Subindo uma escada. Ação: Subir 1 degrau da escada

Transcrição

1 Recursão

2 Subindo uma escada Ação: Subir 1 degrau da escada 2

3 Subindo uma escada Ação: Subir 1 degrau da escada 3

4 Subindo uma escada Ação: E agora??? 4

5 Subindo uma escada Ação: E agora??? Tem uma escada... 5

6 Subindo uma escada Ação: Subir 1 degrau da escada 6

7 Subindo uma escada Ação: E agora??? 7

8 Subindo uma escada Ação: E agora??? Tem uma escada... Subir 1 degrau da escada 8

9 Subindo uma escada Ação: E agora??? Tem uma escada... Que sequência de ações o bot está realizando? Subir 1 degrau da escada 9

10 Subindo uma escada Que sequência de ações o bot está realizando? Subir 1 degrau Subir escada restante (de n-1 degraus) 10

11 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 11

12 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 12

13 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 13

14 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 14

15 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 15

16 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 16

17 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 17

18 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 18

19 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 19

20 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus O que aconteceu????? Por que ele caiu???? 20

21 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus a ação é definida em termos de si mesma Subir uma escada aparece como parte da definição de subir uma escada!! Forma um ciclo Quando interromper o ciclo para que o bot não caia? 21

22 Subindo uma escada Quando interromper o ciclo para que o bot não caia? Escada com degraus deve subir Escada sem degraus deve parar 22

23 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Se não há degraus na escada ( n == 0) chegou no topo da escada/não há escada Senão Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 23

24 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Se não há degraus na escada ( n == 0) chegou no topo da escada/não há escada Senão Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 24

25 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Se não há degraus na escada ( n == 0) chegou no topo da escada/não há escada Senão Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 25

26 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Se não há degraus na escada ( n == 0) chegou no topo da escada/não há escada Senão Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 26

27 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Se não há degraus na escada ( n == 0) chegou no topo da escada/não há escada Senão Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 27

28 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Se não há degraus na escada ( n == 0) chegou no topo da escada/não há escada Senão Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 28

29 Subindo uma escada Subir uma escada de n degraus é: Se não há degraus na escada ( n == 0) chegou no topo da escada/não há escada Senão Subir 1 degrau Subir uma escada de n-1 degraus 29

30 Subindo uma escada 30

31 Recursividade Um objeto é dito recursivo se pode ser definido em termos de si próprio: "o quê está sendo definido aparece como parte da definição" Para fazer iogurte, você precisa de leite e de um pouco de iogurte. Para subir uma escada você precisa subir um degrau e depois o resto da escada Em toda definição recursiva, existe um caso trivial ( caso base), cuja solução é conhecida e interrompe a recorrência. Sequências, funções e conjuntos podem ser definidos recursivamente. 31

32 Recursividade em conjuntos Exemplo: Conjunto dos números naturais (pelos axiomas de Peano) 0 não é sucessor de nenhum número Todo número natural tem um único sucessor que também é um número natural Obs: Todo conjunto definido recursivamente tem cardinalidade infinita (suc(0)) 2 -- (suc(suc(0)) 3 -- (suc(suc(suc(0))) 32

33 Recursividade na Natureza * 33

34 Definições Recursivas Composta de duas partes: (1) uma base, onde alguns casos simples do item que está sendo definido são dados explicitamente (ponto de partida) (2) um passo indutivo ou recursivo, onde outros casos do item que está sendo definido são dados em termos de casos anteriores. (novos casos construídos a partir dos casos simples, que são base para construir outros casos e assim por diante) 34

35 Mãos na massa! Encontre a definição recursiva de: 1. x*y Casos Triviais? Passos Recursivos? 2. x y, com y N Casos Triviais? Passos Recursivos? 3. Quantidade de caracteres em uma string Casos Triviais? Passos Recursivos? 4. x! Casos Triviais? Passos Recursivos? 5. DESAFIO: x:y, com x, y N Casos Triviais? Passos Recursivos? 6. DESAFIO: x%y com y N Casos Triviais? Passos Recursivos? 35

