UFPB PRG X ENCONTRO DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA

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1 4CCENDMMT0 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Vivyane Coelho Caires (), Hélio Pires de Almeida (3) Centro de Ciências Exatas e da Natureza/Departamento de Matemática/MONITORIA Resumo: Geralmente aplicações de Álgebra Linear envolvem sistemas de equações lineares inconsistentes da forma Ax = b, onde A é uma matriz mxn, x R n e b R m. Nesses casos, o Método de Mínimos Quadrados (MMQ) determina um vetor x R n que mais se aproxima de x no seguinte sentido: a) x = proj w (x), onde W é o espaço coluna de A. b) e o vetor erro, e = ε ε ε 3, seja o menor possível. tal que Ax esteja o mais próximo possível de b, ou seja, por mínimos quadrados encontramos a curva mais próxima da curva original, ou ainda, encontramos uma solução que melhor se aproxima do sistema. Palavras chaves: Mínimos quadrados, teorema da melhor aproximação e pseudo inversa de uma matriz. Introdução: Em 0 de janeiro de 80, Ceres, um novo asteróide, foi descoberto, mas desapareceu atrás do sol logo depois de ser observado. Astrônomos previram quando e onde Ceres reapareceria, mas seus cálculos diferiram muito daqueles feitos, independentemente, por Gauss. Ceres reapareceu em 07 de dezembro de 80, quase exatamente onde Gauss predisse que ele estaria. Apesar de não ter revelados seus métodos naquela época, Gauss havia usado o método de aproximação por mínimos quadrados, o qual ele descreveu em um artigo em 809. O mesmo método já era conhecido antes. Cotes introduziu o no começo do século XVIII e Lagendre em 80 publicou um artigo sobre o mesmo. Mas Gauss é quem, geralmente, recebe os créditos pelo método de aproximação por mínimos quadrados. O MMQ é um procedimento utilizado para obter a melhor reta que pode ser ajustada aos dados utilizados. Sabemos que uma das mais importantes aplicações do MMQ é estimar constantes associadas a vários processos, como, a taxa de crescimento de uma população, que é um dos exemplos que veremos no decorrer deste trabalho, bem como conceitos, teoremas e outros exemplos do uso do MMQ. Neste trabalho veremos como encontrar a curva que melhor se ajusta a curva original e aprenderemos mais sobre seus conceitos. As curvas mais comuns utilizadas por este método são: reta, parábola, cúbica e quártica. Teorema da melhor aproximação: Definição: Se W é um subespaço de um espaço linear normado V e se v é um vetor em V, então a melhor aproximação para v em W é o vetor v em W tal que: para todo vetor w em W diferente de v. v v < v w () Monitor(a)Bolsista; () Monitor(a) Voluntário(a); (3) Prof(a) Orientador(a)/Coordenador(a).

2 Fonte: Poole, David, Álgebra Linear, editora THOMSON,004. Algebricamente, no R ou R 3, a menor distância está relacionada com a noção de projeção ortogonal. Se W é um subespaço de R n e v um vetor em R n, então esperamos que proj w (v) seja o vetor em W que está mais próximo de v. Se v = proj w (v), então v v < v w w v Teorema: Se W é um subespaço de dimensão finita de um espaço V com produto interno e se v é o vetor em V, então proj w (v) é a melhor aproximação de v em W. Demonstração: seja w um vetor em W diferente de proj w (v). então proj w (v) w também está em W, e v proj w (v) = perp w (v) é ortogonal a proj w (v) w. Por Pitágoras temos: v proj w (v) + proj w (v) w = (v proj w (v)) + (proj w (v) w ) = v w 3 Exemplo: sejam u = 4, u = e v =. Encontre a melhor aproximação para v no plano W = ger(u, u) e calcule a distância euclidiana de v até W. u proj w (v) =.v u u +.v u u.u u.u = A distância de v até W é a distância de v até um ponto de W que está mais próximo de v. Assim: v proj w (v) = = v proj w (v) = 0 + ( ) + ( ) = =, essa é a distância de v até W. Método de aproximação por mínimos quadrados: Esse método nos permite achar a curva que melhor se ajusta ao conjunto dos pontos dados. Melhor se ajusta significa pegar a curva mais próxima dos pontos da curva original. A distância de cada ponto à reta aproximada é denominada de erro e a escolha dessa reta é dada de acordo ao menor erro total. Exemplo: Encontre a curva que melhor se aproxima dos pontos: (,), (,) e (3,4). pela equação da reta, temos que y = a + bx e substituindo nos pontos: = a + b a = a + b ou, = b 4 = a + 3b 3 4 Esse sistema é impossível, logo devemos pegar uma curva que melhor se ajuste aos pontos dados. O vetor erro será: ε e = ε, com ε, ε e ε 3 erros na direção y. ε 3 Sabemos que devemos minimizar ao máximo possível o erro total, então isso significa que e é próximo de zero. Usando a norma euclidiana temo: e = ε ε ε 3

