MA14 - Aritmética Unidade 8 Resumo. Equações Diofantinas Lineares

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1 MA14 - Aritmética Unidade 8 Resumo Equações Diofantinas Lineares Abramo Hefez PROFMAT - SBM Julho 2013

2 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 6 - Seção 6.1 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 8 - Resumo - Equações Diofantinas Lineares slide 2/15

3 A resolução de vários problemas de aritmética recai na resolução, em números inteiros, de equações do tipo com a, b, c Z. ax + by = c, Tais equações são chamadas equações diofantinas lineares em homenagem a Diofanto de Alexandria (aprox. 300 d.c.). Nem sempre estas equações possuem solução. Exemplo A equação 4X + 6Y = 3 não possui nenhuma solução x 0, y 0 em números inteiros pois, caso contrário, teríamos 4x 0 + 6y 0 par e, portanto, nunca igual a 3. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 8 - Resumo - Equações Diofantinas Lineares slide 3/15

4 É, então, natural perguntar-se: 1) Em que condições tal equação possui soluções? 2) Caso as tenha, como determiná-las? As respostas para estas perguntas são relativamente fáceis e serão dadas nas duas proposições a seguir. Proposição Sejam a, b, c Z. A equação ax + by = c admite solução em números inteiros se, e somente se, (a, b) c. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 8 - Resumo - Equações Diofantinas Lineares slide 4/15

5 É imediato verificar que a equação ax + by = c, com a 0 ou b 0 e (a, b) c é equivalente à equação onde a 1 = a 1 X + b 1 Y = c 1, a (a, b), b 1 = b (a, b) e c 1 = c (a, b). Note que (a 1, b 1 ) = 1 e, portanto, podemos nos retringir às equações do tipo que sempre têm soluções. ax + by = c, com (a, b) = 1, Mostraremos a seguir como as soluções de uma equação diofantina como acima podem ser determinadas a partir de uma solução particular qualquer x 0, y 0. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 8 - Resumo - Equações Diofantinas Lineares slide 5/15

6 Proposição Seja x 0, y 0 uma solução da equação ax + by = c, onde (a, b) = 1. Então, as soluções x, y em Z da equação são x = x 0 + tb, y = y 0 ta; t Z. Segue-se da proposição acima que a equação diofantina ax + by = c, com (a, b) = 1, admite infinitas soluções em Z. A seguir, descreveremos um método para encontrar uma solução particular de uma equação do tipo ax + by = c, quando (a, b) = 1. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 8 - Resumo - Equações Diofantinas Lineares slide 6/15

7 Solução particular de ax + by = c, quando (a, b) = 1 Se a, b e c são números pequenos, uma solução pode ser encontrada por inspeção. Mais geralmente, o método descrito abaixo sempre permitirá achar uma solução particular da equação. Usando o algoritmo euclidiano estendido, é possível determinar m, n Z tais que ma + nb = (a, b) = 1. Multiplicando ambos os membros da igualdade acima por c, obtemos cma + cnb = c. Logo, x 0 = cm e y 0 = cn é uma solução particular da equação ax + by = c. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 8 - Resumo - Equações Diofantinas Lineares slide 7/15

8 Exemplo: Resolvamos a equação 24X + 14Y = 18 A equação tem solução, pois (24, 14) = 2 e Dividindo ambos os membros da equação por 2 = (24, 14), obtemos a equação equivalente 12X + 7Y = 9. Vamos, em seguida, achar uma solução particular x 0, y 0 desta última equação. Pelo algoritmo euclidiano, temos 12 = , 7 = , 5 = Substituindo as equações acima umas nas outras, obtemos portanto, 1 = , 9 = ( 45). Logo, x 0 = 27 e y 0 = 45 é solução particular da equação e, consequentemente, as soluções são x = 27 + t7, y = 45 t12; t Z. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 8 - Resumo - Equações Diofantinas Lineares slide 8/15

9 Equações Diofantinas sobre N Algumas vezes é necessário resolver em N {0} equações diofantinas da forma ax + by = c, onde a, b, c N. Sejam a, b N. Definimos o conjunto S(a, b) = {xa + yb; x, y N {0}}, chamado de semigrupo gerado por a e b. É claro que ax + by = c, com (a, b) = 1, tem solução em N {0} se, e somente se, c S(a, b). Portanto, é de fundamental importância caracterizar os elementos do conjunto S(a, b), ou do conjunto de lacunas de S(a, b): Pode-se provar que L(a, b) = N \ S(a, b). L(a, b) = {ma nb N; m, n N, m < b}. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 8 - Resumo - Equações Diofantinas Lineares slide 9/15

10 Teorema A equação ax + by = c, onde (a, b) = 1, tem solução em números naturais se, e somente se, c L(a, b) = {ma nb N; m, n N, m < b}. Note que o conjunto L(a, b) é finito e o seu maior elemento é max L(a, b) = (b 1)a b. Portanto, se c (b 1)a b + 1 = (b 1)(a 1), a equação ax + by = c admite solução nos naturais. Se c = (b 1)(a 1) 1, ela não admite solução. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 8 - Resumo - Equações Diofantinas Lineares slide 10/15

11 A única solução m, n da equação ax + by = c, com m < b, é uma solução minimal, no sentido de que se x, y é uma solução, então x m. Com isto, podemos enunciar o resultado a seguir. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 8 - Resumo - Equações Diofantinas Lineares slide 11/15

12 Proposição Suponha que a equação ax + by = c, com (a, b) = 1, tenha solução e seja x 0 = m, y 0 = n a solução minimal. As soluções x, y da equação são dadas pelas fórmulas x = m + tb, e y = n ta, t N {0}, n ta 0. Note que este tipo de equação tem, no máximo, um número finito de soluções, correspondentes aos seguintes valores de t: [ n ] 0, 1,...,, a [ n ] onde representa o quociente da divisão euclidiana de n por a, a ou seja a parte inteira de n a. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 8 - Resumo - Equações Diofantinas Lineares slide 12/15

13 Exemplo Vamos determinar para quais valores de c N a equação 11X + 7Y = c tem soluções em N {0}. O conjunto de lacunas de S(11, 7) é o conjunto L(11, 7) = {m11 n7 N, m, n N, m < 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 23, 24, 26, 27, 30, 31, 34, 37, 38, 41, 45, 48, 52, 59}. Portanto, a equação 11X + 7Y = c admite solução em N {0} se, e somente se, c L(11, 7). PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 8 - Resumo - Equações Diofantinas Lineares slide 13/15

14 Exemplo: Resolver a equação 11X + 7Y = 58 em N {0} Como, de acordo com o Exemplo anterior, 58 L(11, 7), a equação possui soluções. Para determiná-las, considere o algoritmo euclidiano, 11 = , 7 = , 4 = Logo, 1 = 4 3 = 4 (7 4) = = 2(11 7) 7 = Portanto, 58 = (58 2)11 (58 3)7 = ( ) = Segue daí que x 0 = 4 e y 0 = 2 é a solução minimal da equação. Logo, as soluções são x = 4 + t7, y = 2 t11, que só têm sentido para t = 0, e, portanto, a equação só possui a solução x 0 = 4, y 0 = 2. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 8 - Resumo - Equações Diofantinas Lineares slide 14/15

15 Para resolver equações como as acima, não é necessário usar toda a técnica que desenvolvemos, pois os números envolvidos são suficientemente pequenos para que seja viável achar as soluções por inspeção. No exemplo acima, bastaria testar os valores X = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 para verificar que apenas x 0 = 4 é possível. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 8 - Resumo - Equações Diofantinas Lineares slide 15/15