Atividades INDIVIDUAIS do 2º bim de Cálculo Diferencial e Integral 1

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1 Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1 Profª Luciana Vasconcellos Contato: lucianacvasconcellos@gmail.com Site: Lista de Exercícios Lista individual, valendo nota no º bimestre Manuscrita, RESOLVER NOS DEVIDOS ESPAÇOS Atividades INDIVIDUAIS do º bim de Cálculo Diferencial e Integral 1 Nome completo: Dados de identificação Curso: Marque qual é a sua Engenharia Mecânica Computação Civil Produção Elétrica Contr.Automação Semestre: º RA: Ex 1) Usando a notação de Leibniz, obtenha a derivada a primeira. Simplifique antes e depois sempre que necessário. Mostre os cálculos passo-a-passo. a) V(T) = T 4 3T 3 60 T b) a(x) = x 3/4 + x 5 e X c) F(G) = 5.log (G) 18G + 43 G Turno (manhã ou noite): Dia da aula: Segunda - feira d) T(w) = R 5/3 3(4R 5) 7 + 9R 9 d) R(v) = 5ln( v) 3 7 v 4v + 18v + 7e Ex ) Multiplique os fatores passo-a-passo para obter a função polinomial. É necessário mostrar seu raciocínio passo a passo. a) y = x.(x ).(x + 4) b) y = x 3.(x + 3)(x )

2 c) y = x.(x + 5) 3.(x 3) d) y = x 3.(x 1).(4x + 7) Ex 3) Esboce o gráfico das funções abaixo. a) y = x.(x ).(x + 4) b) y = x 3.(x + 3)(x ) c) y = x.(x + 5) 3.(x 3) d) y = x 3.(x 1).(4x + 7) Ex 4) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 9 km, qual a altura atingida pelo avião (em metros)? Cálculos e resposta na forma exata. Ex 5) Uma rampa plana, de 38 m de comprimento, faz ângulo de 30 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente em quantos metros? Cálculos e resposta na forma exata. Ex 6) Obtenha o valor de x. Cálculos e resposta na forma exata.: b) a)

3 Ex 7) A figura a seguir é um esquema que representa uma parte de uma peça de uma determinada máquina da empresa Y. A peça é composta por um apoio geral escuro (horizontal e vertical) e um apoio específíco B para o circulo superior. No esquema, aparecem dois círculos (um inferior e um superior, com 3 cm e 4 cm de raio, respectivamente. Além disso, a barra diagonal entre os círculos tem 4 cm. De acordo com os dados escritos e a geometria dada na figura, qual a altura do suporte B? Ex 8) Um novo jogador de futebol, habilidoso, foi descoberto e está participando da seleção para entrar no time que disputará, caso competente o suficiente, a próxima copa. Ao observar a trajetória da bola chutada em um determinado momento do jogo de seleção, verificou-se que a bola percorreu uma trajetória dada por H(x) = x + 110x 800, em que H é a altura alcançada pela bola e x é a distância percorrida. Quais os valores de x quando a bola toca o chão? Usando derivadas, mostre qual o valor de x em que a bola alcança a altura máxima? Resp: A bola toca o chão em e em e alcança a altura máxima em. Ex 9) Uma empresa descobriu que a quantia de receita obtida para um produto, em que R seja a receita diária (em milhares de reais) e que x é o número de unidades (considere que o número produzido seja igual ao número vendido), é dada por R (x) = x + 58x 645. Sabendo que a empresa deseja uma receita positiva e que, com o maquinário atual, tem capacidade de produzir 7 unidades por dia, mostre, usando os conceitos de derivada, que a receita total máxima que se consegue obter em 0 dias de trabalho com o atual maquinário é de R$

4 Ex 10) Obtenha a função derivada a primeira, a segunda e a terceira de B (x) = 3x 4 5 ln(x) 5.sen(x) 6 usando a notação de Leibniz. Ex 11) Dada a função A(x) = 3.ln (x) 5.(4 x) 3 4, faça todos os cálculos e assinale a alternativa correta. a) x = é um ponto crítico. b) A taxa no ponto x = 1 vale 33. c) A taxa no ponto x = 1/ vale 13/. d) A taxa no ponto x = /3 vale 347/6. e) Nenhuma das anteriores f) Mais de uma alternativa está correta.

