MA14 - Aritmética Unidade 9 Resumo. Teorema Fundamental Da Aritmética

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1 MA14 - Aritmética Unidade 9 Resumo Teorema Fundamental Da Aritmética Abramo Hefez PROFMAT - SBM

2 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 7 - Seção 7.1 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 9 - Resumo - Teorema Fundamental da Aritmética slide 2/10

3 Números Primos Um número natural maior do que 1 que só possui como divisores positivos 1 e ele próprio é chamado de número primo. Dados dois números primos p e q e um número inteiro a qualquer, decorrem da definição acima os seguintes fatos: I) Se p q, então p = q. II) Se p a, então (p, a) = 1. Um número maior do que 1 e que não é primo será chamado composto. Portanto, se um número natural n > 1 é composto, existirá um divisor natural n 1 de n tal que 1 < n 1 < n. Logo, existirá um número natural n 2 tal que n = n 1 n 2, com 1 < n 1 < n e 1 < n 2 < n. Exemplo 2, 3, 5, 7, 11 e 13 são números primos, enquanto que 4, 6, 8, 9, 10 e 12 são compostos. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 9 - Resumo - Teorema Fundamental da Aritmética slide 3/10

4 Do ponto de vista da estrutura multiplicativa dos naturais, os números primos são os mais simples e ao mesmo tempo são suficientes para gerar todos os números naturais, logo todos os números inteiros não nulos, conforme veremos mais adiante no Teorema Fundamental da Aritmética. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 9 - Resumo - Teorema Fundamental da Aritmética slide 4/10

5 A seguir, estabelecemos um resultado fundamental de Euclides (Os Elementos, Proposição 30, Livro VII). Proposição (Lema de Euclides) Sejam a, b, p Z, com p primo. Se p ab, então p a ou p b. Na realidade, a propriedade dos números primos descrita na proposição acima, os caracteriza totalmente (Veja Problema 7.1.9). Corolário Se p, p 1,..., p n são números primos e, se p p 1 p n, então p = p i para algum i = 1,..., n. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 9 - Resumo - Teorema Fundamental da Aritmética slide 5/10

6 Teorema Fundamental da Aritmética Teorema Todo número natural maior do que 1 ou é primo ou se escreve de modo único (a menos da ordem dos fatores) como um produto de números primos. Agrupando no teorema os fatores primos repetidos, se necessário, e ordenando os primos em ordem crescente, temos o seguinte enunciado: Teorema Dado um número inteiro n 0, 1, 1, existem primos p 1 < < p r e α 1,..., α r N, univocamente determinados, tais que n = ±p α 1 1 pαr r. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 9 - Resumo - Teorema Fundamental da Aritmética slide 6/10

7 Proposição Seja n = p α 1 1 pαr r um número natural escrito na forma acima. Se n é um divisor positivo de n, então n = p β 1 1 pβr r, onde 0 β i α i, para i = 1,..., r. Denotando por d(n) o número de divisores positivos do número natural n, temos que se n = p α 1 1 pαr r, onde p 1,..., p r são números primos e α 1,..., α r N, então d(n) = (α 1 + 1)(α 2 + 1) (α r + 1). PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 9 - Resumo - Teorema Fundamental da Aritmética slide 7/10

8 MDC e MMC A fatoração de números naturais em primos revela toda a estrutura multiplicativa desses números, permitindo, entre muitas outras coisas, determinar facilmente o mdc e o mmc de um conjunto qualquer de números. Teorema Sejam a = ±p α 1 1 pαn n e b = ±p β 1 1 pβn n. Pondo tem-se que γ i = min{α i, β i }, δ i = max{α i, β i }, i = 1,..., n, (a, b) = p γ 1 1 pγn n e [a, b] = p δ 1 1 pδn n. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 9 - Resumo - Teorema Fundamental da Aritmética slide 8/10

9 Exemplo Seja n > 4 um número natural, vamos provar que n é composto se, e somente se, n (n 2)!. Suponhamos n composto. Provaremos inicialmente que n (n 1)!. De fato, suponha que n = n 1 n 2 com 1 < n 1 < n e 1 < n 2 < n. Se n 1 n 2, podemos supor que 1 < n 1 < n 2, e portanto, (n 1)! = 1 n 1 n 2 (n 1), o que mostra que n (n 1)!, neste caso. Suponhamos que n 1 = n 2 > 2. Logo, (n 1)! = 1 n 1 2n 1 (n 1), o que implica também que n(= n 1 n 1 ) divide (n 1)!. Agora, note que (n, n 1) = 1 e que n (n 2)!(n 1); portanto, n (n 2)!. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 9 - Resumo - Teorema Fundamental da Aritmética slide 9/10

10 Exemplo - continuação Reciprocamente, se n (n 2)!, n não pode ser primo, pois é maior do que os fatores primos de (n 1)!. A propriedade acima pode ser generalizada como segue: Se n > 4 é composto e p é o menor número primo que divide n, então, n (n p)! De fato, temos que (n 1, n) = (n 2, n) = = (n (p 1), n) = 1. Logo, segue-se que ((n 1)(n 2) (n p + 1), n) = 1, o que, em vista do fato de n (n 1)!, acarreta o resultado. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 9 - Resumo - Teorema Fundamental da Aritmética slide 10/10

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