Lista de Exercícios 2011

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1 Cálculo Numérico Lista de Exercícios Em sistemas mecânicos reais, amortecedores podem ser constituídos com molas não-lineares (ie, em que a força aplicada não é diretamente proporcional à deformação sofrida). Suponha uma mola em que a relação entre a força, F, e a deformação, x, seja dada por: F = (k 1 x+k 2 x 3/2 ) (neste caso k 1 é o coeficiente linear da mola e k 2 é o coeficiente não-linear). Suponhe que a mola em questão esteja apoiada sobre o plano e que um bloco com massa m é deixado cair sobre ela a partir de uma altura h (medida a partir do topo da mola). Em consequência a mola sofre uma compressão d quando o bloco atinge velocidade nula no extremo de deformação. Aplicando a conservação da energia, pode-se mostrar que: onde g é a aceleração da gravidade. 2k 2 d 5/ k 1d 2 = mgd mgh Determine, com uma margem de erro menor que 2cm, a compressão de uma mola cujos coeficientes sejam k 1 = g/s 2, k 2 = 40g/(s 2 m 5 ), m = 95g, g = 9,8m/s 2 e h = 0.43m. Antes de iniciar os cálculos, escreva (em linguagem corrente, porém de forma estruturada) um algorítmo para ser seguido e determine o número de iterações necessárias. Durante a iteração monte uma tabela mostrando os limites do intervalo, o valor obtido para a raiz, os sinais da função em estudo nos limites e na raiz e ainda a dimensão do intervalo, para cada etapa. 2. Um foguete de massa inicial m = kg é lançado a partir do repouso no instante inicial. O consumo de combustível (problema de massa variável) é constante a uma taxa q = 2680kgs 1. A velocidade desse foguete, supondo a aceleração da gravidade constante (g = 9.8ms 2, pode ser calculada, em função do tempo, por: v(t) = uln m m qt gt onde u é a velocidade de escape dos gases resultantes da queima do combustível. Suponha u = 2680ms 1. Escreva (em linguagem corrente, porém de forma estruturada) um algorítmo a ser seguido para determinar o intervalo de tempo gasto para atingir a velocidade de 1000ms 1 utilizando o método da Falsa Posição, considerando que o erro de aproximação para o valor da raiz entre duas iterações deve ser menor que 2.5% e que o número máximo de iterações realizadas seja 5. 1

2 Aplique o algorítmo para determinar aquele instante de tempo (sugestão: deve ser menor que 50 s). Durante a iteração monte uma tabela mostrando os limites do intervalo, o valor obtido para a raiz, os valores da função em estudo nos limites e na raiz, o erro solicitado e ainda a dimensão do intervalo, para cada etapa. Analisando os resultados obtidos e supondo que o comportamento observado seja mantido, pode-se garantir a determinação daquele intervalo de tempo com confiabilidade de 1% efetuando-se mais iterações? (sem realizar novos cálculos! ) Resolva o mesmo problema com outros métodos e compare os resultados obtidos em termos no número de iterações para obter o mesmo valor da raíz, compare também possíveis intervalos de confiança. 3. O balanço de massa para um poluente em um lago com boas condições de mistura pode ser descrito pela equação: V dc dt = W Qc kv c (1) onde c é a concentração (instântanea) do poluente, V é o volume de água ( m 3 ), Q é o fluxo ( m 3 ano 1 ) e W a taxa de ingressodo poluente ( g.ano 1 ). A constante ali envolvida vale k = 0.2m 1/2 g 1/2 ano 1. Admitindo a situação estar em estado estacionário (ie, o equilíbrio é atingido e não mais existem variações temporais), obtenha a equação determinando a concentração (de equilíbrio). A partir da equação no item anterior, determine duas funções de iteração que poderiam ser utilizadas com o método do ponto fixo. Sabendoquearaizencontra-senointervalo( ), utilize asduasfunções acima para determinar a raiz, admitindo inicialmente o valor c = 4.0. Não é necessário verificar explicitamente a condição de convergência!! Realize cinco iterações, apresentando tabelas com a raiz encontrada e o erro relativo de aproximação (entre os valores obtidos para a raiz) em cada uma. Repita a determinação da raiz da equação 1 usando o método de Newton- Raphson a partir do mesmo ponto semente (não é necessário verificar as condições de convergência) e interrompendo o processo ao final da quinta iteração OU quando o erro relativo de aproximação for menor que 0.5%. Novamente repita a determinação da raiz da equação 1 usando o método da secante a partir do par semente [3.5;4.0] (não é necessário verificar as condições de convergência), interrompendo o processo ao final da quinta iteração OU quando o erro relativo de aproximação for menor que 0.5%. Compare as soluções (sequências) obtidas por cada método. 4. Um mutuário assume um financiamento habitacional para adquirir um imóvel. Ele escolheu uma residência valendo R$ , oferecendo R$ como entrada. O financiamento em 215 parcelas mensais terá uma prestação de R$ Sabe-se que financiamentos em geral obedecem à seguinte regra para composição de juros (dita equação de anuidade ordinária): A = P [ i 1 (1+i) n] onde A é o valor financiado (não o valor do bem!), P o valor de cada pagamento e i a taxa de juros por período (por n períodos de pagamento). 2