36 Solução Encontre a definição recursiva de: 1. x * y 3 * 4 = 3 + (3*3) 3 * 3 = 3 + (3*2) 3 * 2 = 3 + (3*1) 3 * 1 = 3 + (3*0) 3 * 0 = 0 Casos Triviais? Passo Recursivo? 36

37 Solução 1. x * y 3 * 4 = 3 + (3*3) 3 * 3 = 3 + (3*2) 3 * 2 = 3 + (3*1) 3 * 1 = 3 + (3*0) 3 * 0 = 0 Caso Trivial? x*0 = 0 Passo Recursivo? x* y = x + x*(y-1) x* y 0, y x 0 x*( y 1), y 0 37

38 Solução 2. x y 3 4 = 3 * = 3 * = 3 * = 3 * = 1 Caso Trivial? x 0 = 1 Passo Recursivo? x y = x * x (y-1) x y 1, y x* x 0 y 1, y 0 38

39 Solução 3. Quantidade de caracteres em uma string Mia = M + ia ia = i + a a = a + '' Caso Trivial? string vazia 0 Passos Recursivos? 1 (do 1º caractere) + quantidade de caracteres na string subsequente comprimento ( str) 0, se str '' 1 comprimento (str[1:]), sestr '' 39

40 Fatorial de um número 4. Fatorial de um número n! = n * (n-1)! (n-1)! = (n-1) * (n-2)! (n-2)! = (n-2) * (n-3)!... (n-(n-1))! = (n-(n-1)) * (n-n)! (n-n)! =1 1, se n 0 n! n (n 1)!, se n 0 Esta relação de recorrência é infinita? 40

41 Fatorial de um número 1, se n n! n ( n 0 1)!, se n 0 Caso base ( ou trivial): solução conhecida. não envolve a recursão Interrompe a recorrência 41

42 Fatorial de um número 1, se n 0 n! n (n 1)!, se n 0 Caso BASE Passo Recursivo 42

43 Fatorial de 3 3! = 3 * 2! = 2 * 1, se n 0 n! n (n 1)!, se n 0 1! = 1 * 0! = 1 43

44 Fatorial de 3 6 = 3! = 3 * 2 2! = 2 * 1 1, se n 0 n! n (n 1)!, se n 0 1! = 1 * 1 0! = 1 44

45 Solução 5. Quociente da divisão inteira x : y Repartir x em grupos de y unidades. Quantas vezes o y cabe inteiro dentro do x? Caso Trivial? x < y = 0 Passo Recursivo? x y 1 + (x-y):y 7:2 = 1+ ( 5:2) 5:2 = 1 + (3:2) 3:2 = 1+ (1:2) 1:2 = 0 x : y 0, x y 1 (x - y): y, x y 45

46 Solução 6. Resto da divisão inteira x % y O que sobra de x ao reparti-lo em grupos de y unidades. Caso Trivial? x < y = x Passo Recursivo? x y, 0 + (x-y) % y x % y x, x (x - y) y % y, x y 46

47 Estruturas Recursivas: Árvore Genealógica Eu e pais Eu, pais e avós Eu, pais, avós e bisavós Eu, pais, avós bisavós e tataravós Eu e meus ancestrais pais dos pais pais dos avós pais dos bisavós 47

48 Estruturas Recursivas: Árvore Genealógica-Principal Se o nível de ancestral desejado foi atingido parar Senão Desenhar galho do nível Desenhar árvore genealógica da mãe do nível (c/-30 0 ) Desenhar árvore genealógica do pai do nível (c/+30 0 ) 48

49 Figuras Recursivas (fractal) Fractais são objetos em que cada parte é semelhante ao objeto como um todo: O objeto é composto por partes reduzidas dele próprio Triângulo de Sierpinski: 1 nível 2 níveis 3 níveis 4 níveis 5 níveis Profundidade 2 Profundidade 3 Profundidade 4 Profundidade 5 49

50 Pensamento Recursivo Como somar estes números? ???? Quebrar o problema em subproblemas menores, de mesma natureza, até alcançar um problema simples o bastante para ser resolvido trivialmente 50

