Resolução de Sistemas Lineares Prof. Isaias Lima 04/03/2015

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1 Resolução de Sistemas Lineares Prof. Isaias Lima 04/03/2015 A situação mais comum envolve uma matriz quadrada de coeficientes A e um vetor coluna b no segundo membro da equação. 1) Matriz A não singular Se a matriz A é não singular, a solução, x = a\b, é de mesma dimensão de b. Por exemplo: A = pascal(3); u = [3; 1; 4]; x = A\u x = Pode-se confirmar que A * x é exatamente igual a u. Se A e b são quadradas e do mesmo tamanho, x = a\b também é de mesma dimensão: b = magic(3); X = A\b X = Pode-se confirmar que A * x é exatamente igual a b. Ambos os exemplos têm soluções inteiras e exatas. Isto, porque as matrizes de coeficientes escolhidas são matrizes não singulares.

2 2) Matriz A Singular Uma matriz quadrada A é singular se tem pelo menos uma fila linearmente dependente. Se A é singular, a solução de A*x = b não existe, ou não é exclusiva. O operador (\) barra invertida ou backslash, A\b, emite um aviso se A é quase singular e gera uma condição de erro se a singularidade ocorre.se A é singular e A*x = b tem uma solução, pode-se encontrar uma solução específica que não é exclusiva, usando: P = pinv(a)*b P é uma pseudo-inversa de A. Se A*x = b não tem uma solução exata, pinv(a) retorna uma solução a partir dos mínimos quadrados. Por exemplo: A = [ ] A é singular, como se pode verificar digitando: rank(a) 2 Desde que o rank não é menor que dimensão de A, têm-se alguns valores singulares iguais a zero. 2.1) Soluções exatas Para b = [5; 2; 12], a equação A*x = b tem uma solução exata, dada por: pinv(a)*b

3 Verifica-se que pinv (A) * b é uma solução exata, digitando: A * pinv (A) * b ) Soluções por mínimos quadrados No entanto, se b = [3; 6; 0], A*x = b não tem uma solução exata. Neste caso, pinv (A) * b retorna uma solução por mínimos quadrados. Digitando: A*pinv(A)*b Observa-se que não se pode voltar ao vetor b original. Nota: pode-se determinar se A*x = b tem solução exata, localizando a linha da matriz aumentada [A b] escalonada. Para fazê-lo, usando exemplo anterior, digite: rref([a b]) Desde que a última linha contém zeros, exceto na última entrada, a equação não tem uma solução exata. Neste caso, pinv(a) retorna uma solução por mínimos quadrados.

4 3) Mínimos Quadrados e Sistemas Determinados Este exemplo mostra como frequentemente vários tipos de curvas podem ser ajustadas a partir de dados experimentais. Seja uma quantidade, y, medida para valores distintos de tempo, t, fornecendo a tabela B. t = [ ]'; y = [ ]'; B = [t' y'] B = Observando os dados obtidos experimentalmente, pode-se assumir função exponencial descrescente para modelar o comportamento do sistema:.esta equação diz que o vetor y pode ser aproximado por uma combinação linear de dois outros vetores: um vetor constante como todos elementos iguais a 1 e outro vetor com os correspondentes valores de exp(-t). Os coeficientes desconhecidos da equação, c 1 e c 2, podem ser calculados por mínimos quadrados, que minimiza a soma dos quadrados dos desvios dos dados obtidos em relação ao modelo de curva esperado. Existem seis equações e duas incógnitas, representadas por uma matriz E, 6 por 2. Ou seja: E = [ones(size(t)) exp(-t)] E =

5 Para se obter os coeficientes c 1 e c 2, o operador barra invertida é, então, usado. A solução por mínimos quadrados é dada: c = E\y c = Em outras palavras,a solução do sistema linear são os ajuste para os dados fornecidos, obtidos pelo método dos mínimos quadrados: As instruções a seguir permitem avaliar o modelo em incrementos regularmente espaçados para t e, então, traçar o resultado obtido juntamente com os dados originais. T = (0:0.1:2.5)'; Y = [ones(size(t)) exp(-t)]*c; plot(t,y,'-',t,y,'o')

6 Veja que E * c é não exatamente igual a y (curva), mas a diferença é bem menor do que os erros de medição para os dados originais. Uma matriz retangular A onde as colunas não são linearmente independentes fornece uma solução não exclusiva por mínimos quadrados para AX = b. O operador backslash, A\b, emite um aviso se A tiver um número de colunas maior que o seu rank e produz uma solução por mínimos quadrados se o sistema não tiver nenhuma solução; ou uma solução básica, se o sistema tiver infinitas soluções. 4) Mínimos Quadrados e Sistemas Indeterminados Este exemplo mostra a solução para sistemas indeterminados. Sistemas lineares indeterminados envolvem mais incógnitas do que equações. A operação de divisão à esquerda da matriz de coeficientes em MATLAB encontra uma solução básica, que tem no máximo m componentes diferentes de zero para uma matriz m por n. Como exemplo: R = [ ; ] rng(0); b = randi(8,2,1) R =

7 b = 7 8 O sistema linear R*p = b envolve duas equações e quatro incógnitas. Desde que a matriz de coeficientes contém números inteiros pequenos, é conveniente usar o comando format para exibir a solução no formato racional. A solução particular é obtida com: format rat p = R\b p = 0 17/7 0-29/7 Um dos componentes diferente de zero é p(2), porque R(:,2) é a coluna de R com a maior norma. O outro componente diferente de zero é p(4), porque R(:,4) domina depois que R(:,2) é eliminado. A solução geral para o sistema indeterminado pode ser caracterizada por uma combinação linear arbitrária dos vetores espaço nulo, adicionados a p. A função null fornece uma base racional. Z = null(r,'r') Z = -1/2-7/6-1/2 1/

8 Pode-se confirmar que R * Z é zero e que o resíduo R * x - b é pequeno para qualquer vetor x, onde x = p + Z*q. Uma vez que as colunas de Z são os vetores do espaço nulo, o produto Z * q é uma combinação linear desses vetores: Escolha um q arbitrário e construa x: q = [-2; 1]; x = p + Z*q; Calcule a norma do resíduo. format short norm(r*x - b) e-15