Resistência dos Materiais

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1 1ª Parte Capítulo 1: Introdução Conceito de Tensão Professor Fernando Porto Resistência dos Materiais

2 1.1. Introdução O principal objetivo do estudo da mecânica dos materiais é proporcionar ao engenheiro os meios que o habilitam para a análise e projeto de várias estruturas de máquinas, sujeitas a carregamentos. A análise e o projeto de uma dada estrutura implica a determinação das tensões e deformações.

3 1.2. Forças e Tensões C d = 20 mm 600 mm A 50 mm B 500 mm 30 kn Esta estrutura pode suportar a carga de 30kN com segurança?

4 Desenhando o diagrama de corpo livre do pino B, compondo as forças atuantes no polígono de forças, podemos escrever, da semelhança de triângulos: Entretanto, os resultados obtidos não permitem concluir que a carga pode ser suportada com segurança!

5 A capacidade da barra suportar a carga não depende somente do valor do esforço interno da barra, mas também da área transversal da barra e do material com que foi construída. Na verdade, a força interna na barra BC representa a resultante de forças elementares que se encontram distribuídas em toda a seção transversal da barra!

6 A força por unidade de área ou a intensidade das forças distribuídas numa seção transversal é chamada de tensão, e é indicada pela letra sigma: Força: N (newton) Área: m2 (metro quadrado) Tensão: N/m2 ou Pa (pascal) Sinal positivo: Barra tracionada. Sinal negativo: Barra comprimida

7 1 = 1 No uso prático, porém, o pascal é uma medida muito pequena. Usa-se então múltiplos dessa unidade: 1

8 Suponha que a tensão admissível do material (s adm ) da barra seja na ordem de 165 MPa: Conclusão: a barra BC pode ser usada para suportar a carga de 30kN. Para completar a análise, seria necessário estudar as tensões na barra AB, nos pinos e na estrutura de suporte.

9 A estrutura em treliça desta ponte é constituída por vigas que podem estar em tração ou em compressão.

10 1.3. Forças Axiais Tensões Normais As forças que atuam na barra BC tem a direção do eixo da barra. Dizemos que a barra está sob a ação de forças axiais. C A B

11 Quando as forças internas são perpendiculares (Normais) ao plano da seção transversal, as tensões correspondentes são as tensões normais. Letra grega sigma

12 Para definir a tensão em um dado ponto Q da seção transversal, devemos considerar uma pequena área A. Dividindo-se a intensidade F por A tem-se o valor médio da tensão em A. Fazendo A tender a zero, temse a tensão no ponto Q.

13 É importante ressaltar que isto é uma aproximação. Nesta relação, s representa o valor médio das tensões na seção transversal e não o valor específico da tensão em um determinado ponto. A variação é pequena nas seções distantes do ponto de aplicação. Entretanto, a variação pode ser apreciável em seções próximas ao ponto de aplicação da força.

14 Cargas aplicadas no centroide da seção transversal de uma barra são chamadas de cargas centradas. As tensões normais originadas de carregamentos centrados serão aqui consideradas como uniformes. Porém, não se deve esquecer que carregamentos excêntricos levam à tensões não uniformes. Carregamento centrado Carregamento excêntrico

15 1.4. Tensões de Cisalhamento As forças internas e correspondentes tensões, que foram discutidas até aqui eram normais à seção transversal. Entretanto, quando duas forças P e P são aplicadas a uma barra AB na direção transversal a barra, ocorre um tipo de tensão denominada de tensão de cisalhamento.

16 Se considerada uma seção transversal C, podese desenhar o diagrama da parte AC. Assim, conclui-se que existem forças internas na seção transversal, e que sua resultante deve ser igual a P, onde P é chamada de força cortante na seção.

17 Ao dividirmos a força constante P pela área da seção transversal A, obtemos a tensão de cisalhamento média da seção. Mas atenção: a tensão de cisalhamento na seção transversal não pode ser assumida como uniforme. Trata-se de uma simplificação adequada para este momento do desenvolvimento da disciplina. é = Letra grega tau

18 A tensão de cisalhamento ocorre comumente em parafusos, rebites e pinos que ligam as diversas partes das máquinas e estruturas. Cisalhamento simples é = =

19 No caso abaixo, os parafusos estão sujeitos a cisalhamento duplo. é = 2 = 2

20 1.5. Tensões de Esmagamento Os parafusos, pinos e rebites provocam tensões de esmagamento nas barras que estão ligando, ao longo da superfície de contato.

