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1 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 1 - Seções 1.1, 1.2 do livro texto da disciplina: Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: noção de conjunto e inclusão de conjuntos slide 1/12

2 Números e Funções Reais Conjuntos: noção de conjunto e inclusão de conjuntos Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

3 Conjunto Toda a matemática atual é formulada na linguagem de conjuntos. Portanto, a noção de conjunto é a mais fundamental: a partir dela, todos os conceitos matemáticos podem se expressos. Ela é também a mais simples das ideias matemáticas. (E. L. Lima. Números e funções reais) A noção de conjunto: Um conjunto é completamente definido por seus elementos PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: noção de conjunto e inclusão de conjuntos slide 3/12

4 Pertinência Dado um conjunto X e um objeto a, cabe a pergunta seguinte: a é ou não é um elemento do conjunto X? Se sim, diremos que a pertence ao conjunto X e escrevemos a X Se não, diremos que a não pertence ao conjunto X e escrevemos a / X PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: noção de conjunto e inclusão de conjuntos slide 4/12

5 Inclusão Definição Sejam A e B conjuntos. Diremos que A é subconjunto de B (ou que A está contido em B) quando todo elemento de A for também um elemento de B Notação: A B. Exemplo: Sejam P o conjunto dos números primos e Z o conjunto dos números inteiros. Então P Z. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: noção de conjunto e inclusão de conjuntos slide 5/12

6 Inclusão Observação: Usaremos a notação A B para indicar que A não é um subconjunto de B. Exemplo: Sejam P o conjunto dos números primos e I o conjunto dos números ímpares. Claramente P I pois 2 P mas 2 / I. Exercício: Denotamos por o conjunto vazio (sem elementos). Mostre que, dado qualquer conjunto A, tem-se que A. Solução: se A, existiria x tal que x / A o que é uma contradição. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: noção de conjunto e inclusão de conjuntos slide 6/12

7 propriedades conjuntos Os conjuntos substituem as propriedades. Isto significa que em vez de dizermos que o elemento x goza da propriedade P podemos escrever que x A em que A é o conjunto dos elementos que gozam da propriedade P. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: noção de conjunto e inclusão de conjuntos slide 7/12

8 propriedades conjuntos Exemplo: Seja P a propriedade de um número inteiro x ser divisível por 3. Por outro lado, seja A = {..., 6, 3, 0, 3, 6,... }. Então, tanto faz dizer que x tem a propriedade P ou escrever x A. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: noção de conjunto e inclusão de conjuntos slide 8/12

9 Propriedades da inclusão Reflexividade: A A; Antissimetria: Se A B e B A, então A = B; Transitividade: Se A B e B C, então A C. A relação de inclusão está intimamente ligada à implicação lógica. Por exemplo: Sejam P e Q propriedades sobre os elementos de um conjunto U e suponha que desejamos mostrar que P Q. Sejam A e B conjuntos formados pelos elementos de U que gozam, respectivamente, das propriedades P e Q. Observe que: A B é equivalente a P Q. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: noção de conjunto e inclusão de conjuntos slide 9/12

10 Propriedades da inclusão A propriedade antissimétrica é muito usada nos raciocínios matemáticos. Por exemplo: Sejam P e Q propriedades sobre os elementos de um conjunto U e suponha que desejamos mostrar que P Q. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: noção de conjunto e inclusão de conjuntos slide 10/12

11 Propriedades da inclusão Sejam A e B conjuntos formados pelos elementos de U que gozam, respectivamente, das propriedades P e Q. Observe que: A B é equivalente a P Q e B A é equivalente a Q P. Portanto A B e B A é equivalente, por antissimetria, a A = B que é equivalente a P Q. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: noção de conjunto e inclusão de conjuntos slide 11/12

12 Complementar Obrigado. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: noção de conjunto e inclusão de conjuntos slide 12/12