Prof. MSc. David Roza José -

Transcrição

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2 Tensão Considere que uma área seccionada está subdividida em pequenas áreas ΔA. Para desenvolver o conceito de tensão devemos adotar duas hipóteses: (1) O material é contnuo, isto é, possui contnuidade ou distribuição uniforme de matéria sem vazios, em vez de ser composto por um número fnito de moléculas ou átomos distntos. (2) O material é coeso, o que signifca que todas as suas porções estão frmemente interligadas, sem trincas ou separações. Supomos que nesta área ΔA existe uma força resultante dos esforços internos do material, F. Esta resultante vetorial pode ser decomposta nas parcelas normal e tangenciais. À medida em que ΔA reduz, F também reduz. Porém num dado momento o quociente entre a força e a área ΔA atnge um limite fnito, assintótco. Este quociente é denominado tensão, e descreve a intensidade da força interna sobre um plano específco que passa por um ponto. 2/26

3 Tensão 3/26

4 Tensão Normal A intensidade da força que age perpendicularmente ao elemento diferencial de área é defnida como tensão normal. Em relação à fgura anterior: Se a força normal tracionar o elemento, ela é denominada tensão de tração. Caso contrário se a força comprimir o elemento ela é denominada de tensão de compressão. 4/26

5 Tensão de Cisalhamento A intensidade da força que age tangente ao elemento diferencial de área é defnida como tensão de cisalhamento. Em relação à fgura anterior: Note os índices que são utlizados para defnir a tensão. O primeiro índice refere-se a direção perpendicular à face; e o segundo índice refere-se à direção daquela tensão. 5/26

6 Estado Geral de Tensão Caso nós contnuemos seccionando o corpo, chegamos a um elemento cúbico diferencial de volume que representa o estado de tensão que age em torno do ponto escolhido no corpo. Assim, este estado de tensão é caracterizado por três componentes que agem em cada face do elemento. Estas componentes defnem o estado de tensão somente para o elemento com uma orientação específca. Se o corpo fosse seccionado em um cubo no mesmo ponto, mas com uma orientação distnta, então o estado de tensão seria defnido por um conjunto diferente de componentes de tensão. A tensão possui unidade de Pascal (Pa), mais o prefxo adequado de grandeza: quilo (k) 10^3; mega (M) 10^6 e giga (G) 10^9. Uma unidade possível de ser encontrada é N/mm², que é equivalente a MPa. 6/26

7 Estado Geral de Tensão 7/26

8 Estado Geral de Tensão 8/26

9 Estado Geral de Tensão Partndo-se do pressuposto que o elemento infnitesimal está em equilíbrio, do total de 18 componentes de tensão temos realmente apenas 6 componentes independentes. Isso dá origem ao tensor tensão, que tem a seguinte forma: Sendo as tensões simétricas em relação à diagonal principal. 9/26

10 Tensão Normal Média em Barra com Carga Axial Muitos elementos estruturais costumam ser compridos e delgados (fnos), sendo sujeitos a cargas axiais aplicadas às extremidades dos elementos. Treliças são um exemplo tpico desta situação. Assim, determinaremos a distribuição de tensão média que age na seção transversal de uma barra com carga axial, tal qual demonstrado na fgura. O plano defne a área da seção transversal da barra, e como qualquer outra seção defnida por um outro plano paralelo apresentaria a mesma área, esta barra é denominada de prismátca. Desprezaremos, nesta análise, o peso da própria barra. 10/26

11 Tensão Normal Média em Barra com Carga Axial Adotaremos duas premissas simplifcadoras em relação à descrição do material e à aplicação específca da carga. (1) A barra permanecerá reta antes e depois da aplicação da carga; e a seção transversal deve permanecer plana durante toda a deformação. Isso garante que a deformação será uniforme. Não serão consideradas as regiões onde a carga externa é aplicada, uma vez que podem existr distorções localizadas. O foco será somente na distribuição de tensão no interior da seção média. (2) Para que a barra sofra deformação uniforme, a carga P é aplicada ao longo do eixo do centroide da seção transversal; e o material necessita ser homogêneo e isotrópico. Um material homogêneo possui as mesmas propriedades fsicas e mecânicas em todo o seu volume; enquanto um material isotrópico possui as mesmas propriedades em todas as direções. 11/26

12 Tensão Normal Média em Barra com Carga Axial Muitos materiais de engenharia podem ser considerados homogêneos e isotrópicos na maioria das aplicações. Materiais anisotrópicos possuem propriedades diferentes em direções diferentes. Um material laminado, por exemplo, pode resistr a maior ou menor carga dependendo da direção de sua aplicação. Ao seccionarmos a barra em duas partes, o equilíbrio exige que a força normal resultante na seção seja P. Devido ao requisito de deformação uniforme do material, é necessário que a seção transversal esteja sujeita a uma distribuição de tensão normal constante. Assim, cada pequena área ΔA estará sujeita a uma força 12/26

