Aviso. Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina.

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1 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 7 - Seção 7.3 do livro texto da disciplina: Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções polinomiais: gráficos de polinômios slide 1/9

2 Números e Funções Reais Funções polinomiais: gráficos de polinômios Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

3 Proposição Seja p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, com a n 0. 1 Se n é par então, para x suficientemente grande, p(x) tem o mesmo sinal de a n ; 2 Se n é ímpar então: a) o sinal de p(x) é igual ao sinal de a n, para x suficientemente grande com x > 0; b) o sinal de p(x) é oposto ao sinal de a n, para x suficientemente grande com x < 0; 3 Em ambos os casos (n par ou ímpar), quando x cresce ilimitadamente, p(x) também cresce ilimitadamente. Demonstração: Podemos reescrever o polinômio da seguinte forma: PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções polinomiais: gráficos de polinômios slide 3/9

4 p(x) = x n an + a n a 1 x x n 1 + a 0 x }{{ n. } =f (x) Observe que se tomarmos x suficiente mente grande, cada parcela de f (x) se torna tão pequena quanto se deseje, portanto o sinal de a n + f (x) é o mesmo de a n desde que x seja suficientemente grande. Assim: a) Se n é par o sinal de x n é sempre positivo e para x suficientemente grande o sinal de p(x) = x n (a n + f (x)) é igual ao sinal de a n. b) Se n é ímpar o sinal de x n será positivo para x > 0 e negativo para x < 0. Logo, o sinal de p(x) = x n (a n + f (x)) será igual ao sinal de a n se x for suficientemente grande com x > 0, e o sinal de p(x) = x n (a n + f (x)) será oposto ao sinal de a n se x for suficientemente grande com x < 0. Aqui concĺımos que todo polinômio de grau ímpar possui pelos menos uma raíz real. c) Observe que p(x) = x n (a n + f (x)) cresce ilimitadamente com x, pois a n + f (x) se aproxima indefinidamente de a n. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções polinomiais: gráficos de polinômios slide 4/9

5 Vejamos abaixo os esboços de alguns gráficos. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções polinomiais: gráficos de polinômios slide 5/9

6 Outra informação útil para traçar o gráfico de um polinômio é determinar a localização de suas raízes. Por continuidade, sabemos que se p(a) < 0 e p(b) > 0 então existe uma raíz de p entre a e b. Um algoritmo eficiente para determinarmos uma raíz de p(x) = 0 é o método de Newton. Segundo esse métodos, se x 1 é um número próximo de uma raíz, então a sequência x 1, x 2,..., x n,..., em que x k+1 = k k p(x) p (x) onde p (x) = a 1 + 2a 2 x + + na n x n 1, tem como limite uma raíz de p. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções polinomiais: gráficos de polinômios slide 6/9

7 Podemos interpretar geometricamente o ponto x k+1 como sendo o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico de p no ponto (x k, p(x k )) com o eixo OX. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções polinomiais: gráficos de polinômios slide 7/9

8 Exercício Determinar uma raíz de p(x) = x 5 5x Solução: Observe que p(0) = 1 e que p(1) = 3 e portanto p tem uma raíz entre 0 e 1. Iniciaremos tomando x = 1 2. Neste caso x 1 = x 0 p(x 0) p = 0, (x 0 ) x 2 = x 1 p(x 1) p = 0, (x 1 ) x 3 = x 2 p(x 2) p = 0, (x 2 ) o que já é uma boa aproximação para a raíz de p entre 0 e 1, pois a próxima iteração dará o mesmo valor se aproximarmos somente até a quinta casa decimal. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções polinomiais: gráficos de polinômios slide 8/9

9 . Até breve! PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções polinomiais: gráficos de polinômios slide 9/9