Universidade de São Paulo Faculdade de Arquitetura e Urbanismo

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1 Universidade de São Paulo Faculdade de Arquitetura e Urbanismo PEF-2602 Estruturas na Arquitetura II: Sistemas Reticulados Segundo Semestre de 2009 Exercício 3 Alunas: Carolina Tapajóz, Nº. USP: , Eza Silveira Martins Renattini, Nº. USP: , Luiza Ho, Nº. USP: , Sofia Robbe Bender, Nº. USP: , Tissa Yokota Neves, Nº. USP:

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3 Apresentação O exercício se baseia na estrutura encontrada na cobertura da estação de trens Lehrter, em Berlim. Ela é composta por uma sucessão de arcos reforçados por cabos, os quais seguem a geometria do diagrama de momentos fletores a que estariam sujeitos os arcos, submetidos a um carregamento uniformemente distribuído, caso os cabos não fossem presentes. Foto da estação de trens Lehrter (Berlin, Alemanha) O modelo utilizado aqui apresenta as seguintes características: - seção transversal do arco: tipo I, b=450mm, h=900mm, t=50mm; - diâmetro dos cabos superiores: d1=58mm; - diâmetro dos cabos inferiores: d2=44mm; - diâmetro dos cabos diagonais: d3=30mm; - seção transversal dos montantes: d4=115mm; t=16mm; - material dos arcos: E=210GPa; - material dos cabos: E=180GPa, α = C 1. 3

4 Desenho e cálculo da estrutura Passo 1 Desenhar apenas o arco e submetê-lo à um carregamento uniformemente distribuído (na projeção da cobertura) q=2,0kn/m 2, atuando para baixo, sobre toda a cobertura, considerando um espaçamento entre arcos D=10+(nm/10), em metros (sendo nm o número do grupo, no nosso caso, 17) arco: a) Cálculo do carregamento uniformemente distribuído atuando em um D = 10 + (17/10) D = 11,7m A carga q é dada por área, de modo que é preciso achar quanto de carga atua em cada arco para saber que força aplicar no modelo desenhado no FTool. Como a área da projeção da cobertura é dada por A=D x (nº de espaços entre arcos na cobertura) x 66m (vão dos arcos), pode-se assumir que um arco deva suportar D x q x 66. Mas como queremos saber como esse carregamento se distribui ao longo do arco, dividi-se por 66 para obter q : q' = carga agindo por metro do arco. Portanto: Se q=2,0kn/m 2 distribuído que atua em um arco é: e D=11,7m, o carregamento uniformemente q = q x D q = 2,0 x 11,7 = 23,4kN/m As reações de apoio, esforços solicitantes e a deformada dessa estrutura são as seguintes: 4

5 Forças Normais N (kn): Forças Verticais V (kn): Momentos Fletores M (knm): 5

6 Deformada: Passo 2 Acréscimo dos cabos e montantes à estrutura, submetendo-a ao mesmo carregamento uniforme Nota-se que a geometria formada pelos montantes e cabos se semelha a do diagrama de momentos adquirido no passo anterior: 6

7 Forças Normais N (kn): Nota-se que o valor das reações horizontais nos apoios (empuxo) diminuíram com relação à situação anterior (sem montantes e cabos). Há também agora forças normais positivas (trações), enquanto que anteriormente havia apenas forças normais negativas (compressões). Forças Verticais V (kn): Também ocorreu uma diminuição dos valores das forças verticais atuando ao longo da estrutura com o acréscimo dos montantes e cabos. 7

8 Momentos Fletores M (knm): Igualmente houve diminuição dos momentos fletores atuantes na estrutura. Deformada: Devido a diminuição de todos os valores absolutos dos três tipos de esforços pode-se concluir que a estrutura irá se deformar menos agora que os montantes e cabos foram colocados. Isso pode ser notado na figura acima. Intuitivamente isso podia ser previsto, já que como apenas os empuxos ficaram menores, enquanto que as reações de apoio verticais se mantiveram, a estrutura estaria sob efeito de esforços menores que anteriormente. Entretanto, esse modelo é falho, pois desconsidera a possível presença de protensão nos cabos. 8

9 Passo 3 Simulação da protensão dos cabos, desconsiderando a presença do carregamento uniformemente distribuído: Para simular a protensão dos cabos, foi recomendado aplicar primeiramente uma variação térmica ΔT= 1ºC em todos os elementos dos cabos. A diminuição da temperatura causaria uma retração do cabo devido ao fenômeno de dilatação, resultando numa situação semelhante ao que ocorreria caso os cabos estivessem previamente tensionados, ou seja, protendidos. Em ambas as situações, os cabos estariam aplicando uma força nos montantes e nas vigas onde estão conectados. No entanto, nesse caso nota-se que não há forças normais nos cabos diagonais. Isso porque a forma em X deles justamente ocorre pra evitar a movimentação dos montantes. Se um cabo diagonal estiver tensionado, o outro estará frouxo (seria o caso de uma compressão, mas isso não ocorre em cabos) e vice-versa, de modo que, para manter o equilíbrio, todos tendem a ter forças normais nulas aplicadas neles. As reações de apoio, esforços solicitantes e a deformada nessa situação são as seguintes: Forças Normais N (kn): 9