3 Ao e damos o nome de erro quadrático mínimo da aproximação. Graficamente: Fonte: Poole, David, Álgebra Linear, editora THOMSON,004,pág.. Olhando para o gráfico acima, podemos perceber que: ε = (a + b), ε = (a + b) e ε 3 = 4 (a + 3b) Exemplo3: Dentre as retas abaixo, qual possui o menor erro quadrático mínimo para os pontos (,3), (0,3), (,) e (0,0)? a) y = x b) y = x c) y = Efetuados os cálculos podemos concluir que a reta y = quadrático mínimo, logo ela é a reta de melhor ajuste ou reta de mínimos quadrados. Agora vamos generalizar. Suponha n pontos (x, y )... (x n, y n ) e uma reta y = a + bx, o vetor erro é: ε ε ε ε 3 ε 4 e e e =..., com ε i = y i (a + bx i ), assim teremos: ε n a + bx = y x y a + bx = y x a y = b A + bx n = y 3 x n y n que está na forma Ax = b. Y = x 3 ( + ) = 3 ( + 0) = 4 ( ) = 8 0 ( 0) = 4, x y com A = x, x = a e b = y... b... Y = x 3 ( 0) = 0 3 ( 0) = ( 0) = 0 ( 0) = 0,4 Y = 3 ( 0) = 3 ( 0) = ( 0) = 0 ( 0) = 7, x possui o menor erro

4 x y 3 Assim sendo, o erro ficaria: e = b Ax. Definição: Se A é uma matriz mxn e b está em R n, uma solução por mínimos quadrados de Ax = b é um vetor x em R n, tal que: b Ax b Ax x em R n. Solução para problemas de Mínimos Quadrados: Considerando que qualquer vetor da forma Ax está no espaço coluna A e que x varia sobre o R n, temos que Ax varia sobre todos os vetores da col(a). Assim, uma solução por mínimos quadrados Ax = b é equivalente a y em col(a), ou seja: b y b y y em col(a). Devemos encontrar o vetor em col(a) mais próximo de b, e pelo teorema da melhor aproximação, assim pensando, temos: Ax = proj col(a) (b) e substituindo: b Ax = b proj col(a) (b) = perp col(a) (b) que é ortogonal a col(a). assim, se ai é uma coluna de A, temos: ai T (b Ax) = ai.(b Ax) = 0 A T (b Ax) = [a... a n ] T (b Ax) a T (b Ax) = a n T a T (b Ax) = a n T (b Ax) 0 0 Ou seja, A T b A T Ax) = 0 A T b = A T Ax) Essa equação resultante é conhecida como equação normal para x. Teorema: Seja A uma matriz mxn e b R m. Então, Ax = b sempre tem pelo menos uma solução por mínimos quadrados x. Além disso: a) x é uma solução por mínimos quadrados de Ax = b, se somente se, x é uma solução da equação normal A T b = A T Ax. b) A possui colunas linearmente independentes se, e somente se, A T Ax é irrevertível. Nesse caso a solução por mínimos quadrados de Ax = b é única e é dada por: x = (A T A) A T b Exemplo4: Encontre a reta de mínimos quadrados dados A e b abaixo. 3 A = b = Calculando A T A: 3 A T A = = Calculando A T b: A T b = = Assim temos: 4

5 A T b = A T Ax, substituindo: a = a a + b = = b 4 a + b = 4 7 b = 7 x = 7, assim temos: y = + x como sendo a reta de mínimos quadrados. e = b Ax substituindo os valores temos: 3 e = 7 = _ Uma das mais importantes aplicações do Método dos Mínimos Quadrados é estimar constantes associadas a vários processos. Exemplo: De acordo com a tabela abaixo, encontre o valor de k e estime a população no ano de 00.(Exemplo tirado do Fonte: Poole, David, Álgebra Linear, editora THOMSON,004,pág. 30 e 3). Dados: p(t) = ce kt, onde p(t) é o tamanho da população em um determinado ano t e c e e são constantes, com p(0) = c e k = p (0) p(t) p(0) = c c =, População Ano t (bilhões) 0 90, 90 3, , , ,8 000,08 p = ce kt p =, e kt ln(p) = ln(,) + ln(e kt ) ln(p) = 0,94 + kt substituindo nessa fórmula os valores de t e p dados na tabela, temos: 0,94 = 0,94 k = 0,7 k = 0,37 3k = 0, e tiramos daí que: A = 3 e b = 4k = 0,74 k = 0,8 Calculando A T A: encontraremos A T A = e = ( ) + ( ) + ( ) = 047 Calculando A T b: encontraremos A T b = 9,80 E assim temos x = 9,80, e finalmente, k = x = 9,80 = 0,78 A estimativa para 00, como a população é analisada a cada 0 anos, o ano de 00 será o t =. p(t) = ce kt p() =,e (,78)() = 7,448 Conclusão, estima se que a população no ano de 00 seja de 7,448 bilhões de pessoas. Graficamente temos: 4 0,7 0,37 0, 0,74 0,8

6 Pseudo Inversa de uma matriz: Se A é uma matriz com colunas linearmente independentes, ou seja, invertível, a pseudo inversa de A é a matriz A + dada por: A + = (A T A) A T Algumas propriedades da pseudo inversa, ou, as condições de Penrose para A: a) AA + A = A; b) A + AA + = A + ; b) AA + e A + A são simétricas. Exemplo: Encontre a pseudo inversa de A = Calculando A T A: 0 3 A T A = 3 = 4 0 Agora, calculamos a pseudo inversa usando a fórmula: A + = (A T A) A T 3 0 (A T A) = 7 7 A + = 0 = _ Conclusão Analisamos problemas onde era preciso fazer um reajuste de curvas, ou seja, pegar a curva que nos proporcionaria um menor erro quadrático mínimo da aproximação. E discutimos vários meios de encontrá la. Como citado acima, o MMQ é muito usual no cálculo de populações bem como em outros processos, daí a importância de aprendê lo. Referências bibliográficas: pdf Poole, David, Álgebra Linear, editora THOMSON,004.

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