5 Ex 1) Esboce um gráfico que satisfaça as seguintes condições. a) (Exercício 40 do PLT) b) (Exercício 41 do PLT) c) (Exercício modificado do PLT) Ex 13) Se y (x) = 9 x + 3.ln(x), mostre que o valor da derivada a segunda no ponto x = 5/3 resulta em 198/5. Ex 14) Obtenha a equação da reta tangente à parábola y(x) = x² 3x 10 em x = 4.

6 Ex 15) Qual o valor de T quando A(T) = 0 (sabendo que A é a aceleração em função do tempo), dada que a função 81 7 d S espaço é dada por S( T) T 51. T e sabendo que A( T)? Mostre seus cálculos Passo a Passo e 14 dt depois assinale a alternativa com o valor de T. a) 510/43 b) 104/43 c) 4/43 d) 43 e) 4/3 f) Nenhuma das anteriores Ex 16) Onde ocorre o ponto crítico da função y ( x) 43x x 4 considerando x > 0? Mostre seus 3 cálculos Passo a Passo e depois assinale a alternativa correta. a) 7/9 b) 7/100 c) 7/343 d) 79/343 e) 686/1458 f) Nenhuma das anteriores

7 Ex 17) Uma fábrica de pequeno porte tem condições para produzir até 5 unidades (unidades q) de seu produto por hora de produção. Sua função lucro (dada em milhares de reais) é dada por L(q) = q 3 + 6q 104q 30. a) Determine a quantia que deve ser produzida por hora de produção para maximizar o lucro dessa fábrica. b) Determine também qual é o lucro máximo dentro do limite estabelecido. Considere q Ex 18) Onde ocorre o ponto de inflexão dada a função y ( x) 18ln( x) x x 5x 1. Mostre 3 seus cálculos Passo a Passo, considerando o domínio x R/ x 0 e depois assinale a alternativa com o valor de x. a) 64/119 b) 9/64 c) 3/8 d) 18 e) f) Nenhuma das anteriores

8 Ex 19) Mostre que a derivada da função composta y(x) = f[g(x)] em que f(x) = 3.ln(x) e g(x) = 9x 4, ao ser simplificada gera 7 4x 9x Ex 0) Sabendo que a derivada a primeira aplicada à um ponto nos fornece a taxa de crescimento (ou decrescimento), encontre essa taxa para cada caso. Alguns dos exercícios abaixo podem precisar do uso da regra extras, como da cadeia, produto ou quociente. a) y(x) = 3x 4 x 3 + 5e x quando x = 3 R: A taxa é do tipo e tem o valor de. b) A(x) = 3.log 4 (x) 5.(3x+) 4 quando x = R: A taxa é do tipo e tem o valor de. c) L(t) = 7.ln (t) + 6.log 5 (t) quando t = R: A taxa é do tipo e tem o valor de.

9 d) y(h).ln H H quando H = 11 3 R: A taxa é do tipo e tem o valor de. Ex 1) Obtenha a equação da reta tangente de y( x) 4 3x 4 7x em x =. Ex ) Realize a integral das funções abaixo (integral indefinida) passo a passo. Use a notação corretamente. a) F(x) = 4x 3 9. x 3/4 + 3e x b) F(R) = R 6 + 5R 5/ c) F(t) = t + 5t + 3 d) V(x) = 5x 3 + 8x 4e x 3

10 Ex 3) Encontre a área (em m ) formada pela integral das funções abaixo. Use a notação corretamente. a) F(t) = 6t 4 + com tf = 6 e ti = 5 3 b) F(x) = 3x 3 + com xf = 3 e xi = c) F(x) = 9x com xf = /3 e xi = d) F(t) = 3t + t + 10 com tf = 3 e ti = 1/