Introdução aos Métodos Numéricos

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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho

2 Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos Interpolação Ajuste de Curvas Zeros de Função Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos Integração Numérica Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias

3 Conteúdo Ajuste de Curvas

4 Temos um conjunto n+1 de pontos (x 0, y 0 ),(x 1, y 1 ),( x 2, y 2 ),(x 3, y 3 ),,(x n, y n ) que são oriundos de uma experiência. Temos ainda uma hipótese de comportamento dos dados.

5 Este problema ocorre quando testamos se uma massa de dados se comporta como esperado quando testamos uma hipótese de comportamento da massa de dados

6 Um caso que você já dever ter experimentado no laboratório de física: Lei de Hooke, F = kx

7 Outro caso: decaimento radioativo, N (t)=n 0 e t / τ

8 E coisas mais complicadas...

9 Podemos pensar na seguinte linha: Dado um comportamento esperado, tentemos ajustar esta função aos dados fornecidos O comportamento esperado será representado pela função G(x) Mas qual a cara desta função? Como escolher uma função suficientemente flexível e simples?

10 Faremos a proposta m G(x)=b 0 g 0 (x)+b 1 g 1 (x)+b 2 g 2 ( x)+ +b m g m (x)= j=0 b j g j (x) ou seja, G(x) é uma combinação linear de funções, a priori, quaisquer.

11 Mas como usaremos esta função? A ideia é medirmos de alguma maneira a distância entre G(x) e cada ponto da massa de dados. Algo assim...

12 Função G(x) e a massa de dados

13 Função G(x) e distância dela a cada ponto

14 Mas isto complica um tanto o problema. A distância entre um ponto (a,b) e a curva G(x) é dada por d (x)= (x a) 2 +(G(x) b) 2 Para achar a distância mínima, teremos que derivar e igualar a zero, ou seja, d ' ( x)= ( x a)+[g(x) b]g'(x) (x a) 2 +[G(x) b] 2 =0

15 Assim, para cada ponto da curva teremos que achar a solução da equação a)+[g( x i ) b]g' )=0 ou seja, um sistema de equações não lineares Sim, dá para fazer (e algumas vezes é necessário) mas faremos algo mais simples aqui

16 Função G(x) e distância dela a cada ponto

17 Isto simplifica um tanto o problema. A distância entre um ponto (a,b) e a curva G(x) será dada por d (a)= (G (a) b) 2 Para um ponto genérico da massa de dados teremos d i = (G ) y i ) 2

18 Mas não queremos minimizar a distância de G(x) para um ponto mas para todos os pontos. Como fazer isto? Uma possibilidade é minimizar a soma das distâncias de G(x) a todos os pontos, ou seja, minimizar n S= i=0 n d i = i=0 (G( x i ) y i ) 2

19 Observem que minimizar a soma dos d i é equivalente à minimizar as somas de d i 2 Assim, minimizaremos Como n S 2 = i=0 n S 2 = i=0 n d 2 i = i=0 (G ) y i ) 2 G(x)=b 0 g 0 (x)+b 1 g 1 (x)+b 2 g 2 ( x)+ +b m g m (x) [b 0 g 0 )+b 1 g 1 )+b 2 g 2 )+ +b m g m ( x i ) y i ] 2

20 Mais a frente veremos que estamos minimizando a soma do quadrado dos resíduos (diferença entre a função ajustada e os pontos da massa de dados) n S 2 = i=0 n d 2 i = i=0 (G ) y i ) 2 Não confunda estes resíduos com os que discutimos em Sistemas de Equações Lineares!

21 Como minimizar S 2? Teremos que derivar mas em relação a que? n S 2 = i=0 [b 0 g 0 )+b 1 g 1 )+b 2 g 2 )+ +b m g m ( x i ) y i ] 2 A resposta é fácil: derivaremos em relação aos b's

22 Repare que teremos que derivar em relação a m+1 valores. Teremos que derivar em relação a cada bj. Mas S 2 é muito fácil de derivar. Observe...

