RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II MOMENTO ESTÁTICO

Transcrição

1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II MOMENTO ESTÁTICO Prof. Dr. Daniel Caetano

2 Objetivos Conhecer a influência da forma na Resistência dos Materiais Compreender o conceito de Momento Estático Calcular Momento Estático

3 ANTES DE MAIS NADA...

4 Para quem faltou... Professor Daniel Caetano Informações de Contato Datas/critérios, apresent., eercícios, bibliog...

5 Material de Estudo Material Apresentação Acesso ao Material (Resistência dos Materiais II Aula 1) Material Didático Resistência dos Materiais (Hibbeler) Págs Aula Online Aula 1 Biblioteca Virtual Resistência dos Materiais

6 RETOMANDO: RESISTÊNCIA E RIGIDEZ

7 Resistência e Rigidez Tensão Deformação Material ν seg Aço 1,5 a 2 Ferro Fundido 4 a 8 Madeira 2,5 a 7,5 Alvenaria 5 a 20 σ ruptura Aço: ~ f sk σ escoamento σ adm Aço: f sd σ adm = σ ruptura ν seg Os gráficos e limites para tração são diferentes dos da compressão!

8 Resistência e Rigidez Tensão Deformação

9 Resistência e Rigidez Resistência Rigidez σ ε

10 Forma Resistência e Rigidez Tensão Deformação

11 Forma Resistência e Rigidez Formas diferentes: resistências diferentes

12 Forma Resistência e Rigidez Formas diferentes: resistências diferentes

13 VERIFICANDO O EQUILÍBRIO

14 Verificando o Equilíbrio Considere o seguinte elemento: Onde colocar um apoio para que o halteres fique em equilíbrio?

15 Verificando o Equilíbrio Visualizando em 2D: Onde colocar um apoio para que o halteres fique em equilíbrio? L 1 L 2 M P 1 M 2 1 P 2 Para equilíbrio: M 1 = M 2 Logo... P 1. L 1 = P 2. L 2 Mas M 1 = P 1. L 1 M 2 = P 2. L 2

16 Verificando o Equilíbrio E nesse caso? L 1 L 2 M P 1 M 2 1 P 2 Para equilíbrio: M 1 = M 2 Logo... P 1. L 1 = P 2. L 2 Mas M 1 = P 1. L 1 M 2 = P 2. L 2

17 Verificando o Equilíbrio E nesse caso? A 1 L 1 L A 2 2 M P 1 M 2 1 P 2 Para equilíbrio: M 1 = M 2 Logo... P 1. L 1 = P 2. L 2 Ou... A 1.δ. L 1 = A 2.δ. L 2 Finalmente... A 1. L 1 = A 2. L 2 Mas P 1 = A 1. δ P 2 = A 2. δ Densidade Superficial (em N/m 2 )

18 Verificando o Equilíbrio E nesse caso? A 1 L 1 L A 2 2 Para equilíbrio: A 1. L 1 = A 2. L 2 Vamos chamar A. L de S (momento estático) Assim, para equilíbrio: S 1 = S 2 Ou... S 1 - S 2 = 0 O segredo para achar o ponto de equilíbrio está no tal momento estático!

19 Verificando o Equilíbrio E nesse caso? + - A 1 L 1 L A 2 2 Para equilíbrio: A 1. L 1 = A 2. L 2 Vamos chamar A. L de S (momento estático) Assim, para equilíbrio: S 1 = S 2 Ou... S 1 - S 2 = 0 S total = S 1 S 2

20 MEDINDO A FORMA

21 Caracterizando uma Forma Plana Perímetro Retângulo: 2 b + 2 h h Triângulo: a + b + c Círculo: 2 r Área b a h c Retângulo: b h Triângulo: b h / 2 Círculo: r 2 r b Só isso?

22 Momento Estático Momento de uma Força M d F M = F d Momento Estático (ou de 1ª Ordem) S = A d d: a partir do centro de gravidade Informação sobre a distribuição de uma área com relação a um eio de interesse! d A Maior simetria / antissimetria menor S

23 Momento Estático Simetria - distribuição idêntica da área, relativamente a um eio

24 Momento Estático Simetria - distribuição idêntica da área, relativamente Momento a um eio Estático em Relação ao Eio de Simetria é ZERO! A distância tem SINAL!