21 t: espessura da chapa d: diâmetro do parafuso = =. A = t.d Área do retângulo que representa a projeção do parafuso sobre a seção da chapa

22 P = 45kN Exercícios 125 mm 100 mm 1. Uma força de 45 kn está aplicada a um bloco de madeira que é suportado por uma base de concreto, e esta repouso sobre um solo considerado indeformável. Determine: a) a máxima tensão de esmagamento sobre a base de concreto, b) o tamanho da base de concreto para que a tensão de esmagamento média sobre o solo seja de 140 kpa. Resposta: a) 3,6 MPa b) 567 mm

23 Exercícios P 2. O dispositivo mostrado é empregado para determinar a resistência ao cisalhamento de uma junta colada. Se a carga P, no instante da ruptura é 12,5 kn, qual é a tensão media de cisalhamento da junta, por ocasião da ruptura? 0,5 1,5 Obs.: 1" = 25,4 mm Resposta: 12,9 MPa

24 Exercícios 3. As peças de madeira A e B são ligadas por sobrejuntas de madeira que são coladas nas superfícies de contato com as peças. Deixa-se uma folga de 8 mm entre as extremidades A e B. Determine o valor do comprimento L para que a tensão de cisalhamento nas superfícies coladas não ultrapasse 0,8 kn/cm 2. 8 mm P = 240kN 100 mm P = 240kN Resposta: 308 mm

25 Exercícios P = 800 N 4. Sabendo-se que uma força de 800 N está aplicada no pedal indicado, determine: (a) o diâmetro do pino em C, tal que a tensão média no pino seja de 35 MPa; (b) a correspondente tensão de esmagamento em cada uma das chapas de apoio, em C. Resposta: a) 6,15 mm b) 33,8 MPa

26 Exercícios 5. Sabendo-se que a haste de ligação BD tem uma seção transversal uniforme, de área igual a 800 mm 2, determine a intensidade da carga P para que a tensão normal na haste BD seja 50 MPa. P Resposta: 62,7 kn

27 Exercícios 6. Sabendo-se que a haste de ligação BD tem uma seção transversal uniforme, de área igual a 800 mm 2, determine a intensidade da carga P para que a tensão normal na haste BD seja 50 MPa. Resposta: 33,1 kn

28 Exercícios 12 mm 7. Três pranchas de madeira são unidas por uma série de parafusos, formando uma coluna. O diâmetro de cada parafuso é de 12 mm, e o diâmetro interno de cada arruela é de 15 mm, que é ligeiramente maior que os parafusos das pranchas. Sabe-se que o diâmetro externo de cada arruela é de 30 mm, e que a tensão de esmagamento média entre as arruelas e as pranchas não deve exceder a 5 MPa. Determine a máxima tensão normal admissível em cada parafuso. Resposta: 23,44 MPa

29 250 mm Exercícios 400 mm 250 mm 40 mm 300 mm 8. Cada uma das quatro hastes verticais, ligadas a duas barras horizontais, tem uma seção transversal retangular uniforme de 10 x 40 mm e os pinos tem diâmetro de 14 mm. Determine o máximo valor da tensão normal média, causada pela carga de 24 kn, nas hastes conectadas pelos (a) pontos B e E; (b) pontos C e F. P Resposta: a) 28,8 MPa b) -48,8 MPa

30 2ª Parte Capítulo 1: Introdução Conceito de Tensão Professor Fernando Porto Resistência dos Materiais

31 1.6. Tensões Admissíveis Tensões Admissíveis e Tensões Últimas; Coeficiente de Segurança Nas seções anteriores aprendemos a calcular tensões em barras e pinos submetidos a condições simples de carregamento. Nos próximos capítulos, aprenderemos a calcular tensões em situações mais complexas. No entanto, dentro das aplicações de engenharia, a determinação das tensões não é o objetivo final, mas um passo necessário no desenvolvimento de dois dos mais importantes estudos.

32 1.6. Tensões Admissíveis Tensões Admissíveis e Tensões Últimas; Coeficiente de Segurança 1. A análise de estruturas e máquinas existentes, com o objetivo de prever seu comportamento sob condições de carga específicas; 2. O projeto de novas máquinas e estruturas, que deverão cumprir determinadas funções de maneira segura e econômica.

33 Tensão Última de Tração Para encaminhar qualquer um dos dois estudos, precisamos saber como o material a ser utilizado vai atuar sob condições conhecidas de carregamento. Para cada material, isso pode ser determinado realizando testes específicos em amostras preparadas do material.

34 Por exemplo, podemos preparar um corpo-de-prova de aço e levá-lo a uma máquina de testes em laboratório, onde ele será submetido a uma carga axial de tração. Esq.: Corpo de prova típico Dir.: Máquina para ensaios de tensão

35 Enquanto fazemos a força aplicada aumentar progressivamente de intensidade, podemos medir várias modificações sofridas pelo corpode-prova, como por exemplo, alterações no comprimento e no diâmetro. Em certo instante, a máxima força que pode ser aplicada ao corpo de prova é atingida e a amostra se quebra, ou começa a perder resistência, suportando forças menores. Esta força máxima é chamada de carregamento último desta amostra, e é designada pelo símbolo P U.

