolvendo a chamada da própria função (denominada chamada recursiva ). O caso base é uma situação trivial da função, onde calcular o valor da função é imediato, direto e trivial. O passo indutivo é a aplicação recursiva da função em uma versão de menor porte do problema. Imagine o passo indutivo como sendo um degrau, situado logo abaixo do nível do problema proposto originalmente, em direção a um caso base. A maior dificuldade neste método de resolver problemas é termos confiança na solidez desse degrau! Isto é: confiança na validade de adotarmos a Hipótese Indutiva. que corresponde a supor a versão de menor porte do problema como estando completamente resolvida. Isto é um método indutivo para resolver problemas. O termo indutivo é usado para salientar que a solução em um passo é induzida pela solução do passo anterior. A relação entre recursão e indução é apresentada mais a frente. 4

5 O processo da Recursão A definição recursiva é uma maneira de especificar a solução de uma instância de um problema de tamanho n em termos de soluções para instâncias menores. fat(3) = 3 fat(2) Problema tamanho n fat(2) = 3 fat(1) fat(1) = 2 fat(0) fat(0) = 1 Caso base Neste processo, cria-se uma pilha de operações pendentes (uma expansão) que são resolvidas quando se encontra o caso base (uma contração). Por exemplo: expansão contração fat(3) 3 * fat(2) 3 * (2 * fat(1)) 3 * (2 * (1 * fat(0))) 3 * (2 * (1 * 1)) Caso Base 3 * (2 * 1) 3 * 2 6 5

6 Implementação de uma Definição Recursiva Seja a definição recursiva de fatorial: fat(0) = 1 fat(n) = n fat(n 1) Uma vez que encontramos a definição recursiva de uma função, a implementação é direta, simples, um trabalho automático: int fat (int n) { if (n==0) return 1; else return n*fat(n-1); } Você pode verificar se a sua definição e a sua implementação estão corretas acompanhando a execução de um exemplo: Este acompanhamento chama-se TRAÇO. Não dependa de fazer o traço para encontrar a definição recursiva de uma função. Use o traço para verificar e não para criar a solução. Ademais, somente funções matemáticas admitem o TRAÇO. Traço não faz sentido para procedimentos (e.g. funções em C que disparam ações e/ou não retornam valor). Nestes casos, acompanham-se as variáveis do procedimento. As variáveis definem o estado do mundo. e nem sempre é fácil acompanhar o estado do mundo! 6

7 Outro Exemplo de Definição Recursiva A definição recursiva de g(n) = n é: g(1) = 1 g(n) = g(n 1) + n Este exemplo é mais interessante que o do fatorial, porque há uma bela forma fechada que representa esta soma: Nem toda a definição recursiva tem uma bela forma fechada. Aliás, quando tem, não faz sentido implementar a função recursivamente no computador. Faz diferença escrevermos a chamada recursiva no início ou no fim da expressão? Isto é: A resposta é: matematicamente não faz diferença; mas, se formos implementar no computador, pode fazer diferença. A razão é porque, quando a chamada recursiva fica por último, as operações pendentes podem ir sendo resolvidas imediatamente e facilmente (sem criar uma pilha sempre crescente): n = n(n + 1)/2 g(n) = g(n 1) + n ou g(n) = n + g(n 1) fat(n) = fat(n 1) n ou fat(n) = n fat(n 1) fat(3) fat(2) * 3 (fat(1) * 2) * 3... fat(3) 3 * fat(2) 3 * (2 * fat(1))... A função que pode ter a chamada recursiva no final é denominada recursiva de cauda (tail recursive). Mas, nem toda a função pode ser recursiva de cauda. 7

8 Implementando a Soma da Série de N A definição recursiva de g(n) = n é: g(1) = 1 g(n) = g(n 1) + n A implementação é imediata: int g(int n) { if (n == 1) return 1; else return n + g(n - 1); } Note que não existem construtores de loop (e.g. for ou while) na implementação de definições recursivas! Há famílias de linguagens que não têm estes construtores (for e while), porque usam recursão (e.g. linguagens funcionais, como Lisp, e linguagens de programação em lógica, como Prolog). Em C, o fato de escrevermos a função g(n) na forma recursiva de cauda (como acima), não significa que o compilador vai tratá-la como tal. Recursão de cauda não é natural para compiladores C. Portanto, o código acima vai criar uma pilha gigante (e ineficiente). É possível definir funções recursivas de cauda em C, mas não é fácil para o programador iniciante (nem tem a elegância e a clareza de código que gostaríamos). Em compensação a linguagem C faz muitas outras coisas tremendamente eficientes e simples! 8