23 n b 0 S 2 =2 i=0 n b 1 S 2 =2 i=0 n b 2 S 2 =2 i=0 [b 0 g 0 )+b 1 g 1 )+b 2 g 2 ( x i )+ +b m g m ) y i ] g 0 )=0 [b 0 g 0 )+b 1 g 1 )+b 2 g 2 )+ +b m g m ) y i ] g 1 )=0 [b 0 g 0 )+b 1 g 1 ( x i )+b 2 g 2 )+ +b m g m ) y i ] g 2 )=0 n S 2 =2 [b b 0 g 0 )+b 1 g 1 )+b 2 g 2 ( x i )+ +b m g m ) y i ] g m )=0 m i=0

24 Observem bem e verão que temos um sistema de equações lineares...

25 E o sistema ficará assim ( Σ ' g 0 ( x i ) g 0 ( x i ) Σ ' g 0 ) g 1 ) Σ ' g 0 ( x i ) g 2 ( x i ) Σ ' g 0 )g 3 ) Σ ' g 0 ( x i ) g m ( x i ) Σ ' g 1 ( x i ) g 0 ( x i ) Σ ' g 1 ) g 1 ) Σ ' g 1 ( x i ) g 2 ( x i ) Σ ' g 1 ( x i ) g 3 ) Σ ' g 1 ) g m ( x i ) Σ ' g 2 ( x i ) g 0 ( x i ) Σ ' g 2 ) g 1 ) Σ ' g 2 ( x i ) g 2 ( x i ) Σ ' g 2 ( x i ) g 3 ) Σ ' g 2 ) g m ( x i ) Σ ' g 3 ( x i ) g 0 ( x i ) Σ ' g 3 ) g 1 ) Σ ' g 3 ( x i ) g 2 ( x i ) Σ ' g 3 )g 3 ) Σ ' g 3 ( x i ) g m ( x i ) Σ ' g m ) g 0 ( x i ) Σ ' g m ( x i ) g 1 ( x i ) Σ ' g m ) g 2 ) Σ ' g m ( x i ) g 3 ( x i ) Σ ' g m )g m ))( b0 b 1 b m)=( 2 b 3 b Σ ' g 0 ) y i Σ ' g 1 ( x i ) y i Σ ' g 2 ( x i ) y i Σ ' g 3 ) y i Σ ' g m ( x i ) y i) onde, por exemplo, n Σ ' g 0 ( x i ) g 3 ) i=0 g 0 ( x i ) g 3 )

26 Neste caso m é independente de n e a matriz é simétrica ( Σ ' g 0 ( x i ) g 0 ( x i ) Σ ' g 0 ) g 1 ) Σ ' g 0 ( x i ) g 2 ( x i ) Σ ' g 0 )g 3 ) Σ ' g 0 ( x i ) g m ( x i ) Σ ' g 1 ( x i ) g 0 ( x i ) Σ ' g 1 ) g 1 ) Σ ' g 1 ( x i ) g 2 ( x i ) Σ ' g 1 ( x i ) g 3 ) Σ ' g 1 ) g m ( x i ) Σ ' g 2 ( x i ) g 0 ( x i ) Σ ' g 2 ) g 1 ) Σ ' g 2 ( x i ) g 2 ( x i ) Σ ' g 2 ( x i ) g 3 ) Σ ' g 2 ) g m ( x i ) Σ ' g 3 ( x i ) g 0 ( x i ) Σ ' g 3 ) g 1 ) Σ ' g 3 ( x i ) g 2 ( x i ) Σ ' g 3 )g 3 ) Σ ' g 3 ( x i ) g m ( x i ) Σ ' g m ) g 0 ( x i ) Σ ' g m ( x i ) g 1 ( x i ) Σ ' g m ) g 2 ) Σ ' g m ( x i ) g 3 ( x i ) Σ ' g m )g m ))( b0 b 1 b m)=( 2 b 3 b Σ ' g 0 ) y i Σ ' g 1 ( x i ) y i Σ ' g 2 ( x i ) y i Σ ' g 3 ) y i Σ ' g m ( x i ) y i) Mas há uma restrição a qual não demonstraremos: as g j (x) deverão ser linearmente independentes

27 Métodos dos mínimos quadrados Esta técnica tem um nome muito conhecido Método dos Mínimos Quadrados Afinal ela minimiza o quadrado das distâncias dos pontos à função G(x). Cada conjunto de g j (x) nos dará uma G(x) única. Vejamos um caso especial

28 Métodos dos mínimos quadrados Ajuste polinomial Nossa G(x) será g j (x)=x j G(x)=b 0 x 0 +b 1 x 1 +b 2 x 2 + +b m x m =b 0 +b 1 x+b 2 x 2 + +b m x m =p m (x) e nosso sistema tomará a forma

