Cálculo IV EP3. Aula 5 Aplicações da Integrais Duplas. Estudar algumas aplicações físicas como massa, centro de massa e momento de inércia.

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1 Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro Cálculo IV EP3 Aula Aplicações da Integrais uplas Objetivo Estudar algumas aplicações físicas como massa, centro de massa e momento de inércia 1 assa Seja R, uma região compacta, representando uma lâmina plana delgada Suponhamos que a função contínua e positiva δ : R R representa a densidade superficial de massa (massa por unidade de área) R R ij ( i,y j ) ( Considerando-se ) n subretângulos R ij de algum retângulo R que contém e uma escolha i,yj Rij, observamos que a soma δ ( i,yj) A j=1 é uma aproimação da massa de, onde δ ( ( i,yj) = se i,yj) / Logo, é razoável definir a massa de com = δ(,y)ddy OBS: Se δ(,y) for constante e igual a k, então a massa será igual a ka() Neste caso, dizemos que a lâmina é homogênea

2 Cálculo IV EP3 Centro de assa a) Seja um sistema finito de partículas P 1 = ( 1,y 1 ),P = (,y ),,P n = ( n,y n ), com massas m i,i = 1,,n, respectivamente Lembrando da Física que os momentos de massa desse sistema, em relação aos eios e y, são definidos por: = m i y i e y = m i i O centro de massa do sistema é o ponto (,y) que se comporta como se a massa total = do sistema estivesse concentrada nesse ponto Logo, m i = y e y = ou = y = m i i e y = m i = m i y i m i b) Se considerarmos no lugar de um sistema finito de partículas, uma lâmina plana com densidade superficial de massa dada por uma função contínua e positiva δ(, y), fazemos uma partição de algum retângulo R contendo, obtendo subretângulos R ij Escolhemos ( i,y j) Rij Logo, a massa de R ij pode ser aproimada por δ ( i,y j) A, onde δ ( i,y j) = se δ ( i,y j) / Então yjδ ( i,yj) A e y i,j=1 Logo, definimos e y por = iδ ( i,yj) A i,j=1 yδ(,y) da e y = δ(,y) da O centro de massa (,y) da lâmina é definido por δ(,y) da = e y = yδ(,y) da OBS: Se δ(,y) = k, k constante, o ponto (,y) é dito centróide e temos as seguintes fórmulas ddy yddy = e y = ddy ddy Consórcio CEERJ

3 Cálculo IV EP3 3 3 omento de Inércia O momento de inércia de uma lâmina em relação a um eio E é dado por I E = r (,y)δ(,y)ddy onde r(,y) é a distância de (,y) ao eio E Assim, os momentos de inércia de em relação aos eios e y, respectivamente, são dados por I = y δ(,y)ddy e I y = δ(,y)ddy O momento de inércia polar em relação à origem é dado por I = ( +y ) δ(,y)ddy = I +I y Eemplo 1 etermine o centro de massa e o momento de inércia em relação ao eio, da região limitada por = y e y =, sendo δ(,y) = 3 Solução: As curvas se interceptam quando y y =, logo y =, y = Assim, o esboço de é: y = y (4,) (1, ) 4 = +y escrevemos como tipo II : = {(,y) y, y +y} A massa de é: = δ(,y)da = +y 3dA = 3 y ddy = 3 (+y y )dy [ ] = 3 y + y y3 3 = 3 [( ( 4+ 3) )] 1 3 = 7 Consórcio CEERJ

4 Cálculo IV EP3 4 O centro de massa (,y) é dado por δ(,y) da = Logo, Cálculo de +y δ(,y)da = 3 ddy = 3 y +y yδ(,y)da = 3 yddy = 3 y Cálculo de = 18 7, y = δ(,y)da: yδ(,y) da [ ] +y dy = 3 ( y 4+4y +y y 4) dy = 3 = 3 [ 4y +y + y3 3 y ] [( ) ( )] = 3 7 = 18 yδ(,y)da: y ( +y y ) ( dy = 3 y +y y 3) dy [ ] = 3 y + y3 3 y4 4 = 8 7, y = 4 7 Assim, o centro de massa (,y) está localizado em ( 8, 1 ) = 1 = 3 [( ) ( = 7 4 y ddy = O momento de inércia em relação ao eio é: +y I = y δ(,y)da = 3 y da = 3 3 y ( +y y ) dy y ( = 3 y +y 3 y 4) dy [ ] = 3 y y4 4 y )] = 3 [( ) ( )] = 189 Consórcio CEERJ

