Cascas. Placas e Cascas Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica. Placas e Cascas

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1 Caca 377 Metrado Integrado em Engenharia Aeronáutica

2 . Tenõe de Membrana em Caca Uma caca é um corpo tridimenional com: uma da ua dimenõe muito menor do que a outra dua; a curvatura da ua uperfície média na configuração inicial não é nula. Eemplo de caca: Reervatório de preão; Aa de avião; Tubo; Eterior de foguete; Pneu; Lâmpada. uperfície média

3 .. Introdução A caca conideram-e fina quando a razão da ua epeura pelo raio de curvatura é inferior a /; Caca fina de interee prático têm eta razão inferior a /; A análie de caca inclui, normalmente, dua teoria ditinta: Teoria de membra: Uualmente, aplica-e uma grande área da caca; Uma membrana não reite a momento ou força de corte; Uma membrana uporta eforço de tração ou compreão. Teoria de fleão: Inclui o efeito da fleão; Permite ter em conta decontinuidade na ditribuição de tenão numa área limitada da placa; Eta teoria, geralmente, engloba uma olução de membrana corrigida na área com efeito de decontinuidade pronunciado e, por io, permite ter em conta força na areta e força concentrada.

4 .. Comportamento geral de caca É importante notar que a força de membrana ão independente da fleão e ão totalmente definida pela condiçõe de equilíbrio etático. a derivação da teoria de membrana a propriedade do material não ão uada e, por io, ela é válida para toda a caca independentemente do material utilizado. o cao da teoria de fleão ito já não é verdade. É neceário coniderar algun preupoto cinemático báico aociado à deformação de caca fina uado na análie de pequena defleõe.

5 .. Comportamento geral de caca Preupoto:. A razão da epeura da caca pelo raio de curvatura da uperfície média é pequena comparada com a unidade.. A defleão da uperfície média é pequena comparada com a epeura da caca. 3. Secçõe plana inicialmente normai à uperfície média permanecem plana e ficam normai à uperfície deformada apó a fleão. Ito indica que a etenõe de corte verticai, g z e g yz, ão deprezávei. Conclui-e que a etenão normal e z reultante do carregamento tranveral pode er omitido. 4. A tenão normal à uperfície média, z, é pequena comparada com a outra componente e pode er deprezada.

6 .3. Reitência da caca ao carregamento O mecanimo de reitência a carga na caca não é igual ao da viga ou da placa fina. Por eemplo, uma caca de ovo ou uma lâmpada incandecente uportam elevada força normai apear da ua fragilidade (um ovo de galinha tem um raio r=mm e uma epeura t=,4mm t/r=/5). Ete comportamento contrata com o de materiai idêntico na forma de viga ou placa. Uma caca é curva e, aim, pode deenvolver força no plano que formam a ação primária de reitência para além da força que eitem numa viga ou numa placa.

7 .3. Reitência da caca ao carregamento Para decrever o fenómeno, conidere-e parte de uma caca eférica de raio r e epeura t ujeita a uma preão uniforme p. A condição da força verticai er igual a zero é ou r inf pr pr pr inf onde é a força no plano por unidade de circunferência. Eta relação é válida em qualquer poição na caca, uma vez que não varia com f. Ao contrário da placa, na caca o carregamento é uportado pela uperfície média.

8 .4. Geometria de caca de revolução Conidere um tipo de caca particular decrito por uma uperfície de revolução: por eemplo a efera, o cilindro ou o cone. A uperfície média de uma caca de revolução é gerada pela rotação do meridiano em torno de um eio no eu plano. Um ponto na placa é localizado pela coordenada q, f e r e a uperfície elementar ABCD é definida por doi meridiano e doi paralelo.

9 .4. Geometria de caca de revolução O plano aociado com o raio de curvatura principai r e r em qualquer ponto na uperfície média da caca ão o plano meridiano e o plano paralelo no ponto em quetão, repetivamente. O raio de curvatura r e r etão, aim, relacionado com o lado CD e AC. O raio principal r gera a uperfície da caca na direcção perpendicular à direção da tangente da curva meridiana. O doi raio r e r etão relacionado por L r r inf Daqui vê-e que o comprimento do elemento curvilíneo da caca ão r dq r infdq L r df AC CD eta decrição aume-e que o raio de curvatura principai r e r ão contante conhecida. o cao de o raio de cuvatura não erem contante ua-e a equação que define a forma da caca.

10 .5. Carregamento ai-imétrico (Caca de Revolução) o problema ai-imétrico com caca de revolução não eitem força de corte e eitem apena dua força de membrana por unidade de comprimento, q e f. A equaçõe que governam eta força ão derivada a partir de dua condiçõe de equilíbrio.