51 Pensamento Recursivo ?

52 Pensamento Recursivo ?

53 Pensamento Recursivo ? 8? 4 53

54 Pensamento Recursivo

55 Pensamento Recursivo ??

56 Pensamento Recursivo

57 Pensamento Recursivo ? 4 57

58 Pensamento Recursivo

59 Pensamento Recursivo

60 Pensamento Recursivo ?

61 Pensamento Recursivo ?

62 Pensamento Recursivo

63 Pensamento Recursivo

64 Pensamento Recursivo Qual foi o caso base? Só um número para somar Qual o passo recursivo? O que fazer com a solução retornada da chamada para o caso mais simples em cada instância? 64

65 Pensamento Recursivo Qual foi o caso base? Só um número para somar Qual o passo recursivo? Somar nºs restantes ( 2º ao último) O que fazer com a solução retornada da chamada para o caso mais simples em cada instância? 65

66 Pensamento Recursivo Qual foi o caso base? Só um número para somar Qual o passo recursivo? Somar nºs restantes ( 2º ao último) O que fazer com a solução retornada da chamada para o caso mais simples em cada instância? Adicionar o 1º número ao total computado pela chamada recursiva 66

67 Processo recursivo para a solução de um problema Divide os problemas em problemas menores de mesma natureza. Natureza do problema Natureza do subproblema Método para solução do problema Método para solução do subproblema Composto de duas partes: O caso trivial, cuja solução é conhecida, e interrompe a recorrência Um método geral, onde há chamada do método para um ou mais problemas menores (subproblemas) de mesma natureza. 67

68 Funções Recursivas Resolve o problema usando como método de solução a recursão. É definida em termos de si mesma, a partir das relações de recorrência e do(s) caso(s) base(s). Regras básicas - No corpo da função há: pelo menos uma condição de parada (testes dos casos bases) chamada de uma cópia de si mesma entregando como argumento um problema mais simples do que o recebido, convergindo para o caso base (passo recursivo) problema def função ( )(:( if caso trivial: return resposta conhecida solprobmaissimples = função( ) retorna a combinação da solução p/o Argumento mais simples com solprobmaissimples 68

69 Funções Recursivas: como funciona? A chamada recursiva é uma nova instância da função (uma "cópia ) parâmetros e variáveis locais são distintos Só os parâmetros/variáveis criados pela função (ou instância) são visíveis. Exemplo: Função SubirEscada Definição Recursiva: subirescada comn degraus parar, n 0 subir1degrau subirescada comn-1degraus, n 0 Do que a função precisa para realizar sua tarefa? 69

70 Funções Recursivas: como funciona? A chamada recursiva é uma nova instância da função (uma "cópia") parâmetros e variáveis locais são distintos Só os parâmetros/variáveis criados pela função (ou instância) são visíveis. Exemplo: Função SubirEscada Definição Recursiva: subirescada comn degraus parar, n 0 subir1degrau subirescada comn-1degraus, n 0 Do que a função precisa para realizar sua tarefa? Do nº de degraus da escada 70

71 Desenvolvendo a Solução def SubirEscada (n) Se n == 0 : chegou no topo da escada/não há escada senão: Subir 1 degrau SubirEscada ( n-1) 71

72 def SubirEscada (n): Se n == 0 : chegou no topo da escada/não há escada senão: Subir 1 degrau SubirEscada ( n-1) n 4 72

73 def SubirEscada (n): Se n == 0 : chegou no topo da escada/não há escada senão: Subir 1 degrau SubirEscada ( n-1) n 4 73

74 def SubirEscada (n): Se n == 0 : chegou no topo da escada/não há escada senão: Subir 1 degrau SubirEscada ( n-1) n 4 74

75 def SubirEscada (n): Se n == 0 : chegou no topo da escada/não há escada senão: Subir 1 degrau SubirEscada ( n-1) n 3 75

76 def SubirEscada (n): Se n == 0 : chegou no topo da escada/não há escada senão: Subir 1 degrau SubirEscada ( n-1) n 3 76

77 def SubirEscada (n): Se n == 0 : chegou no topo da escada/não há escada senão: Subir 1 degrau SubirEscada ( n-1) n 3 77