36 Logo a tensão última de tração do material, tem valor: = Corpos de prova de material dúctil após teste de tração.

37 Tensão Última de Cisalhamento Muitos procedimentos para testes são usados na determinação da tensão de cisalhamento última de um material. Um procedimento usual utiliza a torção de um tubo circular. T

38 Tensão Última de Cisalhamento Um método mais direto, porém não tão preciso quanto o ensaio de tração, consiste em levar uma chapa a uma ferramenta de corte e aplicar um carregamento crescente, até que a carga última P U para corte simples seja atingida. Ensaio para tensão última de cisalhamento para corte simples

39 Se a extremidade livre da chapa estiver apoiada sobre as duas bordas cortantes da ferramenta, obtêm-se a carga última P U para corte duplo. Ensaio para tensão última de cisalhamento para corte duplo

40 Nos dois casos, obtém-se a tensão última de cisalhamento, dividindo-se a carga última pela área cortada. No caso de corte simples, essa área é igual à da seção transversal do corpo de prova. No caso de corte duplo, vale o dobro da área da seção transversal do corpo de prova.

41 Coeficiente de Segurança Uma peça estrutural ou componente de máquina deve ser projetada de tal forma que a carga última seja consideravelmente maior que o carregamento que esta peça ou elemento irá suportar em condições normais de utilização. Este carregamento menor é chamado de carregamento admissível. A relação entre carregamento último e carregamento admissível é chamada de coeficiente de segurança.

42 Coeficiente de Segurança ç = = Ú í Portanto: ç = = ã ã Ú í

43 Coeficiente de Segurança A determinação do valor a ser adotado para o coeficiente de segurança é um dos mais importantes problemas da engenharia. Por um lado, a escolha de um coeficiente de segurança baixo pode levar a uma possibilidade muito alta de ruptura da estrutura; por outro lado, um coeficiente de segurança muito alto leva a projetos antieconômicos ou pouco funcionais.

44 Coeficiente de Segurança A escolha do coeficiente de segurança adequado para as diferentes aplicações práticas requer uma análise cuidadosa, que leve em consideração muitos fatores, tais como: a) Modificações que ocorrem nas propriedades do material; b) O número de vezes em que a carga é aplicada durante a vida da estrutura ou máquina;

45 Coeficiente de Segurança c) O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar futuramente; d) O modo de ruptura que pode ocorrer; e) Métodos aproximados de análise; f) Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido a falta de manutenção ou por causas naturais imprevisíveis; g) A importância de um certo membro para a integridade de toda a estrutura.

46 1. Exercício A placa indicada na figura é presa a base por meio de 3 parafusos de aço. A tensão de cisalhamento última do aço é de 360 MPa. Utilizando um coeficiente de segurança de 3,35, determine o diâmetro do parafuso a ser utilizado. Ex ª.ed Resposta: d = 20,8 mm

47 2. Exercício A barra de ligação horizontal BC é de 6 mm de espessura e é feita de aço com tensão última de tração de 450 MPa. Qual deve ser a largura w desta barra de ligação, se a estrutura for projetada para suportar uma carga P = 32kN, com coeficiente de segurança igual a 3? 300 mm 150 mm Ex ª.ed Resposta: w = 30,8 mm

48 3. Exercício Duas forças são aplicadas ao suporte da figura abaixo. Ex.R ª.ed

49 a) Sabendo-se que a barra de controle AB é feita de aço com tensão última de 600 MPa, determinar o diâmetro da barra que o coeficiente de segurança ao seja de 3,3. Resposta: d AB = 16,74 mm

50 b) O Pino do ponto C é feito de aço com tensão última a cisalhamento de 350 MPa. Determinar o diâmetro do pino C que leva a um coeficiente de segurança ao cisalhamento de valor 3,3. Resposta: d C = 22 mm

51 c) Determinar a espessura necessária das chapas de apoio em C, sabendo-se que a tensão admissível para esmagamento do aço utilizado é de 300 MPa. Resposta: t = 6 mm

52 4. Exercício Seja a estrutura de aço mostrada na figura abaixo. Vista Frontal Vista Lateral Ex ª.ed Vista Superior

53 Na estrutura mostrada, um pino de diâmetro 6 mm é utilizado em C, enquanto que em B e D utilizam-se pinos de 10 mm de diâmetro. A tensão de cisalhamento última para todas as ligações é 150 MPa, a tensão normal última é de 400 MPa na viga BD. Desejando-se um coeficiente de segurança igual a 3, determine a maior carga P que pode ser aplicada em A. Notar que a viga BD não é reforçada em torno dos furos dos pinos.. Resposta: 1,683 kn

54 3ª Parte Série de Exercícios Capítulo 1: Introdução Conceito de Tensão Professor Fernando Porto Resistência dos Materiais