11 .5. Carregamento ai-imétrico (Caca de Revolução) Devido à condição de imetria tanto o carregamento como a força de membrana não variam com q. A força eterna por unidade de área ão repreentada pela componente p y e p z na direcçõe y e z, repetivamente. O equilíbrio na direcção z requer que e coniderem a componente em z do carregamento e a força que atuam em cada areta do elemento. O carregamento ditribuído na direção z na área do elemento é p z r r dqdf A força que atua na areta uperior do elemento é f r dq. Deprezando o termo de ordem uperior, a força na areta inferior é também f r dq. A componente deta força na direção z é, aim, f r dqin(df/).

12 .5. Carregamento ai-imétrico (Caca de Revolução) Eta força é quae igual a f r dqdf/, dando a força eguinte para a reultante da dua areta Deta trê força, com fr dqdf A força em cada um do lado do elemento é q r df. A reultante na direção do raio do plano paralelo para a dua força é q r dfdq que produz na direcção z qr dfd q inf tem-e f Fz r q r inf pzr r

13 .5. Carregamento ai-imétrico (Caca de Revolução) Eta epreão pode er implificada dividindo por r r e ubtituindo r por r inf. Deta forma, uma da relaçõe báica para caca com carregamento aiimétrico é O equilíbrio de força na direção da tangente meridional, na direção y, é d df r dfdq r dfdq f p r dfr dq co y f q O primeiro termo repreenta a oma da força normai na areta AC e BD. O egundo termo é a componente, na direção y, da força radial reultante q r dfdq que atua na face AB e CD. O terceiro termo é a componente do carregamento. r f r q p z

14 .5. Carregamento ai-imétrico (Caca de Revolução) Dividindo eta equação por dqdf, a equação do equilíbrio da força em y fica d df fr qr cof pyr r Pode notar-e que outra equação de equilíbrio pode er uada em vez deta iolando a parte da caca intercetada pelo ângulo f. Subtituindo a reultante de toda a força eterna aplicada nete corpo livre por F e lembrando que, da imetria, a força f ão contante em redor da areta, o equilibrio da força verticai é ou r inf F f f F r inf

15 .5. Carregamento ai-imétrico (Caca de Revolução) Eta equaçõe ão uficiente para determinar a força de hoop q e a força meridional f. A partir deta força a tenõe ão obtida diretamente. Valore negativo indicam tenõe de compreão. Devido à liberdade de movimento na direção z, para a caca de revolução com carregamento ai-imétrico coniderada, ão produzida etenõe que garantem a conitência com o campo de tenõe e a compatibilidade entre a etenõe e a tenõe. Eta é a diferença bae entre um problema de membrana da caca e um de tenão plana. ete último é precio aplicar a equação de compatibilidade. Também é claro que quanto a caca etá ujeita a carregamento de uperfície concentrado ou tem a etremidade contrangida a teoria da membrana não cumpre a condiçõe de deformação em todo o lado. A olução completa precia da teoria de fleão.

16 .6. Cao típico (Caca de Revolução) A tenõe de membrana em qualquer caca de revolução com um carregamento ai-imétrico podem er determinada pela equaçõe de equilíbrio obtida anteriormente. Em eguida ão apreentado algun elemento etruturai comun.

17 .6. Cao típico (Caca de Revolução) Caca Eférica a caca eférica pode coniderar-e o raio médio a=r =r. Aim, a equaçõe de equilíbrio ficam f q p F ain f O cao mai imple é uma caca eférica ujeita a uma preão interna contante p, como um balão. Temo p=-p z, f=9º e F=-a p. Como qualquer que eja a ecção coniderada obtém-e um corpo livre idêntico, f = q =. z a f

18 .6. Cao típico (Caca de Revolução) A tenão fica t onde t é a epeura da caca. a ta in p pa / t A epanão da efera, aplicando a Lei de Hook, é e E a pa d E t t Et y

19 .6. Cao típico (Caca de Revolução) Caca Cónica ete cao típico o ângulo f é contante (r = ) e, por io, não pode er uado como coordenada do meridiano. Aim, introduz-e a coordenada que é a ditância de um ponto na uperfície média, normalmente medida dede o vértice, ao longo da geratriz. Deta forma, o comprimento de um elemento meridional é d=r df e d d r df d Também e tem r cof r cotf Introduzindo eta relaçõe na equaçõe de equilíbrio obtém-e d q py d f

20 .6. Cao típico (Caca de Revolução) e r q p cotf onde r é o raio médio na bae. A carga p y e p z etão na direcçõe e radial, repetivamente. A combinação da dua equaçõe anteriore dá d d pzr cotf inf A força meridional, depoi da integração deta epreão, é z q p p p cotf py y p z z z cotfd

21 .6. Cao típico (Caca de Revolução) Uma forma alternativa da primeira equação pode er obtida uando a egunda forma da egunda equação de equilíbrio. A força de membrana ficam q F r inf pzr inf Pode ver-e que, dada uma ditribuição de carregamento eterior, a tenõe de hoop e meridional podem er calculada independentemente.