78 def SubirEscada (n): Se n == 0 : chegou no topo da escada/não há escada senão: Subir 1 degrau SubirEscada ( n-1) n 2 78

79 def SubirEscada (n): Se n == 0 : chegou no topo da escada/não há escada senão: Subir 1 degrau SubirEscada ( n-1) n 2 79

80 def SubirEscada (n): Se n == 0 : chegou no topo da escada/não há escada senão: Subir 1 degrau SubirEscada ( n-1) n 2 80

81 def SubirEscada (n): Se n == 0 : chegou no topo da escada/não há escada senão: Subir 1 degrau SubirEscada ( n-1) n 1 81

82 def SubirEscada (n): Se n == 0 : chegou no topo da escada/não há escada senão: Subir 1 degrau SubirEscada ( n-1) n 1 82

83 def SubirEscada (n): Se n == 0 : chegou no topo da escada/não há escada senão: Subir 1 degrau SubirEscada ( n-1) n 1 83

84 def SubirEscada (n): Se n == 0 : chegou no topo da escada/não há escada senão: Subir 1 degrau SubirEscada ( n-1) n 0 84

85 def SubirEscada (n): Se n == 0 : chegou no topo da escada/não há escada senão: Subir 1 degrau SubirEscada ( n-1) n 0 85

86 Roteiro Recursivo Para se aplicar a recursividade deve-se pensar na definição recursiva do problema. a) Caso base ( regra de parada): Qual é o caso base? Como reconhecer o caso base? O que deve ser feito no caso base? b) Passo Recursivo: "Como o problema pode ser dividido em problemas menores de mesma natureza? ". O que deve mudar na chamada recursiva para se aproximar do caso base? Como deve mudar na chamada recursiva para convergir para o caso base? c) O que deve ser feito após a chamada recursiva da função, usando o (valor de) retorno da função? 86

87 Resumo: Recursão: Forma Geral Esquematicamente, as funções recursivas têm a seguinte forma: se "condição para o caso de base 1 " então resolução direta para o caso de base 1 <senão se "condição para o caso de base n " então> <resolução direta para o caso de base n > senão divide a instância do problema em (pelo menos) uma mais simples (pelo menos) uma chamada recursiva, com instância menor do que a instância atual do problema, convergindo ao caso base retorna combinação de resultado das chamadas recursivas fimse 87

88 Desenhando a escada com o módulo turtle

89 Desenhando uma escada recursivamente ESCADA + ESCADA 89

90 Desenhando uma escada recursivamente ESCADA + ESCADA 90

91 Desenhando uma escada recursivamente ESCADA + ESCA DA 91

92 Desenhando uma escada recursivamente + ESCA DA 92

93 Exemplo: Função DesenharEscada Desenvolvendo a Solução Definição Recursiva: parar, n 0 desenharescada comn degraus desenhar1degrau desenharescada comn-1degraus, n 0 Do que a função precisa para realizar sua tarefa? alt do 1º degrau ESCADA nº de degraus Pto (x,y) largura do degrau 93

94 Desenhando uma escada: Solução recursiva import turtle def Degrau(t,l,a,x,y): t.goto(x,y) t.begin_fill() t.color('lightsteelblue') for i in range(2): t.fd(l) t.left(90) t.fd(a) t.left(90) t.end_fill() return def Escada(t,n,l,a,x,y): if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,n-1,l,a+20,x+40,y) return 94

95 Escada(t,3,40,10,-100,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return

96 Escada(t,3,40,10,-100,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return

97 Escada(t,3,40,10,-100,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return

98 Escada(t,3,40,10,-100,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return 98

99 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return Lembre-se: Cada chamada é uma nova instância da função 99

100 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return 100

101 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return 101

102 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return 102

103 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) Escada(t,1,40,50,-20,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return Lembre-se: Cada chamada é uma nova instância da função 103

104 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) Escada(t,1,40,50,-20,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return 104

105 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) Escada(t,1,40,50,-20,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return 105

106 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) Escada(t,1,40,50,-20,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return 106

