Cálculo III-A Lista 6

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada álculo III-A Lista 6 Eercício : Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas: a) = {,) =, } b) = {,) + = 4, } c) = {,) + ++ = } } d) = {,) 4 + =, Solução: a) O esboço de está representado na figura que se segue. Fazendo = t temos que = t. omo, t portanto t. Portanto, uma parametrização de é γt) = t,t), com t. Esta parametrização é diferenciável pois eiste γ t) = t,) para todo t em [, ]. Observe que γ t) = t, t ) com t é também uma parametrização de, mas não é diferenciável pois não eiste γ ). Observe também que essas parametrizações percorrem da origem,) para, ).

2 álculo III-A Lista 6 87 b) Se + = 4 e então é umarco de circunferência deetremidades 3, ) e 3, ). Sendo assim, o esboço de está representado na figura que se segue. γt) =,) t Adotando o ângulo t em radianos) como parâmetros, temos que = cost e = sent. Variação de t Temos que t t t. t 3 t tgt = 3 t = π 6 t = π π 6 = 5π 6 Logo π/6 t 5π/6. Assim, uma parametrização diferenciável de é γt) = cost,sent), com π/6 t 5π/6. Observe que essa parametrização percorre no sentido anti-horário. c) De + ++ = temos: = 4 ou + ) + + ) =. ) Logo, é uma circunferência de centro, e raio =. Então, uma parametrização diferenciável de no sentido anti-horário é γt) = ) + cost, + sent, com t π.

3 álculo III-A Lista 6 88 d) O esboço da semielipse está representado na figura que se segue. Uma parametrização de no sentido anti-horário) é γt) = cost,sent), com π/ t π/. Eercício : Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas no espaço: a) é o segmento de reta que liga o ponto,,) ao ponto,3,4). b) é a interseção do cilindro + = com o plano z =. c) é a interseção do paraboloide z = + com o plano z = +. Solução: a) Sejam A e B pontos do espaço. Seja P =,,z) pertencente ao segmento AB. z A P B O Então OP = OA + AP. Mas AP é um múltiplo escalar de AB, ou seja, AP = t AB onde t. Logo, γt) = OP = OA+t AB = A )+tb A) = A+tB A) com t, é a equação vetorial do segmento.

4 álculo III-A Lista 6 89 No nosso caso, temos que A =,,) e B =,3,4). Portanto, uma parametrização do segmento AB é: γt) =,,)+t [,3,4),,) ] =,,)+t,,4) = com t. = t,+t,4t) b) Seja P =,,z) pertence à curva. Logo, e satisfazem à equação + = portanto = cost e = sent, com t π. omo z =, então z = sent cost. Portanto, uma parametrização de é γt) = cost,sent,sent cost), com t π. c) De z = + e z = + temos + = ou + no plano é a circunferência + t π. omo z = +, então = com t π. ) 5 =. Logo, a projeção de 4 ) 5 = 4. Assim, = 5 cost e = + 5 sent, com sent. Temos que, 5 γt) = cost, + 5 sent, 3 ) + 5 sent Eercício 3: alcule +) ds, onde consiste no menor arco de circunferência + = de,) a,) e do segmento de reta de,) a 4,3). Solução: O esboço de = está representado na figura que se segue. 4,3),),) Por propriedade da integral temos: +) ds = +) ds+ +) ds. álculo de +) ds

5 álculo III-A Lista 6 9 Uma parametrização de é dada por γ t) = cost,sent), com t π/. Logo γ t) = sent,cost) e γ t) = sent) +cost) = sen t+cos t =. omo ds = γ t) dt então ds = dt. Assim, álculo de +) ds +) ds = π/ = ) ) =. cost+sent) dt = [ ] π/ sent cost = Sejam A =,) e B = 4,3). Uma parametrização de = segmento de reta AB é dada por γ t) = A+tB A), com t ou γ t) =,)+t [ 4,3),) ] =,) + t4,) = 4t, + t), com t. Logo γ t) = 4,) portanto γ t) = 4 + = = 5 e ds = γ t) dt = 5dt. Então, +) ds = = 5[3t +t] = t++t) 5dt = 5 6t+) dt = Portanto: +) ds = Eercício 4: Seja parte da curva interseção das superfícies + +z = e + = 4, com >, situada no primeiro octante. Determine o valor de de modo que z ds = 8 3. Solução: De + +z = e + = 4 temos z = 3 4, logo z = 3 3 significa que a curva está contida no plano horizontal z =. pois z. Isso

6 álculo III-A Lista 6 9 z 3,,z) / /,,) Seja,,z). Então e satisfazem a equação + = 4, portanto = cost e = sent. omo e temos t π/. omo z = 3 é dada por γt) = e Assim, Então, omo ou cost, sent, 3 z ds = 8 3 portanto = 3 = 6. γ t) = γ t) = z ds = = então π/ ), com t π/. Logo, sent, cost, ) 4 sen t+ 4 cos t =. ds = γ t) dt = dt. π/ ) ) ) cost sent 3 dt = costsent dt = = = 6 8 = [ ] sen t π/, uma parametrização de = Eercício 5: Mostre que o momento de inércia de um fio homogêneo com a forma de uma circunferência de raio em torno de um diâmetro é igual a M, onde M é a massa do fio.