22 .6. Cao típico (Caca de Revolução) Caca Cilíndrica Circular Para obter a tenõe reultante num cilindro circular pode começar-e com a equaçõe da caca cónica colocando f=/, p z =p r e o raio médio a=r =contante. Aim, a equaçõe acima ficam q F a p Para um cilindro com a etremidade fechada ujeito a uma preão interna contante tem-e p=-p r e F=-a p. r a

23 .6. Cao típico (Caca de Revolução) A tenõe aial e de hoop ficam pa q t Da Lei de Hooke, a etenão do raio do cilindro ujeito a eta tenõe é pa t a pa dc q E Et Soluçõe para outro cao de interee podem er derivada uando um procedimento idêntico.

24 .7. Deformação ai-imétrica Vamo ver o delocamento numa caca de revolução com carregamento aiimétrico coniderando um elemento AB com comprimento r df no meridiano duma caca em etenão. Conideremo o delocamento na direção tangente ao meridiano v e o delocamento na direcção normal à uperfície média w. Depoi de ofrer etenão, AB deloca-e para A B.

25 .7. Deformação ai-imétrica eta análie vamo utilizar a aproimação de deformaçõe pequena e deprezar termo infiniteimai de ordem uperior. A deformação ofrida por um elemento de comprimento infiniteimal r df pode er coniderada como endo compota de um aumento de comprimento (dv/df)df devido ao delocamento tangenciai e uma redução do comprimento wdf produzido pelo delocamento radial. A etenão meridional e f, a deformação total por unidade de comprimento do elemento AB, é aim e f dv r df A deformação de um elemento de um círculo paralelo pode er obtida de forma imilar. Pode er motrado que o aumento no raio r do círculo, produzido pelo delocamento v e w é vcof-winf. w r

26 .7. Deformação ai-imétrica Como a circunferência do paralelo epande em proporção direta com o raio, então e q v cof winf r Relembrando que r =r inf, a etenão de hoop é e q v cotf r Eliminando w deta equaçõe ficamo com a equação diferencial em v w dv vcotf r e f re q df A etenõe etão relacionada com a tenõe de membrana pela lei de Hooke e f E e f q q E q f

27 .7. Deformação ai-imétrica Uando eta relaçõe na equação diferencial obtém-e Pode obervar-e que a deformaçõe imétrica da caca de revolução podem er obtida integrando eta epreão quando a tenõe de membrana ão conhecida. Colocamo dv vcotf df Eta equação tem a olução E f f r r r r f v f inf inf d c onde a contante de integração c e obtém da condiçõe de fronteira. dv vcotf df f Conhecendo v, w pode er facilmente calculado. f q

28 .7. Deformação ai-imétrica Eemplo 3. Conidere um telhado emi-eférico com apoio imple, raio a, epeura t e ujeito ao eu peo p por unidade de área. a) Determine a tenõe no telhado; b) Aumindo que o telhado é feito em betão de 7mm de epeura, com denidade de 3k/m 3, e um diâmetro de 56m determine a capacidade do telhado reitir à fratura. A tenão de rutura à compreão é u =MPa e o módulo de elaticidade é E=GPa. c) Verifique a eitência de intabilidade. d) Determine o delocamento no telhado.

29 .7. Deformação ai-imétrica tenão normal / (pa/t) ,º q f, grau f

30 .8. Carregamento aimétrico (Caca de Revolução) a caca de revolução com carregamento não imétrico, não etão preente apena a força normai f e q no lado de um elemento ma também a força de corte fq e qf. O equilíbrio de momento implica que qf = fq, o que acontece empre numa caca fina. O carregamento na uperfície tem componente p, p y e p z. q dq dq

31 .8. Carregamento aimétrico (Caca de Revolução) Vamo ver a força na direção. A força deve-e à variação de q. q r dqdf q A componente horizontal da força qf r df que atuam na face AB e CD do elemento faz um ângulo dq e, por io, tem a eguinte reultante em fq r df cofdq A diferença da força de corte que atuam na face AC e BD do elemento ão qf dr qf df r df dq qfr dq f df