107 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) Escada(t,1,40,50,-20,0) Escada(t,0,40,70,20,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return Lembre-se: Cada chamada é uma nova instância da função 107

108 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) Escada(t,1,40,50,-20,0) Escada(t,0,40,70,20,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return 108

109 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) Escada(t,1,40,50,-20,0) Escada(t,0,40,70,20,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return 109

110 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) Escada(t,1,40,50,-20,0) Escada(t,0,40,70,20,0) 110

111 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) Escada(t,1,40,50,-20,0) n l a X y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return 111

112 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) Escada(t,1,40,50,-20,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return 112

113 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) Escada(t,1,40,50,-20,0) 113

114 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return 114

115 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return 115

116 Escada(t,3,40,10,-100,0) Escada(t,2,40,30,-60,0) 116

117 Escada(t,3,40,10,-100,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return

118 Escada(t,3,40,10,-100,0) n l a x y if n == 0: return Degrau(t,l,a,x,y) Escada(t,l,a+20,n-1,x+40,y) return

119 119

120 Complete o exercício 1. Crie a função recursiva subirescada que recebe a tartaruga, o número de degraus e as coordenadas do ponto inicial da escada 2. Utilize as funções: def sobedegrau(t,x,y): bola(t,'white') t.up() t.goto(x+25,y) bola(t,'yellow') return 3. Para testar sua função utilize o script: t=turtle.turtle() t.hideturtle() Escada(t,10,40,10,-100,0) t.goto(-112,0) bola(t,'yellow') subirescada(t,10,-110,12) def bola(t,cor): t.color(cor) t.begin_fill() t.down() t.circle(10) t.end_fill() return 120

121 Função SubirEscada Recursiva import turtle def sobedegrau(t,x,y): bola(t,'white') t.up() t.goto(x+25,y) bola(t,'yellow') return def subirescada(t,n,x,y): if n == 0: return sobedegrau(t,x,y) subirescada(t,n-1,x+40,y+20) return 121

122 Interpretação Recursiva de um número no sistema decimal

123 Sistema decimal No sistema decimal, como qualquer sistema posicional, o valor de cada algarismo depende do lugar que ele ocupa na escrita do número. Partindo da primeira casa, da direita para a esquerda, cada posição determina a multiplicação do algarismo por uma potência de 10 (1, 10, 100, ). Número sequência de algarismos 123

124 Interpretação Recursiva de um número no sistema decimal Um número no sistema decimal é: um algarismo ou um algarismo precedido por um nº Número alg

125 Mãos na massa!! Crie uma função recursiva para exibir os algarismos de um número positivo verticalmente Exemplo: Qual é o caso base? Qual o passo recursivo O que fazer com a solução retornada da chamada para o caso mais simples em cada instância? 125

126 Desenvolvendo a solução Qual é o caso base? Nº <10 apenas um algarismo Qual o passo recursivo? Separar a unidade, chamar para o número formado pelos algarismo sem a unidade O que fazer com a solução retornada da chamada para o caso mais simples em cada instância? Exibir a unidade do Nº impvertical ( número) exibir, número 10 impvertical( número//10) e exibir a unidadedonúmero, número

127 Escrever um número na vertical def ImpVertical(num): if num < 10: print(num) return ImpVertical(num//10) # separa o número que precede a unidade print(num%10) return # separa a unidade do número Número alg 127

128 impvertical(326) num if num < 10: 326 print(num) return impvertical(num//10) print(num%10) return _ 128

129 impvertical(326) num if num < 10: 326 print(num) return impvertical(num//10) print(num%10) return _ 129

130 impvertical(326) num if num < 10: 326 print(num) return impvertical(num//10) print(num%10) return _ 130

131 impvertical(326) impvertical(32) num if num <10: 32 print(num) return impvertical(num//10) print(num%10) return _ 131

132 impvertical(326) impvertical(32) num if num < 10: 32 print(num) return impvertical(num//10) print(num%10) return _ 132

133 impvertical(326) impvertical(32) num if num < 10: 32 print(num) return impvertical(num//10) print(num%10) return _ 133

