28/09/ Prof. Eduardo Colli Gabarito

Transcrição

1 Prova - Cálculo Numérico com Aplicações à Física 8/9/5 - Prof. Eduardo Colli Gabarito Questão.. (.5) Ajuste a sin( πx ) a y(x) = 3 x3 x por mínimos quadrados, no intervalo [, ], com peso uniforme. Esboce um gráfico com y(x) e a função ajustada e comente o resultado obtido.. (.5) O que você pode dizer do ajuste de a sin( πx πx ) + b cos( )? Um pequeno glossário, para poupar tempo: )dx = π x cos(πx ) + π x )dx = π ) 4 π x 3 sin( πx )dx = π x3 ) + 6 π cos(θ) = cos θ sin θ )dx + C )dx + C x )dx + C Solução. Na primeira parte, trata-se de um ajuste a (um) parâmetro! Chamando g(x) = sin( πx ), então a é a solução do sistema linear com uma equação e uma incógnita onde e Em primeiro lugar y, g = g, g = g, g a = y, g, sin ( πx )dx ( ) 3 x x3 sin( πx )dx. sin ( πx )dx = cos(πx)dx =, o que mostra que a = y, g. Em seguida, precisaremos das integrais πx x sin( )dx e x3 sin( πx )dx. Usando as fórmulas, que foram obtidas por integração por partes: )dx = π )dx = 8 π,

2 Então x )dx = 4 π 4 π x 3 sin( πx )dx = 6 π )dx = 4 ( 8π ) π, x 4 )dx = ( π 8π ). a = y, g = 3 8 π 4 ( π 8π ) = 96 π 4. Se desenharmos os gráficos de y(x) e de g(x) veremos que eles são muito parecidos: passam por (, ), (, ) e (, ), têm mesmo sinal da segunda derivada e ponto de inflexão, etc. Mesmo assim, a = não é o melhor ajuste pelo método dos mínimos quadrados, como vimos acima. O resultado é muito próximo: a = 96/π 4 = Se tomarmos a =, o gráfico do seno fica insistentemente acima (em módulo) que o gráfico da cúbica, mostrando que a multiplicação por um fator ligeiramente menor do que faz com que os gráficos se cruzem e a distância (medida pela diferença quadrática) caia um pouco. Na segunda questão recaímos num sistema linear. Chamando g (x) = sin( πx ) e g (x) = ), então a e b saem da solução do sistema { g, g a + g, g b = g, y g, g a + g, g b = g, y Como y e g são funções ímpares, g é função par e o intervalo de integração é simétrico, então g, g = y, g =. Daí sai que b = e a é o mesmo valor obtido acima. Ou seja, o acréscimo do cosseno não serviu para achar uma função com diferença quadrática menor do que aquela que já tínhamos com o seno. Questão.. (.) x e + x podem ser polinômios ortogonais em [, ] com produto interno f, g = w(x)f(x)g(x)dx, para alguma função peso w(x)?. (.) E x, + x? 3. (.) Ache polinômio de grau ortogonal a x e a + x, simultaneamente, com w(x) =. Obs: nas duas primeiras, se sim, dê w(x) e se não, justifique! Solução. Como w(x)( x)( + x)dx = w(x)( x )dx, e x é positivo no intervalo [, ), a única maneira de anular a integral é que w(x), mas aí não teríamos um produto interno. Então as duas funções não podem ser ortogonais, qualquer que seja a função peso.

3 No caso de x e + x a integral fica w(x)( x)( + x)dx, e queremos que ela seja nula para uma boa escolha de w. Ora, se tomarmos w(x) = (+x) isso acontece. Agora queremos um polinômio de segundo grau ortogonal a x e + x. Cuidado que aqui não pode ser usada a fórmula de recorrência simplesmente porque os polinômios não satisfazem a hipótese de grau e coeficiente líder normalmente requerida. A solução é fazer no braço. Chamamos o polinômio de p(x) = x + ax + b e equacionamos: ( x)(x + ax + b)dx =, Após a integração, as equações se transformam em o que dá isto é, 6 6 a =, 7 6 a + b =, a =, b = 6, p(x) = x x + 6 é uma resposta (e todos os seus múltiplos não-nulos, é claro). ( + x)(x + ax + b)dx =. Questão 3.. (.) Dados (, ), (, ), (, ), faça um spline com dois polinômios quadráticos que coincidem até a segunda derivada em x =. Esboce e interprete seu resultado.. (.5) Faça o mesmo exigindo que o polinômio entre e seja cúbico e tenha derivada zero em x =. Solução. Chame de p a (x) = a + a x + a x e p b (x) = b + b x + b x os dois polinômios, p a para o intervalo [, ] e p b para o intervalo [, ]. Como p a () = p b () = então a = b =. Além disso, como p a() = p b () então a = b e como p a() = p b () então a = b. Isto mostra que os dois polinômios são iguais. Com p a () = e p a () = tiramos ainda a = e a =, ou seja, p a (x) = p b (x) = + x + x. O fato de ambos serem iguais era de se esperar pois três pontos podem ser interpolados por um único polinômio de grau! 3

4 Se p b (x) = b +b x+b x +b 3 x 3 concluiremos de novo que a = b =, a = b, a = b, mas b, b e b 3 são ainda incógnitos. Para achá-los, há três equações: p a () =, p b () = e p b () =, isto é, b + b =, b + b + b 3 = 3 e b + b + 3b 3 =. Daí sai b = 5 3, b = 7 6 e b 3 = 4 3, isto é, p a (x) = x x, p b (x) = p a (x) 4 3 x3. Questão 4. Considere o sistema linear que corresponde ao seguinte problema de contorno: 5 3 Ache:. (.) A estimativa de contração do Método de Jacobi advinda do Critério das Linhas.. (.5) A estimativa de contração do Método de Gauss-Seidel advinda do Critério de Sassenfeld. Obs: A numeração de variáveis é linha a linha, de cima para baixo e da esquerda para a direita. Não é preciso explicitar o sistema para fazer as contas, mas se quiser... Solução. A numeração das variáveis é 5 x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 3 Para o critério das Linhas, em cada linha (do sistema), dividem-se os valores absolutos dos coeficientes pelo coeficiente da diagonal. Em módulo, o coeficiente da diagonal é sempre igual a 4 e os outros são iguais a ou zero. O número dos que são iguais a é o número de casas livres no entorno. Então λ = max{ 4, 3 4, 4, 3 4, 4 4, 4, 4 4 } =. Ou seja, a estimativa do Critério das Linhas não dá uma contração para o Método de Jacobi (como já havíamos comentado em aula). Para o critério de Sassenfeld, os coeficientes iguais a são multiplicados pelo valor do β i obtido para as variáveis em que β i já foi calculado, senão é mesmo. Preenchendo na tabela (cuidado, não é a solução!): 4

5 Logo λ = para o Método de Gauss-Seidel