32 .8. Carregamento aimétrico (Caca de Revolução) ou dr qf qf dfdq r dfdq df f f A componente da força eterna é Logo, o equilíbrio na direção fica f p r r dqdf r dqdf qf qf co f q r r r f p r r À epreão do equilíbrio em y obtida na ecção.5 é neceário adicionar a força qf r dqdf q devido à diferença da força de corte na face AB e CD. qf

33 .8. Carregamento aimétrico (Caca de Revolução) Uma vez que a projeção da força de corte no eio z deaparece, a equaçõe de equilíbrio em y e z ficam, repetivamente, d qf fr r qr cof pyr r df q r f r q Eta equaçõe permitem determinar a força de membrana numa caca de revolução com carregamento não imétrico que pode, em geral, variar com q e f. Da mema forma que para o carregamento ai-imétrico e obtiveram epreõe para o equilíbrio de caca eférica, cónica e cilíndrica, também e podem obter epreõe para carregamento não imétrico. p z

34 .9. Caca cilíndrica Uma caca cilíndrica é formada por um linha reta, a geratriz, que e deloca ao longo de uma trajetória fechada paralela. Um elemento de uma caca cilíndrica etá compreendido por dua geratrize e doi plano normai ao eio aial, ditanciada de d. Ete elemento é poicionado pela coordenada e q.

35 .9. Caca cilíndrica Vamo aumir que um carregamento não uniforme atua neta caca cilíndrica. ete cao, um corpo livre de um elemento da membrana contém a força aplicada (figura anterior). A componente em e q da força eterna ão p e p q com entido poitivo no entido poitivo do repetivo eio. A componente normal ou radial do carregamento, p r, atua no entido poitivo para dentro. O equilíbrio de força na direçõe, q e z ão, repetivamente, q drdq dqd pdrdq q q dqd q q drdq p q drdq q ddq p drdq r

36 .9. Caca cilíndrica Dividindo eta epreõe por drdq obtêm-e a equaçõe de equilíbrio para caca cilíndrica. Aim, q q r q q p r q q r p p Eta equaçõe também podiam er obtida a partir da equaçõe gerai. Pode ver-e que eta equaçõe ão imple e que podem er reolvida uma de cada vez. Para um dado carregamento, q é obtido da primeira equação. q e ão, depoi, obtida integrando a outra dua. r q

37 .9. Caca cilíndrica Então, q d r q q pq f q p onde f (q) e f (q) ão funçõe de integração arbitrária que dependem da condiçõe na areta. r r q r q q Eta funçõe reultam da integração da derivada parciai. p q d f

38 .9. Caca cilíndrica Eemplo 3. Uma tubagem longa e cilíndrica etá apoiada como motra a figura e contém um líquido com peo epecífico g. Determinar a força de membrana na eguinte condiçõe: a) eitem junta de epanão na dua etremidade; b) amba a etremidade etão rigidamente fia.

39 . Tenõe de Fleão em Caca.. Introdução Foi vito anteriormente que a teoria de membrana não conegue fornecer oluçõe compatívei com a condiçõe reai de deformação em toda a ituaçõe. Também na fronteira e em certa parte da caca eta teoria não conegue prever o etado de tenõe. Eta limitaçõe ão ultrapaada pela introdução da teoria de fleão que tem em conta força de membrana, força de corte e momento que atuam na etrutura da caca. Para deenvolver a equaçõe diferenciai para o delocamento da uperfície média u, v e w que definem a geometria e a cinemática da deformação procede-e da mema forma que para a placa.

40 .. Introdução Primeiro derivam-e a relaçõe báica entre a tenõe e a deformaçõe de caca de geometria genérica. A teoria de fleão completa é matematicamente intrincada e a primeira oluçõe de tenõe de fleão de caca datam de 9.

41 .. Reultante da Tenõe na Caca Para derivar uma epreão para a reultante da tenõe, ito é, a força e o momento reultante que repreentam a tenõe interna, conidera-e um elemento infiniteimal. Ete elemento é definido por doi pare de plano normai à uperfície média da caca. A origem do itema de eio coordenado é localizada num canto do elemento com o eio e y tangente à linha de curvatura principal e o z perpendicular à uperfície média.