55 1. Exercício Um balde de 150 kg é suspenso a partir da extremidade E da armação. Os diâmetros dos pinos em A e D são de 6 mm e 10 mm, respectivamente. Determinar a tensão de cisalhamento média desenvolvida nestes pinos. Cada pino é submetido a cisalhamento duplo. g = 9,81 m/s 2 Ex ª.ed Resposta: t A = 58,7 MPa; t D = 26,5 MPa

56 2. Exercício O parafuso de ancoragem foi arrancado do concreto. Considere que a superfície de ruptura pode ser aproximada por um tronco de cone e cilindro, indicando que a falha por cisalhamento ocorreu ao longo do cilindro BC, e a falha por tensão normal, ao longo do tronco AB. Se as tensões de cisalhamento e normais ao longo destas superfícies têm as magnitudes mostradas, determinar a força P que deve ter sido aplicada ao parafuso. Ex ª.ed Resposta: P = 68,3 kn

57 3. Exercício A treliça abaixo é usada para suportar o carregamento mostrado. Determinar a área da seção transversal necessária de membro BC para uma tensão normal admissível s adm = 24 kpsi. 1 lb = 4,448 N 1 pol = 0,0254 m 1 lb/pol 2 (psi) = 6895 Pa 1 pé (ft) = 0,3048 m Ex ª.ed Resposta: 0,0356 pol 2 ; 22, m 2

58 4. Exercício Um vaso de 50 kg é suspenso pelos cabos AB e BC que têm diâmetros de 1,5 mm e 2 mm, respectivamente. Se os cabos têm uma tensão normal última de 350 MPa, determine o coeficiente de segurança de cada cabo. g = 9,81 m/s 2 Ex ª.ed Resposta: CS AB = 1,72; CS BC = 2,50

59 5. Exercício A estrutura ao lado é sujeita à carga de 4 kn que atua em D, no elemento ABD. Determinar o diâmetro exigido dos pinos em D e C, se a tensão admissível de cisalhamento para o material é de 40 MPa. O pino C é submetido a cisalhamento duplo, enquanto que o pino em D é submetido a cisalhamento simples. Ex ª.ed Resposta: d C = 11,3 mm; d D = 13,9 mm

60 6. Exercício As duas barras de alumínio em AB e AC têm diâmetros de 10 mm e 8 mm, respectivamente. Determinar a maior força P vertical que pode ser suportada. Considere a tensão de tração admissível para o alumínio como s adm = 150 MPa. Ex ª.ed Resposta: P = 7,54 kn

61 7. Exercício As vigas de madeira estão ligadas por um parafuso em B. Assumindo que as ligações em A, B, C, e D apenas exercem forças verticais sobre o conjunto, determinar o diâmetro necessário do parafuso em B e o diâmetro externo necessário de suas arruelas. Adote tensão de tração admissível de 150 MPa para aço, e 25 MPa para madeira. Assume-se que o furo nas arruelas tem o mesmo diâmetro do parafuso. Ex ª.ed Resposta: d P = 6,11 mm; d Arr = 15,4 mm

62 8. Exercício 3 pol. 3 pol. 1 lb = 4,448 N 1 pol = 0,0254 m 1 lb/pol 2 (psi) = 6895 Pa 1 pé (ft) = 0,3048 m Determinar a espessura t mínima exigida para o membro AB e a distância da borda b do quadro se P = lb e o coeficiente de segurança é 2. Assumese que a madeira tenha uma tensão normal última s U = 6 kpsi, e tensão de cisalhamento última t U = 1,5 kpsi. Ex ª.ed Resposta: t = 1,0 pol. (25,4 mm) b = 3,46 pol. (87,88 mm)

63 9. Exercício O suporte de alumínio A é utilizado para suportar a carga aplicada centralmente de 8 Klb. Se ele tem uma espessura constante de 0,5 pol., Determinar a menor altura h, a fim de evitar uma ruptura por cisalhamento. A tensão de cisalhamento última é t U = 23 kpsi. Use um coeficiente de segurança para cisalhamento de C.S. = 2,5. Ex ª.ed Resposta: h = 1,74 pol. ou 44,2 mm 1 lb = 4,448 N 1 pol = 0,0254 m 1 lb/pol 2 (psi) = 6895 Pa 1 pé (ft) = 0,3048 m lb

64 10. Exercício Seja a cruzeta abaixo, submetida a um esforço de 5kN. Determine a tensão normal média em cada barra circular, e a tensão média de cisalhamento no pino A. Ex ª.ed Resposta: 3,98 MPa; 7,07 MPa; 5,09 MPa

65 Fonte Bibliográfica Resistência dos Materiais Beer, Ferdinand P.; Johhston Jr., E. Russell; Editora Pearson Nakron Books, 3a. Ed., 2010

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