5 Cálculo IV EP3 Aula 6 Simetria em Integral upla Objetivo Eplorar simetrias em integrais duplas Simetria em Integral upla 1) Seja R, simétricaem relação ao eio y e f(,y) ímpar na variável, isto é, f(,y) = f(,y) Então, f(,y)ddy = Com efeito, como tem simetria em relação ao eio y, observamos que está limitada à direita pela curva = (y) e à esquerda pela curva = (y) Supondo que a projeção de sobre o eio y seja o intervalo [c,d], temos o seguinte esboço para : y d = (y) c = (y) Então, f(,y)ddy = d c [ ] (y) f(,y)d (y) }{{} = ( ) dy = d c dy = ( ) Aqui, usamos um fato do Cálculo II: a a g()d = se g() é uma função ímpar ) Analogamente, se tem simetria em relação ao eio e f(,y) é ímpar na variável y, então f(,y)ddy = Veja o esboço para na figura a seguir Consórcio CEERJ

6 Cálculo IV EP3 6 y y = y() a b y = y() Eemplo 1 Calcule I = onde é o disco +y a,(a > ) Solução: Por propriedade, temos que I = y 6 ddy+ }{{} I 1 ( y 6 +( 4 +y 4 )seny +1 ) ddy, ( 4 +y 4 )senyddy } {{ } I + ddy }{{} I 3 Como f(,y) = y 6 é ímpar na variável e tem simetria em relação ao eio y, então I 1 = Como g(,y) = ( 4 +y 4 )seny é ímpar na variável y e tem simetria em relação ao eio, então I = Como ddy = A(), então I 3 = πa Logo, I = ++πa = πa RECOENAÇÃO Nas integrais duplas, busque as simetrias e as funções ímpares Não calcule cegamente!!! Consórcio CEERJ

7 Cálculo IV EP3 7 OBS: 1 Se a densidade δ(,y) é uma função par na variável (isto é, δ(,y) = δ(,y)), então δ(,y) é ímpar na variável Se tem simetria em relação ao eio y, então δ(,y)ddy = e portanto, = Analogamente, se δ(,y) é uma função par na variável y e se tem simetria em relação ao eio, então y = Se é uma lâmina homogênea e tem simetria em relação ao eio y, então = Analogamente, se é homogênea e tem simetria em relação ao eio, então y = Eemplo Uma lâmina delgada ocupa a região +y 1, y, de modo que a densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto à origem etermine a) a massa de b) o centro de massa Solução: O esboço de é: y 1 1 Como a distância de (,y) à origem é +y então a densidade é dada por δ(,y) = k +y onde k é uma constante a) Como = δ(,y)ddy, então = k polares, temos: Além disso, rθ é dado por: = rcosθ y = rsenθ ddy = rdrdθ +y = r rθ : +y ddy Passando para coordenadas { r 1 θ π Consórcio CEERJ

8 Cálculo IV EP3 8 Então, = k r rdrdθ = k r drdθ = k rθ rθ 1 π r dθdr = kπ 1 r dr = kπ 3 um b) Como δ(,y) é uma função par e tem simetria em relação ao eio y, então = Sabemos que y = yδ(, y) ddy, onde yδ(,y)ddy = k y +y ddy Logo, y = = k rsenθ r rdrdθ rθ = k r 3 senθdrdθ rθ = k 1 π r 3 senθdθdr = k [ cosθ ] π = k [ r 4 4 = k k kπ 3 ] 1 = 3 π Portanto, o centro de massa está localizado em (, 3 π) Até a próima aula 1 r 3 dr Rioco K Barreto Coordenadora de Cálculo IV Eercício 1: Calcule a massa total, o centro da massa (,y) de uma lâmina triangular com vértices (,), (1,) e (,) se a função densidade é δ(,y) = 1+3+y Eercício : A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância do centro do círculo etermine o centro de massa da lâmina Eercício 3: etermine os momentos de inércia I, I y e I do disco homogêneo com densidade δ(,y) = δ, centro na origem e raio a Consórcio CEERJ

9 Cálculo IV EP3 9 Eercício 4: Uma lâmina delgada tem a forma da região que é interior à circunferência ( ) + y = 4 e etrior à circunferência + y = 4 Calcule a massa da lâmina se a densidade é dada por δ(,y,z) = ( +y ) / Eercício : Uma placa fina é limitada pela circunferência +y = a e tem densidade ( δ(,y) ) = a = a + +y ostre que o seu momento de inércia polar é dado por I = a 1 ln, onde ln é a sua massa Eercício 6: Uma lâmina tem a forma semicircular + y a, com y A densidade é diretamente proporcional à distância do eio Ache o momento de inércia em relação ao eio Eercício 7: Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo isósceles com lados iguais de comprimento a Ache a massa, se a densidade em um ponto P é diretamente proporcional ao quadrado da distância de P ao vértice oposto à hipotenusa Consórcio CEERJ