42 .. Reultante da Tenõe na Caca Devido à curvatura da caca, o comprimento do arco afatado de uma ditância z da uperfície média não ão apena d e d y, o comprimento medido na uperfície média, ma im r z z d r z d y y z d dy r r r y r y onde r e r y ão o raio de curvatura principai no plano z e yz, repetivamente. A tenõe que atuam na face plana do elemento ão, y, t y, t z e t yz. Se repreentar a força normal reultante que atua na face yz por unidade de comprimento tem-e, uando o arco real, d y t t z r y d y dz

43 .. Reultante da Tenõe na Caca Dividindo pela ditância arbitrária d y tem-e Da mema forma, podem derivar-e epreõe para a outra reultante de tenão. Aim, t t y t t y dz zk dz r z t t yz y z y y y y y y y y y dz zk zk zk zk zk zk Q Q t t t t

44 .. Reultante da Tenõe na Caca e M zk M y t y zk M t y t y zk M y t y zk A convenção do inai é a mema da placa. Deta equaçõe pode concluir-e que, apear de t y =t y, a força de corte y e y e o momento torore M y e M y não ão, geralmente, iguai. Ito ocorre porque r r y. o entanto, para caca fina (ão eta que no inteream) t é pequeno em comparação com r e r y e, por io, z/r e z/r y podem er deprezado em comparação com a unidade. ete cao y = y e M y =M y. y y zdz

45 .. Reultante da Tenõe na Caca Aim, a reultante de tenão ão decrita com a mema epreõe da placa, ito é t t y y y y zdz M M M t t t yz z y y y y y dz Q Q t t t

46 .3. Força, Momento e Delocamento Para relacionar a reultante de tenão com a deformaçõe da caca, a tenõe, y e t y têm que er calculada em termo da etenõe. De acordo com o preupoto, a tenão na direção z é deprezada, z =. A lei de Hooke fica, então, E E ; e e y ; y e y e t y Gg y Temo que determinar a etenõe que aparecem neta epreõe.

47 .3. Força, Momento e Delocamento O elemento deformado da caca da figura, tem o lado mn e m n reto de acordo com o preupoto 3. A uperfície média etá eticada e o lado mn etá rodado em relação à configuração original. O alongamento unitário e de uma fibra l f, poicionada no plano z a uma ditância z da uperfície média, é dado por e l l f f

48 .3. Força, Momento e Delocamento Aqui, l f é o alongamento ofrido por l f. Aim, l f d z l f d e l f onde e repreenta a deformação unitária na uperfície média, r é o raio de curvatura depoi da deformação e d é o comprimento da fibra na uperfície média. z r Subtituindo eta equação na equação da etenão tem-e e e z z r z r e r r onde r é a curvatura ante da deformação. Uma vez que temo t«r, z/r pode er omitido. Por outro lado a influência de e na curvatura é deprezável.

49 .3. Força, Momento e Delocamento Deta forma, a epreão acima fica onde c repreenta a variação da curvatura da uperfície média. O alongamento unitário em qualquer ditância normal à uperfície média etá, aim, relacionado com o eticar da uperfície média e a mudança da curvatura aociada à deformação. Para a direção y obtém-e uma epreão idêntica z r r z c e e e Falta determinar a ditribuição da etenão de corte g y. y y y y y y z r r z c e e e

50 .3. Força, Momento e Delocamento Conidera-e g y a etenão de corte na uperfície média. Devido à rotação da areta AB em torno do eio e a g y, e referindo à equação da placa tem-e g y z y g g zc y y Aqui, c y deigna a torção da uperfície média. Ito repreenta o efeito da rotação do elemento da caca em torno da normal à uperfície média. y

51 .3. Força, Momento e Delocamento Subtituindo ete reultado na equaçõe da tenõe tem-e y E e e y E e y e y t G g zc y Finalmente, deprezando o termo z/r e z/r y, como anteriormente, e ubtituindo a tenõe na epreõe da reultante de tenão obtém-e y y z c c y y z c c y Et e e Et e y e Et y g y y

52 .3. Força, Momento e Delocamento e M y M M y D c c D c c M D y y y c y D=Et 3 /[(- )] define a rigidez de fleão da caca, à emelhança do obtido para a placa. Eta equaçõe ão a equaçõe contitutiva para caca. a condiçõe em que a fleão pode er deprezada, a análie da tenõe implifica-e batante uma vez que M, M y e M y =M y deaparecem. O que obra ão a força de membrana, y e y = y.

53 .4. Tenõe Compota na Caca Etamo, agora, em condiçõe para ecrever a tenõe compota numa caca produzida por força e momento. Para io, ubtitui-e a etenõe e deformaçõe obtida da equaçõe da reultante de tenão na equaçõe da tenõe, o que dá t y t t y t y y M 3 t M 3 t M 3 t O primeiro termo neta epreõe repreentam a tenõe de membrana e o egundo a tenõe de fleão. Pode obervar-e que a ditribuição da componente da tenão, y e t y na epeura é linear. z y y z z

54 .4. Tenõe Compota na Caca Também pode er verificado, à emelhança da placa, que a tenõe de corte vertical têm uma ditribuição parabólica. t z 3 t 4z t Q 3 Q t y yz t 4z t Ete valore ão pequeno quando comparado com a outra tenõe plana, tal como eram no cao da placa. Pode concluir-e que a relaçõe de tenão fundamentai ão idêntica para a viga, a placa e a caca.

