Cálculo IV EP10 Tutor

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1 Fundação entro de iências e Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro entro de Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro álculo IV EP Tutor Eercício : alcule a integral de linha diretamente e, também, pelo teorema de Green: d + d onde é o caminho fechado formado por e, no sentido anti-horário. Solução: O esboço de está representado na figura que se segue.,) : : álculo direto Temos que: F d r F d r + F d r onde F,), ). Temos que : γt) t,t ), com t. Logo, γ t), t). Assim: F d r Fγt) γ t)dt F t,t ), t)dt ) t,t, t)dt ) [ t + t 5 t ] dt + t Também, temos que : γt) t, t), com t donde γ t), ). Então: F d r Fγt) γ t) dt F t, t), ) dt ) t, t), ) dt ) + t + t t dt + t t ) dt ] [ t + t t

2 álculo IV EP Tutor Logo: F d r álculo por teorema de Green F d r onde é a região compacta do plano limitada por. Q P ) dd ) dd dd Atenção: Prezado aluno, você reparou na simplicidade do cálculo da integral pelo teorema de Green? Eercício : Utilize o teorema de Green para calcular: a) I d + arctg d onde é o caminho fechado formado por,, + e, no sentido anti-horário; b) I e sen d + + e cos )d, onde é a elipse + 8, no sentido anti- -horário; c) I arctg d + ln + ) + ) d onde é parametrizada por + cost e Solução: + sent, com t π. a) O esboço da região está representado na figura que se segue. Seja a região compacta de ) R, limitada por. omo está orientada positivamente e F,) é de classe em R, então podemos aplicar o teorema de Green. + Temos que: }{{} P I, arctg }{{} Q Q P ) [ dd dd dd A). )] + dd Fundação EIERJ onsórcio EERJ

3 álculo IV EP Tutor b) O esboço de : 8 + está representado na figura a seguir. 8 8 Seja a região compacta de R, limitada por. omo está orientada positivamente e F,) P,Q) e sen, + e cos ) é de classe no aberto R, então pelo teorema de Green segue que Q I P ) dd + e cos e cos )dd dd A) πab com a 8 e b. Então: I 6π. ) c) e + sent e + sent, com t π temos + ). Logo, é uma elipse fechada pois, t π, cujo esboço está representado na figura que se segue. Seja a região compacta limitada por. omo está orientada positivamente e F,) P,Q) arctg, ln + ) ) + é de classe no conjunto aberto U {,) R > } e U então podemos aplicar o teorema de Green. Temos então que: Q I P ) dd + + dd ) dd dd A) πab + Fundação EIERJ onsórcio EERJ

4 álculo IV EP Tutor com a e b. Logo, I π. Eercício : O teorema de Green pode ser utilizado para calcular a integral de linha + d + + d a) onde é a circunferência +, orientada no sentido anti-horário? b) onde é o triângulo com vértices, ),, ) e, ), orientado no sentido anti-horário? c) Qual é o valor da integral de linha onde é o triângulo da parte b)? Solução: a) O campo F P,Q) ) +, é de classe no conjunto aberto U R {, )}. + U omo a região compacta, limitada por, contem a origem, ), então não está contida em U. Assim, não podemos aplicar o teorema de Green na região. b) O esboço do triângulo está representado na figura que se segue. U omo a região compacta, limitada por, está contida em U, pois não contem, ), então podemos aplicar o teorema de Green. c) Pelo teorema de Green temos: F d r Q P ) dd Fundação EIERJ onsórcio EERJ

5 álculo IV EP Tutor 5 onde Logo: Q + + ) + ) P + + ) + ). F d r dd. Eercício : Use uma integral de linha para calcular a área da região plana limitada pelas curvas e. Solução: As interseções são, ) e, ). Então, o esboço da região está representado na figura a seguir. Temos que A) d onde com : γt) t,t ), com t donde + γ t), t) e : γt) t), t), com t donde γ t) t), ). Atenção! Aqui, usei a seguinte parametrização: γt) a + b t),a + b t), com t e com a e b. Também poderia ter parametrizado percorrida no sentido contrário), : γt) t,t), com t e usar a propriedade F d r F d r. Voltando à solução temos: A) d + d Fundação EIERJ onsórcio EERJ