134 impvertical(326) impvertical(32) _ impvertical(3) num if num < 10: 3 print(num) return impvertical(num//10) print(num%10) return 134

135 impvertical(326) impvertical(32) _ impvertical(3) num if num < 10: 3 print(num) return impvertical(num//10) print(num%10) return 135

136 impvertical(326) impvertical(32) 3 impvertical(3) num if num < 10: 3 print(num) return impvertical(num//10) print(num%10) return 136

137 impvertical(326) impvertical(32) 3 impvertical(3) num if num < 10: 3 print(num) return impvertical(num//10) print(num%10) return 137

138 impvertical(326) impvertical(32) 3 impvertical(3) 138

139 impvertical(326) impvertical(32) num if num < 10: 32 print(num) return impvertical(num//10) print(num%10) return 3 139

140 impvertical(326) impvertical(32) num if num <10: 32 print(num) return impvertical(num//10) print(num%10) return

141 impvertical(326) impvertical(32)

142 impvertical(326) num if num < 10: 326 print(num) return impvertical(num//10) print(num%10) return

143 impvertical(326) num if num < 10: 326 print(num) return impvertical(num//10) print(num%10) return

144 impvertical(326) num if num < 10: 326 print(num) return impvertical(num//10) print(num%10) return

145 impvertical(326)

146 O que muda para escrever um número de forma invertida, na vertical? def ImpVertical(num): if num < 10: print(num) return ImpVertical(num//10) # separa o número que precede a unidade # separa a unidade do número print(num%10) return O que muda para exibir o número invertido, verticalmente? Número alg impvertical ( número) exibir, número 10 impverticalnúmero ( //10) e exibir a unidadedonúmero, número

147 Uma Solução def ImpInvVertical(num): if num < 10: print(num) return print(num%10) ImpInvVertical(num//10) return # exibe a unidade do número # separa o núm que precede a unidade Número alg impinvvertical(número) exibir, número 10 exibir a unidadedonúmeroe impinvvertical( número//10), número

148 Exercícios 1) Crie uma função recursiva para contar algarismos de um número inteiro 2) Crie uma função recursiva para contar quantos algarismos 2 o número possui 3) Crie uma função recursiva para contar quantos algarismos iguais a um algarismo recebido, o número possui 4) Crie uma função recursiva que verifique se um número possui o algarismo 2. Esta função retorna True se o algarismo 2 ao número, False caso contrário 5) DESAFIOS a) Crie uma função que retorne o menor algarismo de um número b) Crie uma função recursiva que receba um número n e troque o 1º algarismo do número com o 2º, o 3º algarismo com o 4º, e assim sucessivamente 148

149 Desenvolvendo a Solução 1) Crie uma função recursiva para contar algarismos de um número inteiro Qual é o caso base? Nº com 1 algarismo (Nº <10), retornar 1 Qual o passo recursivo? Separar a unidade, chamar para Nº//10 O que fazer com a solução retornada da chamada para o caso mais simples em cada instância? Somar 1 à quantidade de algarismos contada pela chamada recursiva 149

150 Contar algarismos de um número Definição recursiva para contar algarismos de um número: 1, n 10 qtalg( n) 1 qtalg( n //10), n 10 Número alg 150

151 Solução Recursiva def contaalg (num): if num <10: return 1 qt=contaalg(num//10) return 1 + qt OU def contaalg (num): if num <10: return 1 return 1 + contaalg(num//10) 151

152 contaalg(326) if num <10: return 1 qt = contaalg(num//10) return 1 + qt num

153 contaalg(326) if num <10: return 1 qt = contaalg(num//10) return 1 + qt num

154 contaalg(326) if num <10: return 1 qt = contaalg(num//10) return 1 + qt num

155 contaalg(326) contaalg(32) if num <10: return 1 qt = contaalg(num//10) return 1 + qt num

156 contaalg(326) contaalg(32) if num <10: return 1 qt = contaalg(num//10) return 1 + qt num

157 contaalg(326) contaalg(32) if num <10: return 1 qt = contaalg(num//10) return 1 + qt num

158 contaalg(326) contaalg(32) contaalg(3) if num <10: return 1 qt = contaalg(num//10) return 1 + qt num 3 158

