(a) Obtenha o valor de f( 1). (b) Estime o valor de f(2). (c) f(x) = 2 para quais valores de x? (d) Estime os valores de x para os quais f(x) = 0.

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1 Lista de Exercícios de Cálculo I para os cursos de Engenharia - Funções 1. Dado o gráfico de uma função: (a) Obtenha o valor de f( 1). (b) Estime o valor de f(). (c) f(x) = para quais valores de x? (d) Estime os valores de x para os quais f(x) = 0. (e) Obtenha o domínio e a imagem de f. (f) Em qual intervalo f é crescente?. Dados os gráficos de f e g: (a) Obtenha os valores de f( 4) e g(3). (b) f(x) = g(x) para quais valores de x? (c) Estime a solução da equação f(x) = 1. (d) Em qual intervalo f é decrescente?. (e) Dê o domínio e a imagem de f. (f) Obtenha o domínio e a imagem de g. 1

2 3. Determine o domínio das funções abaixo: (a) f(x) = 1 x 3 (b) y = x (c) f(x) = x x (d) f(x) = x 3x (e) G(x) = 1+sen(x) (f) h(x) = 1 3+ x (g) f(x) = sen x (h) h(t) = (t 3t + )(1 t) (i) y = 1 x 4 (j) h(s) = s + 1 (k) g(x) = x 4 x 4 (l) h(x) = log (x + 5x 6) (m) f(x) = x 3x 1 (n) f(t) = t + 3 t (o) h(x) = 1 4 x 5x (p) f(x) = 5 (q) f(t) = t 6t (r) g(x) = x 5 (s) G(x) = 3x+ x x x +, se x < 0 (t) f(x) = 1 + x, se x 0 x +, se x 1 (u) f(x) = x, se x > 1 (v) f(x) = e x (w) f(x) = 1 1 e x (x) g(t) = e t 1 (y) g(t) = 1 t 4. Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva dada: (a) O segmento de reta unindo os pontos (1, 3) e (5, 7). (b) A metade inferior da parábola x + (y 1) = 0 (c) (d) 5. Suponha que seja dado o gráfico de f. Escreva as equações para os gráficos obtidos do gráfico de f, da seguinte forma:

3 (a) Desloque 3 unidades para cima. (b) Desloque 3 unidades para baixo. (c) Desloque 3 unidades para a direita. (d) Desloque 3 unidades para esquerda. (e) Faça uma reflexão em torno do eixo x. (f) Faça uma reflexão em torno do eixo y. (g) Expanda verticalmente por um fator de 3. (h) Comprima verticalmente por um fator de O gráfico de uma função f encontra-se abaixo. Esboce os gráficos das seguintes equações. (a) y = f(x) (b) y = f( x) (c) y = f( x) (d) y = f(x 1) (e) y = 1 f(x) (f) y = f(x) (g) y = f( x ) (h) y = f(x) 7. O gráfico de y = 3x x é dado. 3

4 Use transformações para criar a função cujo gráfico é mostrado. (a) (b) 8. Faça um esboço do gráfico de cada função, utilizando transformações. (a) y = 4 x 3 (b) y = 4 x 3 (c) y = (d) y = 1 + e x (e) y = 1 1 e x (f) y = (1 e x ) 9. Faça o esboço do gráfico de cada função. Não use calculadora. (a) y = log 10 (x + 5) (b) y = ln x (c) y = ln( x) (d) y = ln x 10. Esboce o gráfico das funções. (a) f(x) = x + 0x 9 (b) h(x) = 1 + e (x+1) (c) f(x) = log(x + 1) (d) f(x) = + sen(x π/) (e) h(x) = cos(x) (f) g(x) = 1 + x + x + 1, x < 1 (g) f(x) = x + 1, x 1 x + 3, x 0 (h) f(x) = x, 0 < x < 1, x (i) y = x 3 (j) y = (x + 1) (k) y = 1 + cos x (l) y = sen( x ) (m) y = x + 3 (n) y = 1 (x + 8x) (o) y = x+1 (p) y = senx 11. Para as funções abaixo, ache a amplitude, o período e o deslocamento de fase e esboce pelo menos dois períodos do gráfico à mão. 4

5 (a) y = sen(4x) (c) y = 1 4sen(x) (b) y = + cos( x ) 1. Começando com o gráfico de y = e x, escreva as equações correspondentes aos gráficos que resultam ao (a) deslocar unidades para baixo (b) deslocar unidades para a direita (c) refletir em torno do eixo x (d) refletir em torno do eixo y (e) refletir em torno do eixo x e, depois, em torno do eixo y (f) refletir em torno da reta y = 4 (g) refletir em torno da reta x = 13. Encontre a função exponencial f(x) = Ca x cujo gráfico é dado. (a) (b) 14. Suponha que você receba uma oferta para trabalhar por apenas um mês. Qual das seguintes formas de pagamentos você prefere? (a) Um milhão de dólares no fim do mês. (b) Um centavo de dólar no primeiro dia do mês, dois centavos no segundo dia, quatro no terceiro dia, e em geral, n 1 centavos de dólar no n-ésimo dia. 15. (a) Como está definida a função logarítmica y = log a x? (b) Qual o domínio dessa função? (c) Qual a imagem dessa função? (d) Esboce a forma geral do gráfico da função y = log a x se a > 1. 5

