Aula 2: Algoritmos: Intuição

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1 Aula 2: Algoritmos: Intuição Fernanda Passos Universidade Federal Fluminense Programação de Computadores IV Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 1 / 27

2 Agenda 1 Revisão e Contexto 2 Algoritmos (Provavelmente) Conhecidos 3 Algoritmos (Provavelmente) Não Conhecidos 4 Revisão Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 2 / 27

4 Programação Programa = Algoritmo + Estrutura de Dados. (Niklaus Wirth) Algoritmo: sequência de passos para alcançar um objetivo. Algoritmos são descritos em alguma linguagem. Definem que passos são possíveis e como descrevê-los. Restringem as operações que podem ser realizadas. Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 4 / 27

5 Foco da Aula de Hoje Algoritmos Relembrar algoritmos já conhecidos. E usados frequentemente. Criar algoritmos para novos problemas. Objetivo Trabalhar a capacidade de pensar algoritmicamente. Montar soluções a partir de operações básicas. Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 5 / 27

7 Algoritmos do Dia a Dia Há diversas atividades cotidianas nas quais empregamos algoritmos. Exemplos mais comuns estão na matemática. Algoritmos para soma, subtração, divisão,... Mas existem algoritmos para as mais diversas atividades. Exemplos: Calcular a data da Páscoa. Procurar uma página em um livro. Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 7 / 27

8 Soma de Dois Números Problema: como somar dois números com vários algarismos? Algoritmo: 1 Escreva os dois números, um embaixo do outro. 2 Alinhe os respectivos algarismos, da direita para a esquerda. 3 Complete com zeros à esquerda, se necessário. 4 Inicialmente, vai-um é zero. 5 Comece pela posição mais à direita. 6 Some os dois algarismos da posição atual e o vai-um. 7 Se a soma for menor que 10: 8 Senão: escreva na linha do resultado e vai-um passa a ser 0. separe os dois algarismos da soma; escreva o menos significativo na linha do resultado; vai-um passa a ser 1. 9 Se não há mais algarismos nos operandos: 10 Senão: escreva o vai-um na próxima coluna do resultado e pare. Avance a posição atual para o próximo algarismo à esquerda. Volte ao passo 6. Exemplos: Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 8 / 27

9 Soma de Dois Números: Problema vs. Instância O problema é a descrição genérica do que se deseja fazer. Somar dois números com vários algarismos. Uma instância é um caso particular do problema. e.g., somar 1731 e 3426, somar 5128 e 723. Um algoritmo correto deve ser capaz de dar a resposta certa para qualquer instância de um problema. Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 9 / 27

10 Soma de Mais de Dois Números Problema: como somar mais de dois números? Algoritmo: 1 Escreva todos os números, um embaixo do outro. 2 Alinhe os respectivos algarismos, da direita para a esquerda. 3 Complete com zeros à esquerda, se necessário. 4 Inicialmente, vai-um é zero. 5 Comece pela posição mais à direita. 6 Some os algarismos da posição atual e o vai-um. 7 Se a soma for menor que 10: 8 Senão: escreva na linha do resultado; e vai-um passa a ser 0. separe os dois algarismos da soma; escreva o menos significativo na linha do resultado; vai-um passa a ser o mais significativo. 9 Se não há mais algarismos nos operandos: 10 Senão: escreva o vai-um na próxima coluna do resultado e pare. Avance a posição atual para o próximo algarismo à esquerda. Volte ao passo 6. Exemplo: Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 10 / 27

11 Soma de Mais de Dois Números: Reutilização de Código Algoritmo para soma de dois números é conhecido. Pode ser aproveitado para a solução do problema mais geral. Algoritmo (versão 2): 1 Seja n a quantidade de números a serem somados. 2 Some os dois primeiros números e guarde o resultado parcial. 3 Subtraia 2 de n. 4 Se n é zero, pare. O resultado parcial é a resposta final. 5 Some o próximo número ao resultado parcial e armazene o novo resultado parcial. 6 Decremente n. 7 Volte ao passo 4. Note que... A nova solução é mais simples que a anterior. São necessários menos passos para descrevê-la. Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 11 / 27

12 Abrir Livro em uma Página Determinada Problema: Dado um livro com n páginas, encontre a página m (m n). Considere as duas seguintes soluções: Algoritmo 1 Algoritmo 2 1 Abra o livro na primeira página. 2 Se a página atual é a desejada, pare. 3 Vá para a próxima página. 4 Repita o passo 2. 1 Chute a posição correta da página. 2 Se a página escolhida é a desejada, pare. 3 Com base na página atual, faça um novo chute. 4 Repita o passo 2. Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 12 / 27

13 Abrir Livro em uma Página Determinada: Comentários Ambos os algoritmos estão corretos. Eventualmente, ambos levam à página correta. Um mesmo problema pode ter várias soluções. Primeiro algoritmo pode levar muito tempo para determinadas instâncias. e.g., encontre a página 537 em um livro de 1321 páginas. 537 trocas de página necessárias. Segundo algoritmo depende da nossa capacidade de chute. Fica mais fácil a medida que nos aproximamos da página desejada. Qual dos dois métodos utilizamos na prática? Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 13 / 27

