Capítulo 9. Teoria da Aproximação. 9.2 Mínimos Quadrados

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1 Capítulo 9 Teoria da Aproximação 9.1 Introdução O estudo da teoria da aproximação envolve dois tipos de problemas genéricos: 1) Um problema ocorre quando uma função é dada de forma explícita, mas queremos encontrar um tipo de função mais simples, como uma função polinomial que possa ser utilizada para determinar valores aproximados da função dada. 2) O outro problema na teoria da aproximação é relativo ao ajuste da função aos dados encontrados, e a se encontrar a mehor função em uma determinada classe para representar todos os dados possíveis. 9.2 Mínimos Quadrados Considere o problema de se estimar os valores de uma função em pontos não tabulados, dados resultados de um experimento que se pode encontrar na tabela a seguir x i y i 2, 9 5, 1 7, 2 8, 7 11, 5 13, 2 Vejamos o gráfico apresentando os valores dados acima 1 (9.1)

2 Uma rápida observação nos leva a crer que a relação entre x e y deve ser linear. A provável razão para que nenhuma curva una com precisão os pontos representativos dos dados deve-se ao fato de que existem erros na obtenção dos dados (erros experimentais). Portanto, devemos determinar a melhor aproximação linear envolvendo a busca de valores de a 0 e a 1 que minimizem E 1 (a 0, a 1 ) = 6 y i (a 1 x i + a 0 ). Essa quantidade é chamada de desvio absoluto. Na tentativa de minimizar esta função de duas variáveis recaimos num sério problema. A função módulo não é diferenciável em zero. A abordagem de mínimos quadrados busca as constantes a 0 e a 1 de modo a minimizar o erro dos mínimos quadrados E = E 2 (a 0, a 1 ) = (y i (a 1 x i + a 0 )) 2. Na obtenção do mínimo, façamos 0 = a 0 0 = a 1 (y i (a 1 x i + a 0 )) 2 = 2 (y i (a 1 x i + a 0 )) 2 = 2 Que resulta no seguinte sistema 2 2 a 0 m (y i a 1 x i a 0 ).( 1), (y i a 1 x i a 0 ).( x i ). + a 1 m x i = m y i a 0 m x i + a 1 m x2 i = m x iy i Por meio da resolução deste sistema podemos encontrar a curva dos mínimos quadrados que aproxima os dados apresentados anteriormente. Pois bem, utilizemos a seguinte tabela auxiliar: x i y i x 2 i x i y i 1 2, 9 1 2, 9 2 5, , 2 3 7, , 6 4 8, , , , , , , ,2 2

3 Temos portanto, o seguinte sistema: 6a a 1 = 48, 6 21a a 1 = 206, 2 A solução do sistema acima é a 0 = 0, 88, a 1 = 2, 06. Logo, P (x) = 2, 06x + 0, 88. Agora, calculemos E 2 = 6 (y i P (x i )) 2. P (x i ) 2, , 06 9, 12 11, 18 13, 24 (y i P (x i )) 2 0, , 01 0, , , ,3116 Portanto, E 2 = 0, Observe o gráfico: (9.2) O problema algébrico de se aproximar um conjunto de dados {(x i, y i ); i = 1,..., m}, com um polinômio algébrico P n (x) = a n x n a 1 x + a 0, de grau n < m 1 é tratado de modo semelhante. Neste caso, devemos achar a 0,..., a n de modo a minimizar E 2 = (y i P n (x i )) 2. Isso resulta no seguinte sistema de n + 1 equações a 0 m + a 1 1 i + a 2 2 i a n n i = y i a 0 1 i + a 1 2 i + a 2 3 i a n n+1 i. a 0 x n i + a 1 x n+1 i + a 2 x n+2 i a n x 2n i = i y i. = n i y i, onde escrevemos m =. 3