6 16. Encontre o valor exato de cada expressão. (a) log 5 15 (b) ln(1/e) (c) log 6 log 15 + log 0 (d) log Expresse a quantidade dada como um único logaritmo. (a) ln ln 3 (b) ln(a + b) + ln(a b) ln c (c) ln(1 + x ) + 1 ln x ln senx 18. Encontre todos os valores de x tais que sen(x) = senx e 0 x π 19. Encontre o valor exato de cada expressão 3 (a) sen 1 ( ) (b) cos 1 ( 1) (c) tg(arctan 10) (d) sen 1 (sen( 7π 3 )) 0. Demonstre a identidade (a) cos( π x) = senx (b) sen(π x) = senx (c) sen 1 cos θ θ = (d) cos 1 + cos θ θ = 1. Uma bola é atirada verticalmente para cima em t = 0 com uma velocidade inicial de 19cm/s. A velocidade da bola em função do tempo é v = 19 96t. (a) Qual é a direção da bola após 3s de seu lançamento? (b) Em que instante a bola atinge a sua altura máxima acima do solo? Explique o seu raciocínio. (c) O que pode ser dito acerca da aceleração da bola?. Há dois sistemas para medir a temperatura, Celsius e Fahrenheit. A água congela a 0 o Celsius (0 o C) e a 3 o Fahrenheit (3 o F ), e ferve a 100 o C e 1 o F. (a) Supondo que a relação entre as temperaturas Celsius T C e Fahrenheit T F é uma equação linear, encontre-a. 6

7 (b) Qual é a temperatura na qual a leitura em Celsius e Fahrenheit é a mesma? (c) A temperatura normal do corpo é de 98, 6 o F. Quanto é em o C? 3. Uma mola com um comprimento natural de 15cm se alonga até 0cm, quando um objeto de 45kg é pendurado nela. (a) Use a lei de Hooke para determinar uma equação que expresse o comprimento y de alongamento da mola (em centímetros), em termos da massa x suspenso por ela (em quilogramas). (b) Faça o gráfico da equação obtida em (a). (c) Ache o comprimento da mola quando o objeto de 100kg é pendurado nela? (d) Qual é o maior massa que pode ser pendurada nela, se a mola não pode ser alongada mais do que duas vezes o seu comprimento natural? 4. A resistência elétrica R em Ohms (Ω) para um fio de metal puro está relacionada com a sua temperatura T em o C pela fórmula R = R 0 (1 + kt ) no qual R 0 e k são constantes positivas. (a) Faça um esboço à mão do gráfico de R versus T e explique o significado geométrico de R 0 e k para o seu gráfico. (b) Em teoria, a resistência R de um fio cai para zero quando a temperatura atinge o zero absoluto (T = 73 o C). Que informação isto dá sobre k? (c) Uma lâmpada com filamento de tungstênio tem uma resistência de 1, 1 a uma temperatura de 0 o C. Que informação isto dá sobre R 0 do filamento? (d) À qual temperatura o filamento de tungstênio tem uma resistência de 1, 5? 5. A lei de Boyle estabelece que, a uma temperatura constante, a pressão exercida por um gás está relacionado ao volume V pela equação P = k. V (a) Ache as unidades apropriadas para a constante k se a pressão (que é a força por unidade de área) for em newtons por metro quadrado (N/m ) e o volume em metros cúbicos (m 3 ). (b) Ache k se o gás exercer uma pressão de 0.000N/m quando o volume é 1litro(0, 001m 3 ). (c) Faça uma tabela que mostre as pressões para o volume de 0, 5; 0, 5; 1, 0; 1, 5 e, 0 litros. (d) Faça um gráfico de P versus V. 7

8 6. Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador Chorão chutou a bola em direção ao gol, de, 30m de altura interna. A sobra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e, quando começo a cair da altura máxima de 9m, sua sombra se encontrava a 16m da linha do gol. Após o chute de Chorão, nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerido na figura a seguir. A equação da parábola era do tipo y = x 36 primeira vez foi: + c. O ponto que a bola tocou o chão pela (a) na trave (b) atrás do gol (c) dentro do gol (d) antes da linha do gol 7. A escala Richter é usada para medir a intensidade de um terremoto. A leitura na escala Richter de um terremoto de intensidade I é dada por R = log(i/i 0 ) onde I 0 é uma certa intensidade mínima usada para comparação. Em maio de 1983, ocorreu, no Japão, um terremoto medindo 7,7 na escala Richter. Este foi o primeiro grande terremoto no Japão desde 1948, quando houve um registro de 7,3 na escala Richter. 8