9 Recursão e Indução Existe uma estreita ligação entre indução e definições recursivas. Indução é talvez a forma mais natural de raciocinar sobre processos recursivos. Indução é um método para provar que uma afirmação S(n) é válida para todo n: Primeiro mostre que S(1) (ou S(0)) é valida Depois assuma que S(k) é válida (esta é a hipótese indutiva) Mostre que S(k+1) é válida Então, S(n) é válida para todo n. Um exemplo clássico: provar que n = n(n + 1)/2 para todo n S(1) = 1(1 + 1)/2 = 1, i.e. S(1) é válida! Hipótese: k = k(k + 1)/2 é uma afirmação válida Demonstração que S(k+1) é válida, i.e k + (k + 1)= (k +1)(k + 2)/2 Pela hipótese, o lado esquerdo é k(k + 1)/2 + (k + 1) Colocando (k + 1) em evidência, tem-se: (k + 1)(k/2 +1), i.e. (k +1)(k + 2)/2 Indução cai naturalmente no mesmo paradigma da definição recursiva. São duas variantes do mesmo tema. A forma recursiva para o exemplo acima já vimos que é: g(1) = 1 g(n) = g(n 1) + n Nem toda a definição recursiva tem uma bela forma fechada (como a n(n + 1)/2) 9

10 Um Roteiro para Encontrar Soluções Recursivas Devemos observar que, no método indutivo, o problema vai sucessivamente caindo em problemas de menor porte, até que o caso base é alcançado. O passo indutivo corresponde a descobrirmos como modificar o valor vindo da chamada recursiva para ter o resultado final procurado. E o que devemos fazer é sempre muito simples, como uma espécie de retoque final (pois o maior trabalho já foi feito pela hipótese indutiva, ou seja: pela chamada recursiva) Não começe tentando simular a execução (deixe isto como teste após encontrar solução. Como um roteiro faça sempre o seguinte (até ficar automático no seu cérebro): 1. Defina o domínio e a imagem da função (lembre que são conjuntos: conjunto dos naturais, conjunto de todos os strings,...). E entenda o que a função faz (escreva exemplos). Saber o que a função faz, ajuda muito a encontrar a chamada recursiva!!! 2. Verifique se há precondições (e.g. algum valor não permitido, ou se é simplesmente a condição de pertencer ao domínio, ou...). 3. Identifique os elementos mais neutros, simples, do domínio. Os casos base geralmente (mas não necessariamente) dizem respeito a eles. 4. Formule os casos base 5. Encontre as chamadas recursivas (um degrau a menos na direção do caso base). A chamada recursiva resolve a maior parte do problema e retorna um valor concreto. 6. Encontre os passos indutivos como sendo um retoque que você faz com o valor recebido da chamada recursiva. Se você começar a complicar, é sinal de que está errado!! 10

11 SOLUÇÃO CONCEITUAL 11

12 Solução Conceitual Problema de Ordem-n: fat(n) : Ν Ν Precondição: n Ν Caso(s) Base: n=0 fat(n) = 1 Hipótese Indutiva (Chamada Recursiva): fat(n-1) Passo(s) Indutivo(s): fat(n) = n * fat(n-1) Ν inteiros não-negativos Ζ inteiros neg. e não-neg. R reais Simb símbolos de caracteres Seq sequências Item itens... Use combinações com Seq para definir domínios mais específicos. Por exemplo: SeqΝ sequências de inteiros 2, 3, 7 SeqSimb sequências de símbolos a, b, c

13 Solução Conceitual Problema de Ordem-n: Precondição: Caso(s) Base: Hipótese Indutiva (Chamada Recursiva): Passo(s) Indutivo(s): Se você não quiser usar a notação do slide anterior (Ν,,Simb, ), você pode escrever sentenças em Português. Fica menos preciso, mas é perfeitamente válido. A função fat recebe um número natural n e retorna um número natural que é o fatorial de n n só pode ser um número natural Se n é zero, a função fat retorna 1 O valor de fat para n-1 é conhecido A função fat retorna o valor de n multiplicado pelo valor de fat para n-1

14 EXEMPLOS 14

15 Exemplo com 2 Casos Base e 2 Chamadas Recursivas Série de Fibonacci (um termo é a soma dos dois anteriores): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, Definição recursiva da Série de Fibonacci: Implementação: fib(0) = 0 fib(1) = 1 fib(n) = fib(n 1) + fib(n 2) se n > 1 int fib (int n) { if (n==0) return 0; else if (n==1) return 1; else return (fib(n-1) + fib(n-2)); } 15

16 Referências Waldemar Celes, Renato Cerqueira, José Lucas Rangel, Introdução a Estruturas de Dados, Editora Campus (2004) Capítulo 4 Funções (pag. 54) Capítulo 7 Cadeias de caracteres (pag. 91) 16