Solucionario Exercícios de AN: Interpolação e Mínimos Quadrados

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1 Solucionario Exercícios de AN: Interpolação e Mínimos Quadrados 7 de Maio de 2012 Pergunta 0.1 Implemente o algoritmo para obter o polinômio de Newton numa função do scilab. Forneça o resultado como um vetor de coecientes na forma de um polinômio de Newton. Use os seguintes dados: x = [ 2 : 3] e y = [ ]. X = [ 2 : 3] e Y = [ ] function coef = poli_newton(x,y) calcula coeficientes do polinomio de Newton parametros de entrada: x: vetor contendo as abscissas, y: vetor contendo as ordenadas, parametro de saida: coef: coeficientes do polinomio de Newton determinados pelos operadores de diferenca dividida os coeficientes sao retornados na primeira linha da matriz coef m = length(x); for i = 1:m coef(i,1) = y(i); end construcao das diferencas divididas 1

2 for k = 2:m for i = 1:m-k+1 coef(i,k) = (coef(i+1,k-1)-coef(i,k-1))/(x(i+k-1)-x(i)); end end endfunction P (x) = x x 2 x 3 Pergunta 0.2 Escreva uma função em scilab para atualizar o polinômio Newton que é calculado pela função do exercício anterior. A função deve calcular apenas o novo coeciente necessário para escrever o polinômio de Newton. Aplique sua função quando um novo ponto (4;-6) é adicionado à lista do exercício anterior. function new_coef = poli_newton_update(x,y,coef) atualiza o polinomio de Newton: dados um novo ponto p(m) = (x(m), y(m)) e os coeficientes de diferenca dividida calculados para os pontos p(1),p(2),...,p(m-1), calcula o novo coeficiente do polinomio de Newton parametros de entrada: x: vetor contendo as abscissas, y: vetor contendo as ordenadas, coef: matriz com coeficientes (diferencas divididas) parametro de saida: new_coef: novo coeficiente do polinomio de Newton, m = length(x); coef(m,1) = y(m); construcao das diferencas divididas for k = 2:m i = m-k+1; coef(i,k) = (coef(i+1,k-1)-coef(i,k-1))/(x(i+k-1)-x(i)); end new_coef = coef(1,m); endfunction 2

3 Pergunta 0.3 Seja x = [ 2 : 2] e y = x 2. Use a função lagrange do arquivo lagrange.sci (ver página do curso) para calcular o único polinômio de Lagrange de grau 4 que passa por estes pontos. O que você encontra? -->X=[-2:2] X = >Y=X.^2 Y = >exec('c:\program Files\scilab-5.3.3\CalcNum\lagrange.sci', -1) -->lagrange(x,y) ans = 2 x Pergunta 0.4 Suponha que você mede y com um pequeno erro aleatório. Seja x = [ 2 : 2] e y = x 2 + rand(5)/10. O que acontece com o polinômio de Lagrange? Compare com o resultado supondo que não existe erro de medição (isto é, com y = x 2 ). Y = >lagrange(x,y) ans = x x x x Pergunta 0.5 A viscosidade da água foi determinada experimentalmente em diferentes temperaturas conforme a tabela 1 mostra. A partir desta tabela, estime o valor da viscosidade à temperatura de 8 o e 12 o usando a interpolação linear e ajustando um polinômio de Lagrange. Faça um grá- co com dos polinômios interpolantes. Use a função lagrange do arquivo lagrange.sci (ver página do curso). Interpolação linear, P 1 (x) = y 0 + y 1 y 0 x 1 x 0 (x x 0 ) 3

4 Para 8 o, temos Para 12 o, temos P 1 (8) = P 1 (12) = Interpolação de lagrange, i 0 1 x i 5 10 y i (8 5) = i 0 1 x i y i (12 10) = >X=[ ] X = >Y=[ ] Y = >lagrange(x,y) ans = x x x P (8) = , P (12) = Gráca: -->xx=linspace(0,15,60); -->yye=horner(p,xx); -->plot2d(xx,yye) 4