9 (a) Quantas vezes mais intenso foi o terremoto de 1983? (b) O terremoto mais forte que já atingiu o Japão ocorreu em 1933 e mediu 8,9 na escala Richter. Quantas vezes mais intenso do que o de maio de 1983 foi este terremoto de 1933? 8. Um reator converte urânio 38, estável, no isótopo plutônio 39. O decaimento deste isótopo é dado por A(t) = A 0 e 0, t onde A(t) é a quantia do isótopo no instante t, em anos, e A 0 é a quantia original. (a) Se A 0 = 500, quanto restará após um período de vida humana (use t = 70 anos)? (b) Encontre a meia-vida deste isótopo? (c) Usando um recurso computacional, faça do gráfico da quantia A em função do tempo t. 9. Nos EUA, as tomadas elétricas padrão fornecem uma corrente elétrica senoidal com uma voltagem máxima de V = 10 volts (V ), a uma frequência de 60 ciclos por segundo. Escreva uma equação que expresse V como uma função do tempo, supondo que V = 0 se t = 0. OBS: V (t) = V sen(πft + φ v ) onde f é a frequência em Hertz e φ v é o ângulo de fase. 30. Equações da forma x = A 1 sen(ϖt) + A cos(ϖt) surgem no estudo de vibrações e outros movimentos periódicos. (a) Use a identidade trigonométrica sen(α + β) para mostrar que esta equação pode ser escrita na forma x = Asen(ϖt + θ) (b) Estabeleça as fórmulas que expressam A e θ em termos das constantes A 1 e A e de ϖ. (c) Expresse a equação x = 5 3sen(πt) + 5 cos(πt) na forma x = Asen(ϖt + θ) e use um recurso gráfico para confirmar que ambas as equações têm o mesmo gráfico. 9

10 Respostas 1. (a) (b), 8 (c) 3, 1 (d), 5, 0, 3 (e) [ 3, 3], [, 3] (f) [ 1, 3] (a) D = {x R/x 3} (b) D = {x R/ xoux } (c) D = {x R/x 0} (d) D = {x R/0 x 1 } 3 (e) D = {x R/x 3π + kπ, k Z} (f) D = {x R/x 0} (g) D = {x R/x 0} (i) D = {x R/x ±} (j) D = R (k) D = {x R/ x oux > 4} (l) D = {x R/x 6oux 1} (m) D = {x R/x 1/3} (n) D = [0, ) (o) D = (, 0) (5, ) (q) D = (, ) (r) D = [5, ) (s) D = (, 0) (0, ) (t) D = (, ) (u) D = (, ) (v) (, + ) (w) (, 0) (0, ) (x) (, + ) (h) D = {x R/x } 4. (a) f(x) = 5 x 11, 1 x 5 (b) f(x) = 1 x x + 3, se 0 x 3 (c) f(x) = x 6, se 3 < x 5 (p) D = (, ) (d) f(x) = (y) (, 0] 3 3, se x 4 x, se x 3x 3, se x 5. (a) y = f(x) + 3 (b) y = f(x) 3 (c) y = f(x 3) (d) y = f(x + 3) (e) y = f(x) (f) y = f( x) (g) y = 3f(x) (h) y = 1f(x) (a) - (b) y = x 5x

11 (a) y = e x (b) y = e x (d) y = e x (e) y = e x (c) y = e x 13. (a) f(x) = 3. x (a) É definida como a inversa da função exponencial com base a, isto é,log a x = y a y = x (b) (0, ) (c) R (d) (a) 3 (b) (a) ln115 (b) ln (a+b)(a b) c (c) 3 (d) (c) ln (1+x ) x senx 18. 0, π 3, π, 5π 3, π 19. (a) π 3 (b) π (c) π 4 (d) π (a) A direção é oposta ao lançamento. 11

12 (b) t = segundos. (c) A aceleração é constante.. (a) F = x + 3 (b) 40 o C (c) 37 o C 3. (a) y = 9,8x 88, (b) - (c) 6, 11cm (d) 70 quilogramas 4. (a) - (b) k = 1 73 (c) R 0 = (d) T = 16, 54 o C 5. (a) N m 6. (b) k = 0Nm (c) - (d) - 7. (a) Aproximadamente vezes e meio mais forte. (b) Aproximadamente 15,85 vezes mais forte. 8. (a) A(70) = (b) t = anos (c) - 1