4 Exemplo 1. Ajuste os dados da tabela a seguir com um polinômio discreto de mínimos quadrados de 2 o grau. i x i 0 0, 25 0, 5 0, 75 1, 00 y i 1, , , , , 7183 Solução: Utilizemos a seguinte tabela auxiliar: x i y i x 2 i x 3 i x 4 i x i y i x 2 i y i , 25 1, , , , , 321 0, , 50 1, , 25 0, 125 0, , , , 75 2, , , , , , , 00 2, , , ,5 8,7680 1,875 1,5625 1,3828 5,4514 4,4015 Temos portanto, o seguinte sistema: 5a 0 + 2, 5a 1 + 1, 875a 2 = 8, , 5a 0 + 1, 875a 1 + 1, 5625a 2 = 5, , 875a 0 + 1, 5625a 1 + 1, 3828a 2 = 4, 4015 Onde obtemos a 0 = 1, 0051, a 1 = 0, e 0, Logo, P 2 (x) = 0, 84316x 2 + 0, 86468x + 1, 0051 e E 2 = 2, Use um soft para esboçar o gráfico de P (x) juntamente com os pontos. Ocasionalmente é apropriado assumir que os valores estão relacionados de forma exponencial. Assim, devemos obter uma função de aproximação da forma y = be ax. Aplicando ln a ambos os membro da função acima, temos: ln(y) = ln(be ax ) ln(y) = ln(b) + ax Y = B + Ax, onde Y = y, B = ln(b) e A = a. 4

5 Exemplo 2. Ajuste os dados da tabela a seguir com uma curva exponencial de mínimos quadrados. i x i 1, 00 1, 25 1, 50 1, 75 2, 00 y i 5, 10 5, 79 6, 53 7, 45 8, 46 Solução: Utilizemos a seguinte tabela auxiliar: i x i ln(y i ) x 2 i x i ln(y i ) 1 1, 00 1, 629 1, , , 25 1, 756 1, , , 50 1, 876 2, , , 75 2, 008 3, , , 00 2, 135 4, , 270 7,50 9,404 11,875 14,422 Portanto, obtemos o seguinte sistema 5B + 7, 50A = 9, 404 7, 50B + 11, 875A = 14, 422, cuja solução é dada por A = 0, 5056, B = 1, 122. Portanto, b = e 1,122 = 3, 071, a = 0, 5056 donde obtemos a seguinte função de aproximação y = 3, 071e 0,5056. Calcule E 2 e use um soft para esboçar os gráfico de y = 3, 071e 0,5056 juntamente com os pontos. 9.3 Exercícios Exercício 1. Encontre os polinômios de mínimos quadrados de graus 1, 2 e 3 para os dados apresentados na tabela a seguir. Calcule o erro em cada caso. Se possível use um soft para esboçar o gráfico dos polinômios. x i 1, 0 1, 1 1, 3 1, 5 1, 9 2, 1 y i 1, 84 1, 96 2, 21 2, 45 2, 94 3, 18 Respostas: y = 1, x + 0, , E = 2, ; y = 0, x 2 + 1, x + 0, , E = 1, ; y = 0, x 3 + 0, x 2 + 1, x + 0, , E = 1,

6 Exercício 2. Apresentados os dados x i 4, 0 4, 2 4, 5 4, 7 5, 1 5, 5 5, 9 6, 3 6, 8 7, 1 y i 102, , , , , , , , , , 72 a) Construa o polinômio de mínimo quadrado de grau 1 e calcule o erro. b) Construa o polinômio de mínimo quadrado de grau 2 e calcule o erro. c) Construa o polinômio de mínimo quadrado de grau 3 e calcule o erro. d) Construa a aproximação de mínimo quadrado da forma be ax e calcule o erro. e) Construa a aproximação de mínimo quadrado da forma bx a e calcule o erro. Respostas: a) y = 72, 0845x 194, 138, E = 329; b) y = 6, 61821x 2 1, 14352x + 1, 23556, E = 1, ; c) y = 0, x 3 + 6, 84557x 2 2, 37919x + 3, 42904, E = 5, ; d) y = 24, 2588e 0,372382x, E = 418; e) y = 6, 23903x 2,01954, E = 0, Observação 3. Observando as respostas dos itens a) e d) do Exercício 2 vemos que o ajuste linear e o ajuste exponencial não são adequados. Das escolhas feitas, a que melhor se adequa aos dados é o polinômio mínimo quadrado de grau 3, pois o erro é menor que nos demais itens. 6