29 Métodos dos mínimos quadrados ( Σ ' 1 Σ ' x i Σ ' 2 x i Σ ' 3 x i Σ ' m x i Σ ' x i Σ ' 2 x i Σ ' 3 x i Σ ' 4 x i Σ ' m+1 x i Σ ' 2 x i Σ ' 3 x i Σ ' 4 x i Σ ' 5 x i Σ ' m+2 x i )( Σ ' 3 x i Σ ' 4 x i Σ ' 5 x i Σ ' 6 x i Σ ' m+3 x i Σ ' m x i Σ ' m+1 x i Σ ' m+ 2 x i Σ ' m +3 x i Σ ' 2m x i b0 b 1 b m)=( 2 b 3 b Repare que a matriz é simétrica tanto em relação à diagonal principal quanto à secundária Isto diminuirá o número de cálculos ' Σ y i Σ ' x i y i Σ ' x 2 i y i) i Σ ' x 3 i y i Σ ' x m i y

30 Métodos dos mínimos quadrados Calculando os valores da matriz x 0 y 0 x 0 y 0 2 x 0 x 1 y 1 x 1 y 1 2 x 1 x 2 y 2 x 2 y 2 2 x 2 x 3 y 3 x 3 y 3 2 x 3 x 02 y 0 3 x 0. 2n x 0 x 12 y 1 3 x 1. 2n x 1 x 22 y 2 3 x 2. 2n x 2 x 2 3 y 3 3 x 3. 2n x 3 2n x 0 y 0 2n x 1 y 1 2n x 2 y 2 x 2n 3 y x n y n x n y n 2 x n x n2 y n 3 x n. 2n x n 2n x n y n Σ

31 Um exemplo Dados os pontos tirados de um experimento com uma mola x y 1,1 3,4 2,0 4,5 2,5 5,2 2,9 6,1 3,5 6,9 determine o melhor ajuste linear, ou seja, com p 1 (x)

32 Um exemplo Como p 1 (x) tem a forma e o sistema será ( Σ' 1 Σ ' x i Σ ' x i Σ ' x i 2 ) p 1 (x)=b 0 +b 1 x ( b ) 0 b = ( 1 Σ ' y i ) Σ ' x i y i

33 Um exemplo O que nos leva a calcular a tabela x y xy x 2 1,1 3,4 3,74 1,21 2,0 4,5 9,0 4,0 2,5 5,2 13,0 6,25 2,9 6,1 17,69 8,41 3,5 6,9 24,15 12,25 Σ 12,0 26,1 67,58 32,12 e nosso sistema toma a forma...

34 Um exemplo ( Σ' 1 Σ ' x i Σ ' x i Σ ' x i 2 ) ( b ) 0 b = ( 1 resolvendo o sistema ( ,12 ) ( b 0 ( ,32 ) ( b 0 b 1 ) b 1 ) Σ ' y i Σ ' x i y i ) = ( 26,1 67,58 ) ( 5 12 ) ( b ) ,12 b = ( 26,1 ) 1 67,58. m 21 = 12/5= 2,4 = ( 26,1 4,49 ) b 1=4,49/3,32=1, b b 1 =26,1 b 0 = 1 (26,1 12 1, )=1,

35 Um exemplo E o ajuste se dá pelo polinômio p 1 (x)=1, , x A constante da mola é 1, e o comprimento da mola sem carga é 1, meio exagerada a precisão... usaremos aqui duas casas decimais a mais que os dados, ou seja, p 1 (x)=1,648+1,487 x Vamos ao maxima: Ajuste_aula

36 Um exemplo Uma observação preliminar nos apontará uma questão que envolve o método dos mínimos quadrados

37 Um exemplo No sistema obtido ( ,12 ) ( b 0 o número de condição da matriz dado por mat_cond() é aproximadamente 117,26 A matriz é malcondicionada... ) b = ( 26,1 ) 1 67,58

38 Casos históricos Radiação de Corpo Negro ρ(λ, T )= 2hc2 1 ; Planck λ 5 hc λ k e T B 1 ρ(λ, T )= 2ck BT λ 4 ; Rayleigh Jeans

39 Casos históricos Radiação de Corpo Negro Resultou na Mecânica Quântica que resultou em Transistores->Circuitos Integrados->Computadores ->Celulares->etc.

40 Casos históricos Radiação Cósmica de Fundo

41 Casos históricos Radiação Cósmica de Fundo Resultou numa revolução sobre a estrutura e origem do Universo