13 Tensão Normal Média em Barra com Carga Axial De maneira que: σ Tensão normal média em qualquer ponto na área da seção transversal; P Força normal interna resultante aplicada no centroide da área da seção transversal; A Área da seção transversal da barra. No caso da barra estar sendo comprimida, seu comprimento deve ser sufcientemente pequeno para que não ocorra flamblagem. 13/26

14 Exemplo 1.1 A barra da fgura abaixo tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determine a tensão normal média máxima da barra quando ela é submetda à carga mostrada. 14/26

15 Exemplo 1.2 A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB e BC, como mostra a fgura abaixo. Se AB tver diâmetro de 10mm e BC tver diâmetro de 8mm, determine a tensão normal média em cada haste. 15/26

16 Exemplo 1.3 O elemento AC mostrado na fgura abaixo está submetdo a uma força vertcal de 3kN. Determine a posição x dessa força de modo que a tensão de compressão média no apoio liso C seja igual à tensão de tração média na barra AB. A área da seção transversal da barra é de 400 mm², e a área em C é 650 mm². 16/26

17 Tensão de Cisalhamento Média A tensão de cisalhamento foi defnida anteriormente como a componente da tensão que age no plano da área secionada. Consideremos a seguinte ideia: aplicaremos uma força F à barra mostrada abaixo. Os apoios da barra são rígidos (não se deformam). Caso F seja grande o sufciente, o material da barra irá deformar e falhar ao longo dos planos identfcados por AB e CD. 17/26

18 Tensão de Cisalhamento Média Através de um diagrama de corpo livre do segmento central não apoiado, encontra-se que a força de cisalhamento agindo em cada face é dada por V=F/2 (equilíbrio de forças). Assim, podemos defnir a tensão média de cisalhamento distribuída sobre cada área seccionada como: τ = tensão de cisalhamento média na seção, que consideraremos ser a mesma em cada ponto da seção. V = força de cisalhamento interna, resultante do equilíbrio de forças. A = área na seção. 18/26

19 Tensão de Cisalhamento Média A tensão de cisalhamento vista anteriormente também é chamada de cisalhamento direto, visto que o cisalhamento é causado pela ação direta da carga F aplicada. A tensão calculada é uma aproximação, pois a distribuição da tensão de cisalhamento não é uniforme. Apesar disto, a aplicação da equação vista anteriormente costuma ser aceitável para muitos problemas de engenharia envolvendo projeto e análise. Em aulas futuras será abordado o cisalhamento transversal, que fornecerá o equacionamento correto para se determinar a distribuição e magnitude da tensão de cisalhamento oriunda da força cortante. 19/26

20 Cisalhamento Simples As juntas ilustradas nas fguras abaixo são exemplo de acoplamentos de cisalhamento simples, normalmente denominados juntas sobrepostas. Nas duas fguras acima, consideraremos que os elementos são fnos e que a porca não está muito apertada a fm de se desprezar o atrito. 20/26

21 Cisalhamento Simples Efetuando-se os cortes, chegamos à seguinte situação: Assim o parafuso da primeira situação e a superfcie de fxação da segunda situação estão sujeitas somente a uma única força de cisalhamento simples V = F. 21/26

22 Cisalhamento Duplo Quando a junta é construída conforme as fguras abaixo, duas superfcies de cisalhamento devem ser consideradas. Esses tpos de acoplamento são normalmente denominados de juntas de dupla superposição. 22/26

23 Cisalhamento Duplo Efetuando-se os cortes, chegamos à seguinte situação: Assim o parafuso da primeira situação e a superfcie de fxação da segunda situação estão sujeitas a duas forças de cisalhamento, tal que V = F/2. 23/26

24 Exemplo 1.4 A barra mostrada tem uma seção transversal quadrada com 40 mm de lado. Se uma força axial de 800 N for aplicada ao longo do eixo que passa pelo centroide da seção transversal da barra, determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem no material ao longo do (a) plano de seção a-a e (b) plano de seção b-b. 24/26

25 Exemplo 1.5 A escora de madeira mostrada está suspensa por uma haste de aço de 10 mm de diâmetro que está presa na parede. Considerando que a escora suporta uma carga vertcal de 5kN, determine a tensão de cisalhamento médio na haste da parede e ao longo dos dois planos sombreados na escora, um dos quais é indicado como abcd. 25/26

26 Exemplo 1.6 O elemento inclinado da fgura está submetdo a uma força de compressão de 3000N. Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas defnidas por AB e BC, e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano horizontal defnido por EDB. 26/26