UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR

Transcrição

1 UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR Computação Científica 1º Semestre Frequência Resolução 14/12/ [1.25 val] Considerando o sistema de números de ponto flutuante normalizado F(10, 5, -4, 5): a) represente o número neste sistema; indique o tipo de arredondamento que usou; x x 10 2 (arredondamento por defeito) x 10 2 (arredondamento simétrico) b) determine o menor número positivo possível e respetiva região de underflow; menor x região de underflow : ]-menor, menor[ ] , [ - { 0 } c) determine o maior número positivo possível e respetiva região de overflow; maior x região de overflow : ]-, -maior[ ]maior, + [ ]-, [ ] , + [ d) determine o número de elementos do sistema F; Como o primeiro dígito deve ser não nulo (formato normalizado) e os restantes podem ser um qualquer, a quantidade de números positivos do formato considerando apenas a mantissa é: 9x10x10x10x quantidade de números negativos do formato: (igual à quantidade de positivos) quantidade de expoentes possíveis de usar é: 10 (-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5) Logo, o total de números deste formato é: 2 x x e) determine o sucessor do número x 10 5 no sistema F. O sucessor de x 10 5 seria x x 10 6 Mas como este número não pertence ao formato F(10, 5, -4, 5), conclui-se que aquele número não tem sucessor neste formato. Nota: um número real em ponto flutuante na base b tem o formato 0.d 1 d 2 d 3... d p x b e 2. [0.25 val] Para que servem cada um dos seguintes métodos numéricos: a) de Gaus-Seidel; Para determinar a solução de um sistema de equações lineares.

2 b) de Newton-Raphson; Para determinar os zeros de uma função não linear. c) de Jacobi; Para determinar a solução de um sistema de equações lineares. d) da Bisseção; Para determinar os zeros de uma função não linear. e) da Falsa Posição. Para determinar os zeros de uma função não linear. 3. [3.0 val] Dada a tabela de valores de uma dada função real f x i y i a) Determine o polinómio interpolador de Lagrange de grau menor ou igual a 2, p 2 (x), que interpola os valores nodais y i nos nós x i apresentados na tabela anterior. Para se construir um polinómio de grau menor ou igual a 2 são necessários 3 pontos. Por exemplo, escolha-se x 0-1, x 1 0 e x 2 2. Os polinómios de Lagrange são os seguintes: L 0 (x) (x x 1 ) (x x 2 ) (x 0 x 1 ) (x 0 x 2 ) (x 0) (x 2) ( 2 0) ( 2 2) x2 2x 2 ( 4) x2 2x 8 L 1 (x) (x x 0 ) (x x 2 ) (x 1 x 0 ) (x 1 x 2 ) (x ( 2)) (x 2) (0 ( 2)) (0 2) (x +2) (x 2) 2 ( 2) x2 4 4 L 2 (x) (x x 0 ) (x x 1 ) (x 2 x 0 ) (x 2 x 1 ) (x ( 2)) (x 0) (2 ( 2)) (2 0) (x +2) x 4 (2) x2 +2x 8 Assim sendo, o polinómio interpolador é dado por: 2 p 2 (x) k 0 L k (x) y k L 0 (x)y 0 +L 1 (x)y 1 +L 2 (x)y 2 8 L 0 (x) 4 L 1 (x)+0 L 2 (x) 8 8 (x2 2x) 4 ( 4) (x2 4) +0 (x 2 2x) +(x 2 4) 2 x 2 2 x 4 b) Suponha que o valor estimado para x 1, usando um outro polinómio interpolador de grau menor ou igual a 2, p' 2 (x), é p' 2 (1) 0. Sem efetuar qualquer cálculo, pode-se afirmar que este polinómio p' 2 (x) está bem determinado, está mal determinado, ou nada se pode concluir. Justifique a resposta dada. Sendo um polinómio de grau 2, tem 2 raízes. Uma raiz encontra-se no intervalo ]-2, 0[ e a outra raiz em x 2. Ou seja, p' 2 (y) 0, para y ]-2, 0[ e p' 2 (2) 0. Assim sendo, se p' 2 (1) 0, então p' 2 (x) está mal determinado.

3 c) Considere o seguinte polinómio: p(x) x 2 x - 2 Sem determinar os polinómios de Lagrange, pode-se afirmar que este polinómio i) pode ser ou ii) não pode ser o polinómio interpolador de Lagrange de grau menor ou igual a 3 que interpola os valores nodais y i que constam na tabela anterior. Ou então iii) nada se pode afirmar. Justifique a resposta. Para p(x) ser o polinómio interpolador de grau menor ou igual a 3 dos pontos dados, então todos os 4 pontos têm que contribuir para a sua construção. Desta forma, p(-2) 8, p(0) -4, p(2) 0 e p(3) 8. p(-2) (-2) 2 - (-2) Como p(-2) 1 8, então p(x) não pode ser polinómio interpolador daqueles pontos. d) Ao aplicar-se o polinómio interpolador determinado em a) para x -2 o valor obtido é 8; isto é, p 2 (-2) 8. Podemos usar este valor para interpolar x -2? Justifique a resposta. Se x -2 é um dos nós que serviu para determinar o polinómio interpolador p 2, então podemos. Caso contrário, não. Nese caso, podemos. e) Ao aplicar-se o polinómio interpolador determinado em a) para x 3 o valor obtido é 8; isto é, p 2 (3) 8. Podemos usar este valor para interpolar x 3? Justifique a resposta. Se x 3 é um dos nós que serviu para determinar o polinómio interpolador p 2, então podemos. Caso contrário, não. Nese caso, não podemos. 4. [2,0 val] Enunciado do problema: Uma determinada Pastelaria funciona da seguinte forma: Os clientes ao chegarem à Pastelaria dirigem-se ao balcão para escolherem os produtos que desejam comprar, no qual se encontram 2 funcionários. Depois de escolherem os produtos, e já com as compras na sua posse, os clientes dirigem-se a uma caixa onde se encontra 1 funcionário para efetuarem o respetivo pagamento. Objetivos: - Tempos médios de espera dos clientes na Pastelaria. Se tivesse que construir um modelo de simulação associado a este problema, indique como definia: a) Quantas fases teria o modelo. Identifique-as. Duas Fases. Fase 1: Zona de Aquisição dos produtos (escolha e recolha dos produtos adquiridos). Fase 2: Zona de dos produtos adquiridos. b) Quais as entidades envolvidas no modelo. Três entidades: Clientes, Postos de Aquisição dos produtos e Posto de.

