MATLAB para H-Álgebra Linear II
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- Gilberto Santiago Bonilha
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1 MATLAB para H-Álgebra Linear II Melissa Weber Mendonça 1 1 Universidade Federal de Santa Catarina M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
2 Lembrando... >> v = [1 2 3] >> size(v) >> w = [1;2;3] >> size(w) >> u = [ ] >> size(u) >> A = [5 2 3;3 8 9;1 6 4] >> size(a) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
3 Resolução de Sistemas Lineares com MATLAB Se quisermos encontrar x R n tal que Ax = b com A R n n e b R n, então fazemos >> x = inv(a)*b >> x = A\b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
4 Sistemas Retangulares Se A = LU, Ax = b LUx = b, e assim: >> [L,U] = lu(a) >> y = L\b >> x = U\y ou ainda: >> x = U\(L\b) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
5 Sistemas Retangulares Se A = LU, Ax = b LUx = b, e assim: >> [L,U] = lu(a) >> y = L\b >> x = U\y ou ainda: >> x = U\(L\b) Exemplo: x x 2 1 x = 5 1 x 4 M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
6 Sistemas Retangulares Se A = LU, Ax = b LUx = b, e assim: >> [L,U] = lu(a) >> y = L\b >> x = U\y ou ainda: >> x = U\(L\b) Exemplo: x x 2 1 x = 5 5 x 4 M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
7 Imagem de uma matriz Quando usamos o comando >> B = orth(a) obtemos uma base ortonormal para o espaço coluna (imagem) de A, ou seja, span(b) = span(a) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
8 Imagem de uma matriz Quando usamos o comando >> B = orth(a) obtemos uma base ortonormal para o espaço coluna (imagem) de A, ou seja, span(b) = span(a) >> size(b) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
9 Espaço nulo de uma matriz Quando usamos o comando >> Z = null(a) obtemos uma base ortonormal para o espaço nulo de A. M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
10 Espaço nulo de uma matriz Quando usamos o comando >> Z = null(a) obtemos uma base ortonormal para o espaço nulo de A. >> A*Z M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
11 Espaço nulo de uma matriz Quando usamos o comando >> Z = null(a) obtemos uma base ortonormal para o espaço nulo de A. >> A*Z >> size(z) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
12 Espaço nulo de uma matriz Quando usamos o comando >> Z = null(a) obtemos uma base ortonormal para o espaço nulo de A. >> A*Z >> size(z) >> Z *Z M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
13 Posto de uma matriz Para calcularmos o posto de uma matriz, usamos o comando >> rank(a) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
14 Calcular o produto interno entre dois vetores Para calcular o produto interno entre dois vetores, basta fazermos: >> v = [1;0;0] >> u = [0;1;0] M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
15 Calcular o produto interno entre dois vetores Para calcular o produto interno entre dois vetores, basta fazermos: >> v = [1;0;0] >> u = [0;1;0] >> u *v M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
16 Calcular o produto interno entre dois vetores Para calcular o produto interno entre dois vetores, basta fazermos: >> v = [1;0;0] >> u = [0;1;0] >> u *v >> v *u M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
17 Calcular o produto interno entre dois vetores Para calcular o produto interno entre dois vetores, basta fazermos: >> v = [1;0;0] >> u = [0;1;0] >> u *v >> v *u >> u *u M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
18 Norma de um vetor >> sqrt(u *u) >> norm(u) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
19 Exemplo Calcule o ângulo entre os seguintes vetores: u = (1, 1), v = ( 1, 1) Observação: 1 = π 180 radianos M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
20 Exemplo Calcule o ângulo entre os seguintes vetores: u = (1, 1), v = ( 1, 1) u = (2, 0, 0), v = (1, 3, 0), w = (4, 0, 1), t = (2, 1, 1) Observação: 1 = π 180 radianos M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
21 Exemplo Calcule o ângulo entre os seguintes vetores: u = (1, 1), v = ( 1, 1) u = (2, 0, 0), v = (1, 3, 0), w = (4, 0, 1), t = (2, 1, 1) u = (1, 1, 1, 1, 1), v = (2, 3, 4, 5, 6) Observação: 1 = π 180 radianos M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
22 Exemplo (Exercício 15, lista 3) A molécula de metano (CH 4 ) está organizada como se o átomo de carbono estivesse no centro de um tetraedro regular com quatro átomos de hidrogênio nos vértices. Se os vértices forem colocados em (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1) e (0, 1, 1) - observando que todas as seis arestas medem 2, de forma que este é um tetraedro regular - qual será o cosseno do ângulo entre os raios que vão do centro ( 1 2, 1 2, 1 2 ) aos vértices? M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
23 Produto externo: matrizes de posto 1 >> u = [1;1;1] >> A = u*u >> rank(a) >> null(a) >> orth(a) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
24 Sistemas sobredeterminados Ax = b = Solução: A T Ax = A T b x = (A T A) 1 A T b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
25 Sistemas sobredeterminados Ax = b = Solução: A T Ax = A T b x = (A T A) 1 A T b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
26 Sistemas sobredeterminados Ax = b = Solução: A T Ax = A T b x = (A T A) 1 A T b x = A + b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
27 Exemplo A = , b = >> x = inv(a *A)*A *b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
28 Exemplo A = , b = >> x = inv(a *A)*A *b >> x = (A *A)\(A *b) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
29 Exemplo A = , b = >> x = inv(a *A)*A *b >> x = (A *A)\(A *b) >> x = pinv(a)*b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
30 Exemplo 1 3 ( ) 4 A = , b = A = >> x = inv(a *A)*A *b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
31 Exemplo 1 3 ( ) 4 A = , b = A = >> x = inv(a *A)*A *b >> x = pinv(a)*b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
32 Exemplo 1 3 ( ) 4 A = , b = A = >> x = inv(a *A)*A *b >> x = pinv(a)*b Conclusão O MATLAB não resolve todos os nossos problemas :) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II / 15
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1Q1. Considere o ponto A = (1, 2, 3), a reta r : x+1
Com exceção da Questão 15, em todas as questões da prova considera-se fixado um sistema de coordenadas Σ = (O, E), onde E é uma base ortonormal positiva. 1Q1. Considere o ponto A = (1, 2, 3), a reta r
(e) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
Nas questões da prova em que está fixado um sistema de coordenadas Σ = (O, E, quando for necessário, considera-se que E é uma base ortonormal positiva. 1Q 1. Seja V um espaço vetorial e x 1, x 2,, x q,
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