10 Forças Verticais V (kn): Momentos Fletores M (knm): Deformada: Duas conclusões são obtidas a partir desse modelo: 1. A protensão dos cabos é uma força que não pode ser ignorada. 2. Os diagramas e reações de apoio desse modelo são opostos aos obtidos nos modelos dos passos 1 e 2. 10

11 Por intuição pode-se pensar que, ao adicionar a protensão dos cabos no modelo do passo 2 se poderia tentar anular ou diminuir os momentos fletores que atuam na estrutura. Mas a variação térmica ΔT= 1ºC gera momentos muito pequenos se comparados aos encontrados no passo 2. Então, fez-se uma regra de 3, na tentativa de achar um valor para ΔT = x, capaz de anular o momento fletor máximo obtido no modelo anterior: M fletor Max. (modelo 2): 1800,76 kn x M fletor no mesmo ponto (modelo 3): 7,09 kn ºC x 254ºC Passo 4 Junção dos modelos 2 e 3: As reações de apoio, esforços solicitantes e a deformada nessa situação são as seguintes: Forças Normais N (kn): 11

12 Forças Verticais V (kn): Momentos Fletores M (knm): Deformada: 12

13 A deformada acima está exagerada para se notar o que ocorre na estrutura (no FTool o fator de deformação é da ordem de 1000 unidades enquanto que nos modelos 1 e 2 o fator é bem menor, da ordem de 50 unidades). Numa mesma escala de deformação, a configuração da deformada seria esta: Passo 5 Ação de forças laterais na estrutura Numa estrutura há também esforços laterais atuantes, como vento. Acrescentou-se um carregamento lateral de p=2,5kn/m 2, atuando no trecho AC, da esquerda para a direita, como mostra a figura a seguir: p=2,5kn/m 2 As reações de apoio, esforços solicitantes e a deformada nessa situação são as seguintes: 13

14 Forças Normais N (kn): Forças Verticais V (kn): Momentos Fletores M (knm): 14

15 Deformada: Assim como no Passo 4 aqui a deformada foi apresentada de forma exagerada por motivos de visualização. A forma mais próxima com fator de deformação mais próximo do que ocorre nos Passos 1 e 2 é a seguinte: Conclusões A partir dos resultados obtidos no Passo 4 pode-se perceber que, adicionando a ação da protensão dos cabos na situação do Passo 2 diminui-se ainda mais os empuxos da estrutura e que se diminuiu consideravelmente os valores absolutos dos esforços solicitantes da estrutura. No Passo 5 pode-se ver que um carregamento lateral afeta o comportamento da estrutura e que, portanto, esse tipo de carregamento não deve ser desprezado, sendo o exemplo mais comum dele o vento. Destaca-se a alteração das reações de apoio horizontais, que antes eram de mesmo valor, mas direção opostas. Acrescentando o carregamento lateral, a reação no 15

16 apoio da esquerda (marcado como ponto A no Passo 5) ficou menor que a do apoio da direita. A quebra de simetria também ocorre da mesma forma em todos os diagramas de esforços, com os valores dos esforços atuando do lado direito maiores em valor absoluto que as dos que atuam do lado esquerdo. A partir do que foi feito neste exercício pode-se concluir que o comportamento da estrutura presente na cobertura da estação de trens Lehrter, em Berlim é tal que ele sofre pequenas deformações e oferece boa resistência ao efeito de carregamentos laterais como vento até certo ponto, graças à presença de seus montantes e cabos, como pode ser notado nos passos 4 e 5. A vantagem dessa estrutura está no fato dela conseguir um grande vão ao mesmo tempo em que mantém uma altura máxima (flecha) relativamente pequena. Em arcos, quanto mais abatido ele é (ou seja, flecha mais baixa), maior é o empuxo, de modo que, para se diminuir o empuxo do modelo do passo 1 sem colocar montantes e cabos teria-se que aumentar a altura máximo do arco, o que muitas vezes é impossível devido a restrições construtivas e arquitetônicas. Além disso, o aumento da flecha afetaria também a área de atuação dos ventos, o que mudaria seu efeito na estrutura. Outra maneira seria diminuir o vão do arco, mas isso não é desejável quando se necessita de amplos espaços de circulação, como é o caso de uma estação de trem. Conclui-se, portanto, que a solução de uso de montantes e cabos estudada é conveniente e extremamente interessante de ser considerada em projetos em que há a necessidade de se conseguir um grande vão livre. 16