55 .5. Carregamento ai-imétrico (Caca Cilíndrica) Tubo, tanque e outro contentore ujeito a preão interna ão algun eemplo de caca cilíndrica com carregamento ai-imétrico. Devido à imetria, um elemento cortado de um cilindro de raio a terá a reultante de tenão q, M q, e Q. A força e o momento em torno da circunferência, q e M q, não variam com q. Aim, o delocamento na circunferência v deaparece e ó é neceário coniderar o delocamento em e y, u e w, repetivamente. Deta forma, apena trê da ei equaçõe de equilíbrio do elemento da caca têm que er atifeita.

56 .5. Carregamento ai-imétrico (Caca Cilíndrica) Supondo que o carregamento eterno é como motrado na figura, o equilíbrio na direçõe e z reultam em dq d d d d adq p adq d d adq q d dq p d adq r

57 .5. Carregamento ai-imétrico (Caca Cilíndrica) O equilíbrio de momento em torno de y é dado por dm d d adq Q adq d Dividindo toda a equaçõe por d.adq obtém-e d p d dq q pr d a dm Q d É intereante notar que a última equação é a relação báica da viga: a força de corte é a primeira derivada do momento fletor.

58 .5. Carregamento ai-imétrico (Caca Cilíndrica) Da primeira equação a força aial é onde c é uma contante de integração. p d c Pode ver-e que a incógnita Q, q e M não podem er determinada da dua última equaçõe e, por io, é neceário eaminar o delocamento da uperfície média. Uma vez que nete cao v=, a relaçõe etenão-delocamento ão, da imetria, du e d e q a w dq adq adq w a

59 .5. Carregamento ai-imétrico (Caca Cilíndrica) Aplicando a lei de Hooke, tem-e Et e e de onde e tira Et d w dy q du d du w d Et a Logo, da lei de Hooke Et Et w du q q a d w a e e A relaçõe entre momento fletor e delocamento ão a mema que para um plano dobrado numa uperfície cilíndrica. Aim, como,

60 .5. Carregamento ai-imétrico (Caca Cilíndrica) tem-e d w M d onde D é a rigidez de fleão da caca. D M q M Uando a dua última equaçõe de equilíbrio e eliminando Q obtém-e d M q pr d a Finalmente, quando eta epreão é combinada com a equaçõe anteriore, tem-e d d d w D d Et a w a Et w p a r 4 d w D 4 d Et a w p a r

61 .5. Carregamento ai-imétrico (Caca Cilíndrica) Uma forma mai conveniente deta epreão é onde 4 d w 4 4 d w ad 4 Et 3 b 4a D a t e o parâmetro geométrico b tem dimenão L -. Eta equação e a equação de du/d repreentam a condiçõe de delocamento que governam uma caca cilíndrica com carregamento ai-imétrico. Quando não eite carga aial, =, eta equaçõe ficam b 4 du w d a 4 d w 4 4b w 4 d pr D pr D

62 .5. Carregamento ai-imétrico (Caca Cilíndrica) A primeira equação dá u depoi da integração. A egunda é uma equação diferencial ordinária com coeficiente contante. Ela também repreenta a equação de uma viga com rigidez de fleão D, obre apoio elático e ujeita a um carregamento p r. A olução homogénia deta equação é dada por m m m3 m4 wh ce ce c3e c4e em que c, c, c 3 e c 4 ão contante e m, m, m 3 e m 4 ão raíze da epreão m b Eta epreão pode er ecrita, omando e ubtraindo 4m b, como Daqui m b 4m b m b mb

63 .5. Carregamento ai-imétrico (Caca Cilíndrica) cuja olução é Daqui egue-e que w h ib ib b ib ib c e c e e c e c e b e 3 4 Se f() repreentar a olução particular w p, a olução geral da equação em caua é w b e onde C, C, C 3 e C 4 ão contante de integração arbitrária, obtida com bae na condiçõe de fronteira. Pode notar-e que o reultado da teoria de membrana podem er empre coniderado como a oluçõe particulare da equaçõe da teoria de fleão. m b i b C b C inb e C co b C inb f co 3 4

64 .6. Cao típico (Carregamento ai-imétrico em caca cilíndrica) Conideremo um problema de fleão de um cilindro com o comprimento muito grande comparado com o diâmetro, um cilindro infinito, ujeito a uma carga P uniformemente ditribuída em torno da ecção circular. Uma vez que não eite preão p r ditribuída obre a uperfície da caca = e f()=. A olução dete problema fica w b e b C b C inb e C co b C inb co 3 4 Devido à imetria da caca, a condiçõe de fronteira para a metade direita ão deduzida do facto de quando, a defleão e toda a derivada de w com repeito a deaparecem.