6 álculo IV EP Tutor 6 onde e d d + d [ t t dt ] d d + d Fγt) γ t) dt Fγt) γ t) dt ), t) t), ) dt t) dt,t), t) dt t) ). Então: A) u.a. Eercício 5: Uma partícula move-se ao longo da circunferência do ponto, ) até, ). etermine o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força a seguir: F,) + e, + + e ). Solução: O esboço de está representado na figura que se segue., ), ) O trabalho realizado palo campo F ) P,Q) + e, + + e ao longo de é dado por W F d r. omo Q P + + e e + então F não é conservativo. Para calcular diretamente a integral é complicado, devido a compleidade do campo. Então consideremos a curva fechada, onde é o segmento de reta que liga, ) a, ) e apliquemos o teorema de Green. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

7 álculo IV EP Tutor 7, ), ) Seja a região compacta limitada por. omo está orientada positivamente e F é de classe em R temos, pelo teorema de Green, que: Q F d r P ) dd + ) dd. álculo de + ) dd Passando para coordenadas polares temos + r, dd rdrdθ e rθ : Logo: + ) dd π [ r ] π dθ dθ π. r r drdθ π r drdθ { θ π r. álculo de F d r Temos que : γt) t, ), com t donde γ t), ). Então: F r Fγt) γ t) dt Ft, ), ) dt t +,t + + ) [ t ], ) dt t + ) dt + t + ) ). Assim: W F d r π u.w. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

8 álculo IV EP Tutor 8 Eercício 6: Mostre que I,),) é independente do caminho e calcule-a. + ) d + + ) d Solução: Seja F,) + ) d + + ) que é um campo de classe em R. omo R é um conjunto simplesmente coneo e Q P, então, pelo teorema das equivalências, segue que a integral I não depende do caminho que liga, ) a, ). Também, pelo teorema das equivalências, temos que F é um campo conservativo, isto é, eiste uma função potencial ϕ,) tal que ϕ F em R donde ϕ + ) ϕ + ) Integrando ) e ) em relação a e, respectivamente, temos: Tomando f) e g) temos que: ϕ,) + + f) ϕ,) + + g) ϕ,) + +. Então, pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, temos: I ϕ, ) ϕ, ) + + ) + + ) 66. Eercício 7: a) Mostre que I caminho. + + ) d ln + )) d é independente do b) alcule a integral I para : ) +, com, no sentido horário. Solução: a) Seja F,) P,Q) + +, ln + )) de classe em R. omo R é um conjunto simplesmente coneo e Q +9 P então, pelo teorema das equivalências, segue que a integral de linha I é independente do caminho. b) O esboço de está representado na figura que se segue. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

9 álculo IV EP Tutor 9 omo a integral I não depende da curva que liga, ) a, ), então consideremos{ outra curva no t lugar de. Seja, então, o segmento de reta ligando, ) a, ). Temos : t, com t donde d dt e d. Então: I ) + + d + [ + 9 ln + )] d Eercício 8: Mostre que t + + )dt I [ t t dt ]. + + ln ) d + d é independente do caminho e calcule o valor de I onde é dada por γt) + cost, sen t), com π/ t π/. Solução: Seja F,) P,Q) + + ln, ) que é de classe no conjunto aberto U {,) R > }. U omo U é um conjunto simplesmente coneo e Q P, então, pelo teorema das equivalências, segue que a integral de linha I é independente do caminho. Esboço de Temos que γ π/), ) e γπ/), ). As equações de são + cost e sen t, com π/ t π/. Logo, ) cos t e sen t donde ) +. Então Fundação EIERJ onsórcio EERJ

10 álculo IV EP Tutor é o arco da circunferência ) +, percorrido no sentido anti-horário que vai de, ) a, )., ) U, ) omo a integral de linha não depende do caminho então vamos substituir a curva pelo segmento de reta que liga, ) a, )., ) U, ) Temos : { t, com t donde d e d dt. Então: I + + ln ) d + d + dt dt [ t ]. Fundação EIERJ onsórcio EERJ