Modelagem e Simulação de Processos Equações Algébricas. Prof. Dr. Félix Monteiro Pereira

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1 Modelagem e Simulação de Processos Equações Algébricas Prof. Dr. Félix Monteiro Pereira

2 PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES EXEMPLO: PROCESSO CONTÍNUO DE EXTRAÇÃO Anilina é removida da água por uma operação de extração utilizando tolueno como solvente. O processo é realizado em uma torre com 10 estágios em contracorrente, conforme esquematizado na figura. A constante de equilíbrio válida para cada estágio é: K i =Y i /X i =9 Onde: Yi = (lb de anilina na fase orgânica)/(lb de tolueno na fase orgânica); Xi= (lb de anilina na fase aquosa)/ (lb de água na fase aquosa); a) Realize os balanços de massa em cada estágio da torre e combine as equações de balanço com as de equilíbrio a fim de se obter um sistema com 10 equações. b) Resolva o sistema de equações e simule a concentração em cada fase de cada estágio da torre ( valores de Xi e Yi). c) Analise, comente os resultados obtidos e faça uma verificação da validade do resultado obtido realizando o balanço material considerando como volume de controle toda a torre.

3 Métodos numéricos: - Equação não linear: Método de Newton-Raphson, Bisseção, entre outros; - Sistema de equações não lineares: Método de Newton-Raphson multivariado; Características comuns: -- Métodos iterativos; -- Podem necessitar de estimativa(s) inicial(is) do(s) parâmetros; -- Podem necessitar da derivada ou da matriz jacobiana da(s) função(ões) com relação aos parâmetros a serem estimados; -- Função fsolve do scilab (ver a ajuda do scilab).

4 Exemplo: Solução da equação de Colebrook. Desenvolva um programa computacional para calcular o fator de atrito em função da rugosidade relativa (e/d) e do número de Reynolds (Re) utilizando a equação de Colebrook: a) Apresente uma forma a ser utilizada para a obtenção da estimativa inicial; b) Calcule o fator de atrito para e/d=10-4 e Re=10 5. Compare o valor estimado com o obtido ao se utilizar o diagrama de Moody. c) Plote um gráfico de f em função de Re para tubos lisos, e/d=10-4, e/d=10-3 e e/d=10-2 Compare com as curvas apresentadas no diagrama de Moody. Informações úteis: Alguns comandos lógicos (em caso de dúvidas utilize o help do scilab) comando if (se), faz um teste lógico (= = igual, ~= diferente, > maior que, > = maior ou igual que, < menor que, <= menor ou igual que, & (e), (ou),then (faça se verdadeiro), else (se falso), end (fim) ; while (faça enquanto) teste lógico for verdadeiro, end; for (para) i=a:passo:b (i variando de a até b com o passo) poderia ser também i=a:b (i variando de a até b com o passo igual a 1) end;

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6 Exemplo: Projeto de reatores contínuos em série Considere o projeto de um conjunto de reatores contínuos em série que será utilizado na conversão A+B C+D, para a qual a constante de velocidade é k. A cinética é de segunda ordem com relação a concentração de A (a): ra=ka 2 Considere que o projeto prevê a utilização de n reatores com um determinado volume V. Os reatores serão operados a volume constante, com uma taxa de alimentação F de uma solução contendo iguais concentrações de A e B na entrada do conjunto de CSTRs. Considere a0 a concentração de A na entrada do primeiro reator e a1, a2,..., a n as concentrações na saída do primeiro, segundo,..., enésimo reator, respectivamente. A etapa do projeto que coube a você, como engenheiro, é justamente criar uma metodologia ou um programa computacional capaz de calcular o volume dos reatores V em função do número de reatores n, para ser utilizado em uma futura análise financeira. Além disso, para ter controle sobre o processo, o programa também deverá simular as concentrações de A na saída de cada reator. O projeto prevê uma conversão global de 80% (ou seja, an/a0=0,2) e as seguintes condições: k=0,075 L/(mol min), F=30L/min, a0=1,6 M. Para testar o programa simule para n=1, 2, 3, 4 e 5 reatores em série.

7 Exemplo: Destilação flash para misturas multicomponentes F moles por hora de uma mistura de n- componentes de gás-natural liquefeito são expandidos em um tambor de flash a120 ºF e 1600 psia. O vapor e o líquido saem do tambor a taxas V e L (moles por hora), respectivamente. As frações molares dos componentes em F, V e L são dados por zi, yi e xi (i=1,2,...,n), respectivamente. Assumindo as condições de equilíbrio líquido vapor e de operação em estado Estacionário: a) Apresente o balanço material global e o balanço material por componente, considetando a seguinte relação de equilíbrio por componente: Ki=yi/xi=9 (i=1,2,...,n) b) Reduza o número de equações não lineares a uma única equação não linear; c) Assumindo F=1000moles/h, calcule as frações molares na fase líquida (xi), na fase vapor (yi) e os fluxos na fase líquida L e vapor V.