Lista 8. Bases Matemáticas. Funções Quadráticas, Exponenciais, Logarítmicas e Trigonométricas
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- Cristiana Pinhal Bayer
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1 Lista 8 Bases Matemáticas Funções Quadráticas, Eponenciais, Logarítmicas e Trigonométricas Funções Quadráticas Esboceográficodas seguintes funções, indicando em quais intervalos as funções são crescentes e decrescentes e encontrando as coordenadas dos pontos de máimo e/ou mínimo. a) f() = ( ) + b) f() = ( ) c) f() = (+) + d) f() = (+) e) f() = f) f() = g) f() = 6 + h) f() = 7+ i) f() = + j) f() = Um fazendeiro pretende construir um chiqueiro retangular e para isso possui 00m de cerca. Ache as dimensões do chiqueiro de modo a maimizar a área do mesmo. Qual é essa área? Uma calha é feita dobrando uma folha de alumínio de 0cm de largura de modo que as laterais formem um ângulo reto com o fundo. Determine a profundidade da calha que maimiza o volume de água que a calha suporta. Um fazendeiro possui 000m de cerca para construir 6 currais conforme mostrados na figura abaio. Ache as dimensões que maimizam a área cercada. Determine essa área. 5 Umprojetilélançadonoar. Afunçãoque descreve sua altura em relação ao solo em função do tempo é dada por: h(t) = h 0 +v 0 t+ gt sendo h 0 a altura inicial, v 0 a velocidade inicial e g a força da gravidade (constate). a) Em que instante de tempo a altura máima é atingida? b) Depois de quanto tempo o projetil atinge o solo? c) Determine a altura máima atingida pelo projetil se ele for lançado do solo. d) Para um projetil lançado do solo, o que acontece com sua altura se dobrarmos a velocidade inicial? Eponencial 6 Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eios e y, as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes, decrescentes e os pontos de máimo e mínimo local se eistirem. a) ( π)
2 b) ( π) (+π) c) d) ( π) 5 e) 5 f) g) + h) Use as propriedades do logaritmo para epandir as epressões abaio o máimo possível: a) log 9 9 b) log 9 9 c) log 6 + d) log y 5 e) log 000 (5 ) (+) 7 Esboce o gráfico das funções f() e g() no mesmo sistemas de coordenadas cartesianas: a) f() = e g() = b) f() = h () com h() = g() =. 8 A eplosão da usina de Chernobil em 986 lançou aproimadamente 000 quilogramas do elemento radioativo césio 7 na atmosfera. Sabendo que o césio 7 possui uma meia vida de 0 anos, ou seja, a cada 0 anos a quantidade de césio 7 cai pela metade. a) Escreva a função que descreve a massa de césio na atmosfera em função do tempo. b) Determine em quanto tempo a massa de césio na atmosfera reduzirá a kg. Logaritmo 9 Determine o domínio das seguintes funções: a) log+ b) log c) log + d) log cos() 0 Esboce os gráficos das seguintes funções: a) log(+) b) log c) log d) log Use as propriedades do logaritmo para condensar as epressões abaio o máimo possível: a) (log () log (y)) b) (log () log (y)) c) log+7log+logz d) log() logz e) (log log y)+log (+) Resolva as seguintes equações: a) 0 = 5 b) 0 = 00 c) + = 0 d) 5 + = e) log 5 ( 7) = f) log ( ) = g) log 6 (+5)+log 6 () = h) log ( +) = i) log ( )+log () log (+) = Funções Trigonométricas Determine o domínio das seguintes funções: a) tg( ) b) cos() c) arccos + d) cos 5 Esboce os gráficos das seguintes funções:
3 a) cos b) sen(+π) c) sen()+ d) tg( ) 6 Calcule a) sen(a) sabendo que cos(a) = b e 0 a π/ b) sen(a) sabendoque tg(a) = b/ce0 a π/ c) sen(a) sabendo que tg(a) = b/c e π/ a π d) arcsen(a) sabendo que tg(a) = b/c e 0 a π/ e) cotg(a) sabendo que sen(a) = b/c e 0 a π/ 7 Calcule a) arcsen( ) b) arctan() arctan( ) c) arcsen(cos()) 0 π/ d) arcsen(cos()) π/ π/
4 Respostas dos Eercícios 6 a.) a.)coordenadas do ponto de mínimo (, ). A função écrescente para e decrescentepara Translação por π A j.)dica: Faça a substituição t = para encontrar as raízes e os pontos de máimo e mínimo. Raízes:, Pontos de mínimo: (, ) e (, ). Decrescente para e [0, ] e.) ( π) g.)o gráfico de (+) + é obtido transladando o gráfico de uma unidade para a esquerda e duas unidades para cima. A área do chiqueiro é dada pela função A() = (0 ) = 0 0 (+) + 0 A coordenada do vértice da parábola é b/a. Logo o máimo ocorre quando = 0 e nesse caso o chiqueiro é um quadrado de área 00 5 a.)aalturamáimaéatingidano tempo t = v 0 /g b.)dica: procure a maior raiz da equação quadrática c.)nesse caso h 0 = 0 9 a.)r b.) < < c.) < ou > 0 d.)o domínio é a união dos intervalos da forma [ π/+ k π,π/+ k π] com k N. 0 b.)dica: log = log. a.) + log 9 b.) log 9 d.)log(y) + log() log(5)
5 ) ( a.)log y a.)log 0 5 b.)5 c.)dica: faça t =. d.) R\{ π/+kπ} com k N 5
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