3 (a) Monte a equação correspondente ao problema apresentado. (b) Determine um intervalo para a localização da raiz desejada. (c) Reagrupe a equação do primeiro item para a forma genérica x = Φ(x). (d) Determine, escolhendo o método do ponto fixo, a taxa de juros mensal no financiamento, com a erro menor que % (atenção, a porcentagem refere-se àquela da taxa em si - entre duas iterações - e não ao valor percentual do erro). Limite os cálculos a oito iterações se a precisão não for atendida, mas faça um mínimo de cinco iterações em caso contrário. (e) Monte a tabela correspondente com a taxa determinada e o erro em cada iteração. (f) Quantas iterações do método da bisseção seriam necessárias para determinar a raiz com a mesma precisão obtida na última iteração do item anterior? (g) Calcule a taxa de juros anual (12 meses) desse financiamento e compare com a taxa Selic, de %. (h) Calcule o valor total pago pelo mutuário ao atingir o final do financiamento. Compare com o valor à vista (não considerando eventuais descontos). 5. O estado estacionário de circuitos elétricos é normalmente analisado utilizando as leis de Kirchoff. No caso de transientes (mudanças temporais súbitas), um novo estado estacionário é atingido após um tempo característico. Para um circuito RLC como o da figura, esse tempo depende dos valores da capacitância e da indutância existentes, enquanto a resistência determina a dissipação de energia durante as oscilações do transiente. A corrente, i, através do resistor R causa uma queda de tensão dada por: V R = ir enquanto a queda de tensão no indutor L é obtida como: V L = L di dt e a tensão no capacitor C depende da carga, q(t), acumulada:. V C = q C Aplicando a lei de Kirchoff ao lado direito do circuito, depois de fechada a chave, obtém-se: L di dt +Ri+ q C = 0 entretanto, a carga e corrente estão relacionadas por: i = dq dt e assim chega-se à equação que governa a evolução da carga no capacitor: L d2 q dt 2 +Rdq dt + q C = 0 3

4 Essa última equação pode ser resolvida analiticamente para fornecer: 1 q(t) = q e Rt/2L cos LC ( R 2L )2 Um problema típico em engenharia elétrica é dimensionar o resistor R para dissipar energia a uma taxa pré-determinada, para valores conhecidos de L e C. Assuma que a carga deve ser dissipada a 1% do seu valor inicial (q/q = 0.01) em t = 0.05s com L = 5H e C = 10 4 F. Escrevendo a equação acima (q(t)/q ) em função de R: f(r) = e 0.005R cos[ (R) 2 ] 0.01 = 0 Determine a raíz com um intervalo de confiança menor que 20Ω. Verifique quais outros métodos poderiam obter o mesmo valor para a raíz (comparando o número de iterações utilizadas). 6. Um amplificador eletrônico, com acoplamento R-C, com três estágios em cascata tem uma resposta a um degrau unitário de tensão dado pela expressão: ) g(t) = 1 (1+T + T2 e T (2) 2 onde T = t RC é uma unidade de tempo normalizada. O tempo de subida de um amplificador é definido como o tempo necessário para sua resposta ir de 10% a 90% de seu valor final. No caso, como g( ) = 1, determine o tempo de subida do amplificador mencionado (são necessárias duas equações para essa determinação - utilize dois diferentes métodos numéricos, da família de aproximação sucessiva, para resolvê-las). Assuma que as funções utilizadas nas duas equações e suas derivadas até segunda ordem sejam contínuas nos intervalos (0.5, 2.0) e (2.5, 5.0), respectivamente, para as equações ligadas às duas percentagens mencionadas. Limite os cálculos a três interações completas. 7. Uma bola atiradaverticalmenteparaoalto com velocidadeinicial v e posição inicial y, sujeita à resistência do ar, tem sua posição definida por: y(t) = 1 ρ (v +v r )(1 e ρt ) v r t+y ondeρmede ocoeficientedearrastonoarev r (= mg/k)avelocidadeterminal. Determine quanto tempo a bola gasta para atingir o solo, supondo v = 20m/s,v r = 25m/s, ρ = 0.35, g = 9.8m/s 2 e y = 0, E (a) utilizando o método de Newton Raphson a partir do ponto t = 2.5s; (b) utilizando o método das secantes, a partir dos pontos t = 2.5s e t = 2.75 s. Faça apenas 5 iterações (completas) em cada método e compare os resultados obtidos. Verifique se em alguma sequência é possível determinar um intervalo de confiança. repita o item (a) a partir do ponto t = 0.0s. Compare com a sequência anterior. Explique. 4