159 contaalg(326) contaalg(32) contaalg(3) if num <10: return 1 qt = contaalg(num//10) return 1 + qt num 3 159

160 contaalg(326) contaalg(32) contaalg(3) if num <10: return 1 qt = contaalg(num//10) return 1 + qt num 3 160

161 contaalg(326) contaalg(32) contaalg(3) 1 161

162 contaalg(326) contaalg(32) if num <10: return 1 qt = contaalg(num//10) return 1 + qt num 32 qt 162

163 contaalg(326) contaalg(32) if num <10: return 1 qt = contaalg(num//10) return 1 + qt num qt

164 contaalg(326) contaalg(32) if num <10: return 1 qt = contaalg(num//10) return 1 + qt num qt

165 contaalg(326) contaalg(32) 2 165

166 contaalg(326) if num <10: return 1 qt = contaalg(num//10) return 1 + qt num 326 qt 166

167 contaalg(326) if num <10: return 1 qt = contaalg(num//10) return 1 + qt num qt

168 contaalg(326) if num <10: return 1 qt = contaalg(num//10) return 1 + qt num qt

169 3 contaalg(326) 169

170 Interpretação Recursiva de uma sequência de caracteres

171 Interpretação recursiva de uma string Uma cadeia de caracteres é: uma sequência de caracteres vazia ou um caractere seguido de uma cadeia de caracteres ou car string T a l um caractere precedido por uma sequência de caracteres string car T a l 171

172 Mãos na massa!! Crie uma função que conte as letras maiúsculas de uma frase a) Caso base ( regra de parada) : Qual é o caso base? Como reconhecer o caso base? O que deve ser feito no caso base? b) Passo Recursivo: "Como o problema pode ser dividido em problemas menores de mesma natureza? ". O que deve mudar na chamada recursiva para se aproximar do caso base? Como deve mudar na chamada recursiva para convergir para o caso base? c) O que deve ser feito após a chamada recursiva da função, usando o (valor de) retorno da função? 172

173 Desenvolvendo a solução Qual é o caso base? string vazia Qual o passo recursivo? string[1:] O que fazer com a solução retornada da chamada para o caso mais simples em cada instância? Testar se o 1º caractere é letra maiúscula e somar 1 se for 173

174 Uma Solução def contamai(palavra): if not palavra: return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt print(contamai('f1m!')) 174

175 Uma Solução def contamai(palavra): if not palavra: return 0 qt=contamai(palavra[1:]) Em Python, a string vazia tem valor lógico False!!! if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt print(contamai('f1m!')) 175

176 contamai('f1m!') def contamai(pal): pal if not palavra: F1M! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 176

177 contamai('f1m!') def contamai(pal): pal if not palavra: F1M! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 177

178 contamai('f1m!') def contamai(pal): pal if not palavra: F1M! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 178

179 contamai('f1m!') contamai('1m!') def contamai(pal): pal if not palavra: 1M! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 179

180 contamai('f1m!') contamai('1m!') def contamai(pal): pal if not palavra: 1M! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 180

181 contamai('f1m!') contamai('1m!') def contamai(pal): pal if not palavra: 1M! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 181

182 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') def contamai(pal): pal if not palavra: M! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 182

183 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') def contamai(pal): pal if not palavra: M! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 183

184 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') def contamai(pal): pal if not palavra: M! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 184

185 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') contamai('!') def contamai(pal): pal if not palavra:! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 185

186 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') contamai('!') def contamai(pal): pal if not palavra:! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 186

187 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') contamai('!') def contamai(pal): pal if not palavra:! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 187

188 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') contamai('!') contamai('') def contamai(pal): pal if not palavra: '' return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 188

189 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') contamai('!') contamai('') def contamai(pal): pal if not palavra: '' return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 189

190 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') contamai('!') contamai('') def contamai(pal): pal if not palavra: '' return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 190

191 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') contamai('!') contamai('') 0 191

192 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') contamai('!') def contamai(pal): pal if not palavra:! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 192

193 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') contamai('!') def contamai(pal): pal qt if not palavra:! 0 return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 193