14 Teste de Primalidade Problema: dado um número inteiro n > 1, determine se o mesmo é primo. Um número inteiro n > 1 é primo se, e somente se, n é divisível apenas por 1 e n. Algoritmo: 1 Comece com um divisor igual a 2. 2 Se o divisor é igual a n, pare (n é primo). 3 Se o divisor divide n, pare (n é composto). 4 Incremente o divisor. 5 Volte para o passo 2. Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 14 / 27

15 Teste de Primalidade: Estrutura de Dados O algoritmo proposto precisa guardar o valor atual do divisor durante a execução. Ele varia de 2 até (potencialmente) n. O divisor faz parte da estrutura de dados associada ao algoritmo. Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 15 / 27

17 O Crivo de Eratóstenes Problema: liste todos os números primos menores ou iguais a n. Primeira abordagem: para cada número de 2 a n, executar o teste de primalidade. Reutilização de código! Não há uma maneira melhor? melhor = menos operações. Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 17 / 27

18 Analisando as Propriedades do Problema Informações Conhecidas Número primo: divisível apenas por ele mesmo e por 1. Se o número m é composto, há algum primo p, 1 < p < m, tal que p \ m. Consequências Para um dado primo p, qualquer múltiplo de p é composto. Se m não é múltiplo de nenhum primo menor que ele, m é primo. Propriedade Adicional Se m é composto, ele é divisível por algum p m. Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 18 / 27

19 Construíndo o Algoritmo Relembrando Problema: liste todos os números primos menores ou iguais a n. Estratégia Se conhecemos um dado número primo p, podemos eliminar todos os seus múltiplos. Se conhecemos os k primeiros primos e eliminarmos todos os seus múltiplos, o menor número restante é primo. Primo Primo Primo Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 19 / 27

20 Escrevendo o Algoritmo 1 Liste todos os números de 2 a n. 2 Dentre os números não marcados como primos ou descartados, escolha o menor. 3 Se o valor escolhido é maior que n: Marque todos os números ainda não descartados como primos. Pare. 4 Marque este valor como primo. 5 Para cada valor múltiplo do primo atual e ainda não descartado, marque como descartado. 6 Volte ao passo 2. Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 20 / 27

21 Método Babilônico Problema: calcular (ou aproximar) a raiz quadrada de um número positivo x. Primeira ideia: tentativa e erro. Testar valores 1 m x. Se m 2 x, pare. No entanto, como escolher os valores a serem testados? Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 21 / 27

22 Analisando as Propriedades do Problema Note Que Se a > x, então b = x a < x. O intervalo (b, a) contém x. Analogamente, se a < x, então b = x a > x. Em ambos os casos, a = a+b 2 e b = x a definem um intervalo mais curto que contém a raiz. Consequências Partindo de um chute inicial (a = x 2, por exemplo), podemos construir um intervalo contendo x. Calculando b = x a. O intervalo pode ser reduzido sucessivamente, calculando-se novos valores a = a+b 2 e b = x a. Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 22 / 27

23 Escrevendo o Algoritmo 1 Calcule um chute inicial a = x 2. 2 Se a 2 x, pare. 3 Calcule b = x a. 4 Recalcule o valor de a como a = a+b 2. 5 Volte ao passo 2. Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 23 / 27

24 Exemplo de Aplicação do Algoritmo (Chinês) (31.4) x b (2) (31.4) x b (3.98) (31.4) x b (7.84) a (126) (Para x = ) Primeira Iteração Segunda Iteração a (248) Terceira Iteração a (494) (31.4) x a b (14.8) (66.9) (31.4) x b a (24.2) (40.8) (31.4) x b a (30.4) (32.5) (31.4) x b a (31.4) (31.4) Quarta Iteração Quinta Iteração Sexta Iteração Sétima Iteração Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 24 / 27

26 Importante Lembrar Problema vs. Instância. Um algoritmo é correto quando resolve qualquer instância corretamente. Reutilização de código. Em geral, vários algoritmos resolvem um mesmo problema. Nem sempre são igualmente bons. Raciocínio para criação de um algoritmo. Pensar nas propriedades do problema. Pensar em como elas podem ser usadas para resolvê-lo. Dividir o problema em sub-problemas. Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 26 / 27

27 Exercício 1 Número de iterações do Método Babilônico depende da qualidade do chute inicial. Quanto melhor o chute (mais próximo do resultado), mais rápida a convergência. Escreva um algoritmo que calcule um chute inicial melhor do que o apresentado. (Em especial, para instâncias grandes) 2 Tenho 9 pérolas idênticas, mas sei que uma delas é falsa, e é mais leve que as outras; indique os passos de como posso identificar a pérola falsa, com apenas duas pesagens em uma balança de dois pratos. Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Intuição Programação de Computadores IV 27 / 27