4 c) Quais os eventos/acontecimentos associados ao modelo. Neste modelo podem-se definir 4 Eventos: 1. Evento de Chegada (quando um cliente chega à zona de aquisição dos produtos); 2.Evento de Partida do Posto de Aquisição 1; 3.Evento de Partida do Posto de Aquisição 2; 4. Evento de Partida do Posto de (quando o cliente abandona o sistema). Nota: O evento de chegada ao Posto de coincide com os eventos de Partida dos Postos de Aquisição (1 e 2). d) Quais as atividades envolvidas. Quatro atividades: 1. Período de tempo de espera na Fila da Zona de Aquisição de produtos 2. Período de tempo de atendimento na Zona de Aquisição de produtos 3. Período de tempo de espera na Fila da Zona de 4. Período de tempo de atendimento na Zona de e) Descreva os passos principais (algoritmo) associados a um dos eventos do modelo à sua escolha. Evento de chegada: Determinar Próxima Chegada (instante associado à chegada do próximo cliente) Se Posto de Aquisição 1 está livre Então Posto de Aquisição 1 passa a ocupado Determinar Próxima Partida do Posto de Aquisição 1 (instante de tempo) Senão { Posto de Aquisição 1 está ocupado } Se Posto de Aquisição 2 está livre Então Posto de Aquisição 2 passa a ocupado Determinar Próxima Partida do Posto de Aquisição 2 (instante de tempo) Senão Inserir o Cliente na Fila de Espera Atualizar Variáveis Estatísticas

5 5. [3,5 val] Enunciado do problema: Uma determinada Gasolineira com apenas 1 de Combustível funciona da seguinte forma: Os clientes ao chegarem à Gasolineira com a sua viatura dirigem-se à sua única onde o funcionário abastece a viatura e procede ao respetivo pagamento, caso o pagamento seja em dinheiro. Se o pagamento for feito através de Cartão (de Crédito ou de Débito), o cliente terá que se dirigir a um outro Posto de Atendimento onde se encontra outro funcionário para proceder ao respetivo pagamento. Objetivos: - Estimar os tempos médios de espera dos clientes na Gasolineira em cada Fila. - Estimar a percentagem de clientes que passam pelas Filas. Considere-se que os tempos de chegada dos Clientes à Gasolineira e os tempos gastos por cada um deles na e no Posto de com Cartão são os que constam na tabela seguinte: Cliente Instante de chegada à Gasolineira (minutos) Tempo de Abastecimento (e pagamento em dinheiro) (minutos) Tempo de com Cartão (minutos) a) Simule o sistema, considerando os dados que constam na tabela. b) Quais os tempos médios de espera em cada Fila? Tempo médio de espera na Fila da 44/7 6,28 minutos 377 segundos Tempo médio de espera na Fila de 0 minutos Qual a percentagem de clientes que passaram por cada Fila? Percentagem de clientes que passaram pela Fila da 6/7 86% Percentagem de clientes que passaram pela Fila de 0/7 0%

6 Relógio Tipo Evento Cliente Próxima Chegada Fila na (Abastecimento) Estado Partida Fila com Cartão Estado Posto Partida Posto Tempos Espera Clientes Fila Tempos Espera Clientes Fila [ ] Livre Infinito [ ] Livre Infinito Chegada 1 14 [ ] Ocupado 15 [ ] Livre Infinito Chegada 2 17 [14] Ocupado 15 [ ] Livre Infinito Partida B 1 17 [ ] Ocupado 23 [ ] Livre Infinito Chegada 3 21 [17] Ocupado 23 [ ] Livre Infinito Chegada 4 26 [17, 21] Ocupado 23 [ ] Livre Infinito Partida B 2 26 [21] Ocupado 30 [ ] Livre Infinito Chegada 5 35 [21, 26] Ocupado 30 [ ] Livre Infinito Partida B 3 35 [26] Ocupado 38 [ ] Livre Infinito Chegada 6 44 [26, 35] Ocupado 38 [ ] Livre Infinito Partida B 4 44 [35] Ocupado 44 [ ] Livre Infinito Chegada 7 Infinito [35, 44] Ocupado 44 [ ] Livre Infinito Partida B 5 Infinito [44] Ocupado 51 [ ] Ocupado Partida P 5 Infinito [44] Ocupado 51 [ ] Livre Infinito Partida B 6 Infinito [ ] Ocupado 59 [ ] Ocupado Partida P 6 Infinito [ ] Ocupado 59 [ ] Livre Infinito Partida B 7 Infinito [ ] Livre Infinito [ ] Livre Infinito