194 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') contamai('!') def contamai(pal): pal qt if not palavra:! 0 return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 194

195 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') contamai('!') def contamai(pal): pal qt if not palavra:! 0 return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 195

196 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') contamai('!') 0 196

197 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') def contamai(pal): pal if not palavra: M! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 197

198 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') def contamai(pal): pal qt if not palavra: M! 0 return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 198

199 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') def contamai(pal): pal qt if not palavra: M! 0 return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 199

200 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') def contamai(pal): pal qt if not palavra: M! 0 return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 200

201 contamai('f1m!') contamai('1m!') contamai('m!') 1 201

202 contamai('f1m!') contamai('1m!') def contamai(pal): pal if not palavra: 1M! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 202

203 contamai('f1m!') contamai('1m!') def contamai(pal): if not palavra: return 0 qt=contamai(palavra[1:]) pal 1M! qt 1 if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 203

204 contamai('f1m!') contamai('1m!') def contamai(pal): if not palavra: return 0 qt=contamai(palavra[1:]) pal 1M! qt 1 if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 204

205 contamai('f1m!') contamai('1m!') def contamai(pal): if not palavra: return 0 qt=contamai(palavra[1:]) pal 1M! qt 1 if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 205

206 contamai('f1m!') contamai('1m!') 1 206

207 contamai('f1m!') def contamai(pal): pal if not palavra: F1M! return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 207

208 contamai('f1m!') def contamai(pal): pal qt if not palavra: F1M! 1 return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 208

209 contamai('f1m!') def contamai(pal): pal qt if not palavra: F1M! 1 return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 209

210 contamai('f1m!') def contamai(pal): pal qt if not palavra: F1M! 1 return 0 qt=contamai(palavra[1:]) if palavra[0]>='a' and palavra[0]<='z': return 1+qt else: return qt 210

211 contamai('f1m!') 2 211

212 Exercícios 1. Crie uma função recursiva que exiba verticalmente uma string 2. Crie uma função recursiva que receba uma string e retorne outra string repetindo os caracteres. Ex: prog1 => pprroogg11 3. Faça um programa que leia uma string e crie uma outra string repetindo apenas as vogais. Ex: carro => caarroo 4. Crie uma função recursiva que receba uma string e retorne uma nova string com os espaços substituídos por '#' 5. DESAFIO: Crie uma função recursiva que receba duas strings e retorne quantas vezes a segunda string ocorre na primeira 6. DESAFIO: Crie uma função recursiva que conte quantos 'c' há em uma string, a partir da posição k (também recebida) 212

213 Desenvolvendo a solução do ex. 1 1.Crie uma função recursiva que exiba verticalmente uma string a) Caso base ( regra de parada) : Qual é o caso base? Como reconhecer o caso base? O que deve ser feito no caso base? b) Passo Recursivo: "Como o problema pode ser dividido em problemas menores de mesma natureza? ". O que deve mudar na chamada recursiva para se aproximar do caso base? Como deve mudar na chamada recursiva para convergir para o caso base? c) O que deve ser feito após a chamada recursiva da função, usando o (valor de) retorno da função? 213

214 Desenvolvendo a solução do ex. 1 Qual é o caso base? string vazia Qual o passo recursivo? exibir o 1º caractere, chamar para string[1:] O que fazer com a solução retornada da chamada para o caso mais simples em cada instância? nada 214

215 Uma Solução do ex. 1 def exibevertical(palavra): if not palavra: return print(palavra[0]) exibevertical(palavra[1:]) return exibevertical('palavra') 215

216 Outros Exercícios 1) Cálculo do mdc entre dois números, usando o algoritmo de Euclides. a)escrever a definição recursiva b) criar uma função para testá-la 2) Seja uma linguagem hipotética na qual não existem operadores para adição, nem subtração. Sabe-se que nesta linguagem, existe uma função prox(n) que dá o sucessor do número n e existe também uma função ant(n) que dá o predecessor de um número n. Usando apenas essas funções (prox e ant), defina a função recursiva soma(x,y), que toma como argumento os números naturais x e y e retorna sua soma. 216