25 Sinal da Distância Há convenção de sinais... (veremos depois!) + _

26 Sinal da Distância Há convenção de sinais... (veremos depois!) + _ Vamos aprender a calcular o momento estático... Depois voltamos à questão do centro de gravidade da figura

27 CÁLCULO DO MOMENTO ESTÁTICO

28 Momento Estático Eemplo 8 2 Simétrico a Y? S = 0 Simétrico a X? Não!

29 Momento Estático Eemplo 8 2 d S =? S = A d = (2 8) 1 = 16

30 Momento Estático Eemplo Genérico b h d S =? S = A. d = S = b. h. h 2 = S = b. h2 2

31 Momento Estático E se a área for considerada em duas partes? b/2 b/2 h A1 d A2 S =? S = A1 d + A2 d = S = b 2. h. h 2 + b 2. h. h 2 S = b 4. h2 + b 4. h2 =

32 Momento Estático E se a área for considerada em duas partes? b/2 b/2 h A1 d A2 S =? S = b 4. h2 + b 4. h2 S = 2. b 4. h2 S = b. h2 2

33 Momento Estático E quando há simetria? 8 2 Simétrico a X? S = 0 Simétrico a Y? S = 0

34 EXERCÍCIO

35 Eercício Calcule o momento estático da figura abaio 6m 2m 1m

36 Eercício Calcule o momento estático da figura abaio 6m 2m 1m 2m

37 MOMENTO ESTÁTICO CALCULADO POR PARTES

38 Momento Estático Calcule o Momento Estático S da área Azul

39 Momento Estático Calcule o Momento Estático S da área Azul A3 Alternativa? A1 4 A2 S Azul = SA 1 + S A2 + SA 3

40 Momento Estático Calcule o Momento Estático S da área Azul S Azul = SRetAzul S RetBranco S Azul = b1 h12 2 S Azul = b2 h = = = 94

41 EXERCÍCIOS

42 Eercício Calcule o momento estático da figura abaio

43 Eercício Calcule o momento estático da figura abaio A1 5 2 A2 A3 S = S A1 + S A2 + S A3

44 MOMENTO ESTÁTICO EM REGIÕES PLANAS GENÉRICAS

45 Momento Estático E se a figura não tiver simetria?

46 Momento Estático E se a figura não tiver simetria? S = d. A

47 Momento Estático E se a figura não tiver simetria? S =. da

48 Momento Estático E se a figura não tiver simetria? S = b. h2 6

49 Momento Estático Cálculo genérico S = A da Unidade S = [L 3 ] S = A da

50 Momento Estático Eemplo da b d h d S = A da h b = d. d 0 0 =

53 Momento Estático Eemplo da b d h d S = 0 h b d. d 0 = 0 h b d. d 0 =

54 Momento Estático Eemplo da b d h d S = d. d 0 h 0 b h = b d 0 =

55 Momento Estático Eemplo da b d h d S = h b d 0 h = b d 0 =

56 Momento Estático Eemplo da b d h d S = b h d 0 = b 2 2 h 0 = b h 2 2

57 MOMENTO ESTÁTICO CALCULADO POR PARTES

58 Momento Estático Calcule o Momento Estático S : A2 A1 A3 S = SA 1 + S A2 + SA 3 S = b 1 h2 2 + b 2 h2 6 S = ( ) b 3 h2 6 = 168 = (3 b 1 + b 2 + b 3 ) h 2 6

59 PAUSA PARA O CAFÉ!

60 TRANSLAÇÃO DE EIXO NO MOMENTO ESTÁTICO

61 Mudando o Eio de Referência Como calcular S? Integral? Será que conhecer S ajuda?

62 Translação de Eios Momento Estático (S conhecido) b h S = A da

63 Translação de Eios Momento Estático (S conhecido) b h d S = A da S = A ( + d) da

64 Translação de Eios Momento Estático (S conhecido) b h d S = A ( + d) da = da A + d da A

65 Translação de Eios Momento Estático (S conhecido) b h d S = A da + d da A = da A + d. da A

66 Translação de Eios Momento Estático (S conhecido) b h d S = A da + d. da A

67 Translação de Eios Momento Estático (S conhecido) b h d S = S + d. A S

68 Translação de Eio - Eemplo Como calcular esse momento estático? S Azul = S RA S RB Só que S RB b h2 2

69 Translação de Eio - Eemplo Como calcular esse momento estático? Se temos o momento estático de um eio, podemos calcular em outro S = S 1 + d.a 6 d Sinal? d S se distanciando do centro d S se aproimando do centro 1

70 Translação de Eio - Eemplo Como calcular esse momento estático? Se temos o momento estático de um eio, podemos calcular em outro S RB = S 1RB + d. A S = A = 1 16 = 16 7 Sinal S RB =? Sinal S =?