65 .6. Cao típico (Carregamento ai-imétrico em caca cilíndrica) Eta condiçõe ão cumprida quando C 3 =C 4 =. Aim Como = e M d w D d w b e M q C q co b C inb Etw a d w D d Q dm d A condiçõe aplicávei imediatamente à direita da carga ão Q 3 d w D 3 d p dw d 3 d w D 3 d

66 .6. Cao típico (Carregamento ai-imétrico em caca cilíndrica) A primeira condição indica que cada metade do cilindro uporta metade da carga eterna. A egunda condição indica que o declive do delocamento é zero ao centro do cilindro devido à imetria. Introduzindo eta condiçõe na equação do delocamento, com =, obtém-e p C C 3 8b D O delocamento fica Ou, noutra forma, b pe w in b co b 8 b 3 D b pe w in b 8b 3 D 4

67 .6. Cao típico (Carregamento ai-imétrico em caca cilíndrica) 4 ''' co in co in in co f f f f f e f f f e f f e f e f b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Pode obervar-e que a defleção atenua com a ditância como uma onda inuoidal amortecida eponencialmente. A funçõe eguinte ão uada para repreentar de uma forma mai conveniente a epreõe da defleão e reultante de tenão:

68 .6. Cao típico (Carregamento ai-imétrico em caca cilíndrica) A tabela motra valore numérico deta funçõe para vário valore de b. O termo b é adimenional.

69 .6. Cao típico (Carregamento ai-imétrico em caca cilíndrica) Subtituindo a equação de w na equaçõe da reultante de tenão tem-e f P Q f P M f P M f Da EtP f D P w b b b b b b b b b q q A epreõe ão válida para. Para a metade equerda do cilindro, toma-e o na direção opota à da figura.

70 .6. Cao típico (Carregamento ai-imétrico em caca cilíndrica) A defleão máima e momento máimo ocorrem em =: w M ma ma P 3 8b D P 4b Pa b eet O valore máimo da tenõe ocorrem em = e z=t/: 3P,ma bt q,ma Pb a 4 t 3 b t que ão a tenõe máima aiai e da circunferência, repetivamente.

71 .6. Cao típico (Carregamento ai-imétrico em caca cilíndrica) Da tabela anterior pode ver-e que cada função diminui à medida que b aumenta. Aim, na maior parte da aplicaçõe de engenharia, o efeito de carga concentrada pode er deprezado em poiçõe em que >/b. Conclui-e, deta forma, que a fleão tem um caráter local. Uma caca com comprimento L=/b, carregada ao meio, ofre uma defleão máima e um momento máimo quae iguai ao eitente numa caca longa. A equaçõe anteriore uada com o princípio da obrepoição permitem determinar a defleão e tenõe em cilindro longo ujeito a outro tipo de carregamento.

72 .6. Cao típico (Carregamento ai-imétrico em caca cilíndrica) Eemplo 3.3 Um cilindro muito longo de raio a etá ujeito a um carregamento uniforme p ao longo de uma ditância L. Derive uma epreão para a defleão para um ponto arbitrário O dentro da ditância L.

73 .7. Carregamento ai-imétrico (Caca revolução) Conidere-e um corpo na forma geral de uma caca de revolução ujeito a carga ai-imétrica. A efera, o cone e o cilindro circular ão geometria imple neta categoria. Primeiro, é neceário definir o etado de tenão num ponto deta caca, repreentado pelo elemento infiniteimal da figura.

74 .7. Carregamento ai-imétrico (Caca revolução) A condiçõe de imetria indicam que apena a reultante Q f, M q, M f, q e f eitem e que a força normai q e o momento fletore M q não variam com q. A notação para o raio de curvatura é igual à uada na teoria de membrana. A derivação da equaçõe de equilíbrio num elemento ABCD da caca é idêntica à realizada anteriormente. A condição de que a oma da força na direção y é igual a zero é dada por d fr dq df q r dqdf cof Qf r dqdf pyr dfr dq df O primeiro, egundo e quarto termo ão o memo do cao da membrana. O terceiro termo deve-e à força de corte Q f r dq na face AC e BD do elemento. Eta face formam um ângulo df entre ela.