7 álculo III-A Lista 6 9 Solução: Sem perda de generalidade, podemos considerar a circunferência de raio, centrada em,). Então a equação de é + = e, portanto, uma parametrização é γt) = cost,sent), com t π. omo o fio é homogêneo então a densidade é constante, isto é, δ,) = k para todo,). Assim, da Física temos M = k comprimento de ) = kπ) = kπ. onsiderando um diâmetro no eio temos I = k ds = k ds onde ds = γ t) dt = sent,cost) dt = sent) +cost) dt = Então, = sen t+ cos t dt = dt = dt. I = k π sent) dt = k 3 π = kπ 3 = kπ = M. [ sen t dt = k 3 t sent ] π = Eercício 6:Umarametem aformadacurvaobtidacomo interseção dasemi-esfera + +z = 4, com o plano + z =. Sabendo-se que a densidade em cada ponto do arame é dada por f,,z) =, calcule a massa total do arame. Solução: a) A curva está ilustrada na figura que se segue.

8 álculo III-A Lista 6 93 z z Seja,,z). Então + +z = 4, e +z =, logo + + ) = 4, ou 4+ =, ou ) + =,, ou ) + =,. Logo, a projeção de no plano é a semielipse ) + =,. Então = +cost = sent z = +cost) = cost. omo, então sent portanto t π. Logo, uma parametrização para é dada por Temos portanto omo M = σt) = +cost, sent, cost), t π. σ t) = sent, cost, sent) ds = σ t) dt = sen t+cos t+sen t dt = dt. f,,z) ds = ds, então M = π +cost) sent dt = [ = cost+ sen t ] π = 4 u.m. π sent+sentcost) dt = Eercício 7: Achar a massa da elipse 9 + =, situada no primeiro quadrante se a densidade 4 em cada ponto é igual ao produto das coordenadas do ponto. Solução: A densidade δ,) é dada por δ,) =. Logo, a massa M é dada por M = δ,) ds = ds onde é parametrizada por: γt) = 3cost, sent), t π/ γ t) = 3sent, cost) γ t) = 9sen t+4cos t

9 álculo III-A Lista 6 94 Então, M = ds = Fazendo u = 9sen t+4cos t, tem-se: π/ 6costsent 9sen t+4cos t dt. du = 8sentcost 8costsent)dt = costsentdt. Se t = e t = π/, tem-se u = 4 e u = 9, respectivamente. Então, M = u / du = [ ] 9 u 3/ = 3 3 3) = u.m. Eercício 8: Deseja-se construir uma peça de zinco que tem a forma da superfície do cilindro + = 4, compreendida entre os planos z = e ++z =, com z. Se o metro quadrado do zinco custa M reais, calcule o preço total da peça. Faça um esboço da mesma. Solução: z z = = f,) S,,) Seja S a superfície lateral de base contida no plano e altura f,) = em cada,). Então AS) = f,) ds = ) ds onde é parametrizada por σt) = cost, sent), π/ π π. Assim, σ t) = sent, cost) portanto ds = σ t) dt = dt. Então, π [ ] π AS) = cost sent) dt = 4 t sent+cost = π/ π/ [ )] ) π = 4 π +) + 3π = 4 + = 6π +8 u.a. Logo, o preço da peça é igual a 6π +8)M reais.

10 álculo III-A Lista 6 95 Eercício 9: alcule a massa de um arame cuja forma é dada pela curva interseção da porção da esfera + +z =, situada no primeiro octante com o plano z =, supondo que a densidade em um ponto P é proporcional ao quadrado da distância de P à origem. Solução: De + +z = e z =,,, z, temos + =, e se, e somente se + ) = ) + = 4 com e. Logo, a projeção do arame no plano é um quarto da elipse ) + 4 com e, cuja parametrização é dada por t) = cost e = + sent, com t [ π/,π/], pois. Para encontrar uma parametrização de utilizamos a equação do plano z =. =, Temos, com t [ π/, π/]. Assim, portanto Logo, ) : γt) = cost, + sent, + sent γ t) = ) sent, cost, cost γ t) = sen t+ 4 cos t+ 4 cos t =. ds = γ t) dt = dt. A densidade em P =,,z) é dada por onde k >. omo M = δ,,z) = k + +z ) = k + +z ), δ,,z) ds então: M = k + +z ) ds = k ds = π/ = k π/ + ) [ sent dt = k t cost ] π/ π/ = kπ u.m.

11 álculo III-A Lista 6 96 Eercício : alcule a primeira coordenada do centro de massa de um fio homogêneo que está ao longo de uma curva γt) = t i + t5/ j + t4 k, t, se a densidade for δ,,z) =. 5 4 ) Solução:Deγt) = t, 5 t5/, t4 temosqueγ t) =, t 3/,t 3 ),portantoobtemos γ t) = 4 +t3 +t 6 = +t 3 ) = +t 3. Logo, ds = γ t) ) dt = +t 3 dt. A primeira coordenada do centro de massa do fio homogêneo é dada por ds = L onde L é o comprimento de, isto é, Por outro lado, ds = L = b a γ t) ) dt = +t 3 dt = t +t 3) dt = ) [ t+t 4 t dt = + t5 5 [ ] t+ t4 = 6. 4 ] = = 4 5. Logo, = = 7 5.