5 8. No controle ambiental, o nível de oxigênio, c, em um rio pode ser calculado a jusante do ponto de descarga de esgoto pela equação: c = 10 20(e 0.2x e 0.75x ) (3) onde x em km representa a distância a partir do ponto de descarga. Determine a distância para a qual o nível de oxigênio torna-se menor que 5, com um erro de aproximação inferior a 1% (interrompa o processo se não atingir esse erro em 6 iterações!). 9. Na otimização de um sistema de reatores químicos de tarefa (batelada), vide esquema na figura onde C i representa a concentração de um produto e Q jk o fluxo entre reatores, é necessário resolver o sistema linear dado pelas equações abaixo, obtidas da conservação de massa nos reatores, considerando a situação de equilíbrio: 0.5x x x 3 +4x 4 = x 2 +3x x 4 = 4 x 1 +2x x x 4 = x 1 +x x 4 = 4.5 (a) Determine a solução deste sistema utilizando método mais adequado. 10. Um engenheiro eletricista supervisiona a produção de três tipos de componentes elétricos. Três espécies de materiais metal, plástico e borracha são necessários para sua produção. As quantidades desses materiais empregados para cada componente são: Metal (g/cpte) Plástico (g/cpte) Borracha (g/cpte) Comp Comp Comp

6 (a) Se diariamente são disponibilizados 2.12, e kg de cada material, respectivamente, quantos componentes podem ser produzidos? (b) Se o fornecimento diário de cada material fosse incrementado para 2.61, e kg, respectivamente, quantos componentes poderiam ser então obtidos? 11. Um sistema de 4 amortecedores em série (p.ex., molas unidas em sequência), comprimido por uma força F = 2000kgf na situação de equilíbrio (estática) pode ser descrito pelo seguinte sistema de equações simultâneas: k 1 +k 2 k k 2 k 2 +k 3 k k 3 k 3 +k 4 k k 4 k 4 x 1 x 2 x 3 x 4 = (4) 0 0 onde {k i } são as constantes das molas (F i = k i x i ), {x i } os deslocamentos medidos em relação à situação de repouso e a força é aplicada sobre o último elemento. A matrix A é denominada Matriz de Rigidez do sistema. Suponha que {k i } = 150, 50, 75 e 225kgs 2, respectivamente. Determine os deslocamentos de cada mola. 6

7 12. Uma empresa de construção utiliza matéria prima de três diferentes pedreiras. A primeira delas fornece uma mistura com 52% de areia, 30% de cascalho e 18% de brita. A segunda fornece, respectivamente, 20%, 50% e 30% e a terceira, também respectivamente, 25%, 20% e 55% daqueles três materiais. (a) Para uma obra em curso, são necessários 4800m 3 de areia, 5810m 3 de cascalho e 5690m 3 de brita. Considerando o fornecimento simultâneo das três pedreiras, determine a cubagem originada de cada uma delas para a referida obra. (b) Para uma outra obra são necessários, respectivamente, 5300, 5900 e 5800m 3 de cada um dos materiais indicados. Determine a nova cubagem que deve ser obtida de cada pedreira. (c) Sabendo que o custo do frete no transporte dos materiais é R$ 1.65m 3, indique qual das obras terá o menor custo de transporte. 7