5 Pergunta 0.6 Sejam (x 1 ; y 1 ) e (x 2 ; y 2 ) dois pontos com x 1 x 2. Mostre que os coecientes do polinômio P (x) = a 0 + a 1 x que passa pelos dois pontos é a solução do sistema linear [ 1 x1 1 x 2 ] [ a0 a 1 ] = [ y1 Obtenha a fórmula geral para a 0 e a 1 como solução deste sistema linear. A seguir, mostre que o polinômio P (x) = a 0 + a 1 x pode também ser escrito como y 2 P (x) = y1 + y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) Como seria o polinômio se fosse escrito como P (x) = α + y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 2 )? ] P (x 1 ) = y 1 P (x 2 ) = y 2 { a0 + a 1 x 1 = y 1 a 0 + a 1 x 2 = y 2 [ 1 x1 1 x 2 ] [ a0 a 1 ] [ y1 = y 2 ] Cuja solução é a 1 = y 2 y 1 x 2 x 1, a 0 = y 1 a 1 x 1 Tambem, P 1 (x) = a 0 + a 1 x = y 1 y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) P 1 (x) = 1 + y 1 y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 2 ) Pergunta 0.7 Escrever função em scilab que recebe dois pontos (x 1 ; y 1 ) e (x 2 ; y 2 ), testa se x 1 x 2 e, se forem diferentes, retorna os coecientes a 0 e a 1. 5

6 function [a0,a1]=l3per07(x1,x2,y1,y2) if x1<>x2 then a1=(y2-y1)/(x2-x1) a0=y1-a1*x1 end endfunction Pergunta 0.8 Construa outra função que recebe um conjunto de n pontos (x 1, y 1 ),, (x n, y n ), e outro conjunto de posições u1,, u k. A função deve testar se as abcissas xi s ao distintas. Se forem, obtenha o subintervalo em que cada ui cai e obtenha o valor da função linear interpolante em cada ponto ui. Com o output da função plote os pontos, as linhas interpolantes P (u) e os pontos (u i ; P (u i )). Teste seu programa com os seguintes dados: x = [ ]; y = [ ]; w = [ ]; v = myinterpln(x, y, u); plot(x, y, "-", w, v, "o"); Pergunta 0.9 ] Pergunta 0.10 ] Pergunta 0.11 ] 6

7 Pergunta 0.12 A interpolação polinomial pode ter resultados com grandes oscilações (overshoots) especialmente nos extremos. Para vericar quão extremas estas oscilações podem ser, vamos olhar a função de Runge f(x) = 1 1+x 2. Seja x = [ 5 : 5]. Calcule f(x) nestes pontos e calcule o polinômio de Lagrange. Plote o resultado junto com f(x). Onde o erro é maior? Repita o exercício com x = [ 10 : 10]. --> exec('l3per12.sci', -1); --> L3Per12(-5,5); --> L3Per12(-10,10); function L3Per12(a,b) calcula polinomio interpolador de Lagrange para a funcao de Runge nos pontos de abscissas [a:b] exec('lagrange.sci', -1); deff("y=runge(x)","y=1./(1 + x.^2)") x1 = [a:b]; y1 = runge(x1); f1 = lagrange(x1, y1); h1 = horner(f1,x1); x = linspace(a, b, (b-a+1)*5)'; y1e = horner(f1,x); valor do polinomio de lagrange y = runge(x); valor exato da funcao de Runge clf() plot2d(x,[y y1e],style=[2 5],leg="função exata@polinomio lagrange") endfunction Pergunta 0.13 ] 7