71 Translação de Eio - Eemplo Como calcular esse momento estático? Logo... 6 S RB = S 1RB + d. A = b h = = 48 S Azul = S RA S RB = = 78

72 SINAL DO MOMENTO ESTÁTICO

73 Sinal do Momento Estático Depende do quadrante da área S = A da S > 0 S < 0 S > 0 S > 0 S = A da S < 0 S < 0 S < 0 S > 0

74 EXERCÍCIOS

75 Eercício Calcule o momento estático S da figura:

76 CONSEQUÊNCIAS DO SINAL DO MOMENTO ESTÁTICO

77 Consequências do Sinal no M.E. Como vimos... O sinal depende do quadrante: S > 0 S < 0 S > 0 S > 0 S < 0 S < 0 S < 0 S > 0

78 Consequências do Sinal no M.E. Como vimos... O sinal depende do quadrante: S > 0 S < 0 S > 0 S > 0 S < 0 S < 0 S < 0 S > 0 Por isso a simetria leva a momento estático igual a zero!

79 Consequências do Sinal no M.E. Como vimos... O sinal depende do quadrante: S > 0 S < 0 S > 0 S > 0 S < 0 S < 0 S = +S S = -S S < 0 S > 0 Por isso a simetria leva a momento estático igual a zero!

80 Consequências do Sinal no M.E. O ponto em que S e S da área são zero... S > 0 S < 0 S > 0 S > 0 S < 0 S < 0 S < 0 S > 0 É o centro da área: centroide

81 Consequências do Sinal no M.E. O ponto em que S e S da área são zero... O Momento Estático da região será zero com relação a qualquer eio que passe por esse ponto

82 Centroide Baricentro Distribuição Idêntica da Área / Massa Baricentro = Centro de Massa Densidade uniforme: centroide = baricentro

83 ENCONTRANDO O CENTROIDE/BARICENTRO

84 Baricentro de Figuras Planas Dados S e S ; baricentro S = 0 e S = 0 b h d S = S d. A = 0

85 Baricentro de Figuras Planas Dados S e S ; baricentro S = 0 e S = 0 b h g S = S g. A = 0

86 Baricentro de Figuras Planas Dados S e S ; baricentro S = 0 e S = 0 b h g S g. A = 0 g = S A

87 Baricentro de Figuras Planas Baricentro do Retângulo B h g B g g = S A = g = S A = b S 1 A = S 1 A = b h b h = h/2 h b b h = b/2

88 Baricentro de Figuras Planas Baricentro do Triângulo B h g B g b g = S A = b h S b h = h/3 1 A = g = S A = h b S 1 A = b h = b/3

89 Baricentro de Figuras Planas Calcule o do baricentro da área abaio A3 A1 A2 S = 168 B g g = S A = S A1 + A2 + A3 = = g =2,67

90 Baricentro de Figuras Planas Calcule o do baricentro da área abaio 7 g = S A = 6 4 S A ATotal A B = 4 S = 94 B g = g =3,62

91 RESULTADOS IMPORTANTES

92 Momentos Estáticos b h b S = b h2 2 S = h b2 2 h S = b h2 6 S = h b2 6 r S = π r 3 S = 0

93 Distância ao Centro de Gravidade b h b g = h 2 g = b 2 h g = h 3 g = b 3 r g = r g = 0

94 Distância ao Centro de Gravidade r g = 4 r 3 π g = 0 r g = 4 r 3 π g = 4 r 3 π

95 EXERCÍCIO

96 Eercício Entrega Individual Calcule a posição do centroide da área azul

97 PARA TREINAR

98 Para Treinar em Casa Mínimos: Eercício A.1 Eercícios A.2 a A.6 - Só localização do centroide Etras: Eercícios A.7 a A.12 - Só localização do centroide

99 CONCLUSÕES

100 Resumo Importância da Forma na Resistência Propriedades das Áreas Planas Momento Estático Localização do Centroide Eercitar: Material Didático Momento de Inércia Momento de Segunda Ordem O que é isso? Para quê serve?

101 PERGUNTAS?