8 Pergunta 0.14 A tabela 2 fornece a população do Brasil (em milhões de habitantes) desde Ajuste um polinômio interpolante e obtenha uma estimativa da população no ano de 1885 e de Ajuste também um spline cúbico natural e compare os resultados. Faça um gráco mostrando os dois ajustes que você fez e os pontos usados. --> exec('l3per14.sci', -1); -->L3Per14(1,6,1885) -->L3Per14(7,12,2005) function est = L3Per14(a,b,z) determina polinomio interpolador de Lagrange de grau (b-a), utilizando os pontos [a:b]. avalia o polinomio em z plota grafico do polinomio e do spline cubico natural exec('lagrange.sci',-1); x = [ ]; y = [ ]; polinomio de lagrange ye = lagrange(x(a:b), y(a:b)); polinomio de grau (b-a) est = horner(ye, z); avalia polinomio em z spline d = splin(x(a:b), y(a:b)); grafico m = 3*(b-a+1); xx = linspace(x(a), x(b), m)'; yye = horner(ye, xx); yy = interp(xx, x(a:b), y(a:b), d, "natural"); clf() plot2d(xx,[yy yye],style=[2 5],leg="spline cubico natural@polinomio lagrange"); plot2d(x(a:b), y(a:b), -9); 8

9 endfunction Pergunta 0.15 Leia a documentação do scilab para aprender sobre os quatro principais tipos de splines existentes: not_a_knot, clamped, natural, periodic. Seja x = [ 2 : 2] e y = [1, 4, 11, 16, 13]. Ajuste cada um dos quatro tipos de splines a estes dados e compare os resultados gracamente. -->exec('l3per15.sci', -1) -->L3Per15 function L3Per15(void) x = [-2:2]; y = [ ]; a = -2; b = 2; m = 100; xx = linspace(a, b, m)'; yy0 = interp(xx, x, y, splin(x,y,"not_a_knot")); yy1 = interp(xx, x, y, splin(x,y,"clamped",[xx(1) xx(m)])); yy2 = interp(xx, x, y, splin(x,y,"natural")); clf(); plot2d(xx, [yy0 yy1 yy2], style=[5 2 3], strf="121",... leg="not_a_knot@clamped@natural"); plot2d(x,y,-9, strf="000"); endfunction Pergunta 0.16 Sem usar a função splin, obtenha o spline cúbico natural que passa pelos pontos ( 1; 3), (0; 2) e (1; 2). Monte um sistema de equações lineares e resolva-o usando o scilab. Sejam os pontos (x 0, y 0 ) = ( 1, 3), (x 1, y 1 ) = (0, 2) e (x 2, y 2 ) = (1, 2). h 0 = x 1 x 0 = 0 ( 1) = 1, h 1 = x 2 x 1 = 1 0 = 1. Dy 0 = y 1 y = 1, Dy 1 = y 2 y 1 Logo, h 1 = = 4. [ ] S 0 (x 0 ) h0 2(h 0 + h 1 ) h 1 S 1 (x 1 ) = 6 [Dy 1 Dy 0 ] S 2 (x 2 ) h 0 = 9

10 Usando a condição de Spline natural S 0 (x 0 ) = 0, S 2 (x 2 ) = 0, e resolvendo o sistema temos que S 1 (x 1 ) = 9/2. Assim, coecientes de S 0 (x): a 0 = S 1 (x 1 ) S 0 (x 0 ) 6h 0 = 3/4 b 0 = S 0 (x 0 ) = 0 2 c 0 = Dy 0 S 1 (x 1 ) + 2S 0 (x 0 ) h 0 = 7/8 6 d 0 = y 0 = 3 S 0 (x) = 3/4(x + 1) 3 + 0(x + 1) 2 7/8(x + 1) + 3, x [ 1, 0] Coecientes de S 1 (x): a 1 = S 2 (x 2 ) S 1 (x 1 ) 6h 1 = 3/4 b 1 = S 1 (x 1 ) = 9/4 2 c 1 = Dy 1 S 2 (x 2 ) + 2S 1 (x 1 ) h 1 = 5/2 6 d 1 = y 1 = 2 S 1 (x) = 3/4(x + 1) 3 9/4(x + 1) 2 5/2(x + 1) + 2, x [0, 1] Pergunta