75 .7. Carregamento ai-imétrico (Caca revolução) A condição de equilíbrio na direcção z obtém-e da equação da membrana e adicionando a força de corte Q f r dq. Aim, f d r dqdf q r dfdq inf f z df Q r dq df p r dfr dq A equação do equilíbrio de momento em torno de é d Mfr dq df Qf r dqr df Mqr df cofdq df O termo deta equação ão: O primeiro é o incremento do momento M f r df: O egundo repreenta o momento da força de corte Q f r df; O terceiro é a reultante do momento M q r df.

76 .7. Carregamento ai-imétrico (Caca revolução) O doi momento M q r df que atuam na face AB e CD do elemento não ão paralelo. A ua componente horizontai M q r dfcof formam uma ângulo dq entre ele reultando no último termo. Dividinto todo o termo por dqdf obtêm-e a equaçõe de equilíbrio. d df r r f Q r p r r r d r inf f z df Q r p r r f q d df co f y f q M r Q r r M r f f f q co A equaçõe que governam a caca de revolução comun ujeita a carregamento ai-imétrico podem er derivada a partir deta epreõe.

77 .8. Cao típico (Caca de Revolução) Caca Eférica a caca eférica pode coniderar-e que o raio da uperfície média é a=r =r e que r =a.inf. Aim, a equaçõe de equilíbrio ficam d f inf q cof Qf inf pyain df d f inf q inf Qf inf pzain df d M f inf Mq cof Qf ainf df f f

78 .8. Cao típico (Caca de Revolução) Caca Cónica ete cao o ângulo f é contante (r = ) e, por io, não pode er uado como coordenada do meridiano. Aim, introduz-e a coordenada que é a ditância de um ponto na uperfície média, normalmente medida dede o vértice, ao longo da geratriz. Deta forma, r cotf r df d A equaçõe de equilíbrio ficam d q py d d q Q cotf pzcot d d M Q Mq d f f M f M

79 .8. Cao típico (Caca de Revolução) Caca Cilíndrica Para obter a tenõe reultante num cilindro circular pode começar-e com a equaçõe da caca cónica colocando ==r tanf, f=/ e o raio médio a=r =contante. Fazendo ito a equaçõe ficam iguai a d p d dq q pr d a dm d Q Se neta equaçõe retirarmo o termo com força de corte e momento, ela ficam iguai à equaçõe obtida pela teoria de membrana.

80 .9. Elemento Finito em Caca O fatore que complicam a análie de problema de caca podem, geralmente, er reduzido a irregularidade na forma ou epeura da caca e não uniformidade na carga aplicada. Subtituindo a geometria real da etrutura e a configuração da carga por aproimaçõe de elemento finito apropriado não e perde muito na precião do reultado. Conidere-e o cao de uma caca com epeura variável e forma arbitrária. Eitem vária forma de obter uma caca equivalente que não comprometa ignificativamente a repota elática. Por eemplo, pode ubtituir-e a caca por uma érie de elemento triangulare curvo ou plano, ou elemento finito de outra forma, ligado na ua areta e canto. Independentemente da configuração do carregamento, ete é reduzido a uma érie de força concentrada ou ditribuída aplicada a cada elemento finito.

81 .9. Elemento Finito em Caca Quando uma caca de revolução é ujeita a uma carga não uniforme, a forma de elemento finito uual é ubtituir um elemento da caca por doi elemento plano, um ujeito à reultante de força directa e o outro ujeito à reultante de momento. A carga aplicada pode er convertida em força uniforme ou concentrada que também atuam no elemento. O efeito no plano e o de fleão podem, aim, er analiado em eparado e obrepoto. Deta forma, um elemento de caca pode er deenvolvido como uma combinação de um elemento de membrana e um elemento de placa com a mema forma. A caca fica, aim, idealizada como uma montagem de elemento plano.

82 .9. Elemento Finito em Caca Já foram propoto elemento curvo para e obterem aproimaçõe melhorada da caca ma a análie na ua aplicação é mai complea que no cao da utilização de elemento plano. o tratamento geral de caca com carregamento ai-imétrico que e decreverá em eguida vão er uado elemento plano.

83 .. Elemento Finito (Caca c/ Carregamento Ai-Simétrico) Uma caca com carregamento ai-imétrico pode er repreentada por uma érie de tronco de cone. Cada elemento é um anel gerado pelo egmento de reta compreendido entre doi círculo paralelo ou nó, i e j. A epeura pode variar de elemento para elemento.

84 .. Elemento Finito (Caca c/ Carregamento Ai-Simétrico) Como anteriormente, o delocamento de um ponto na uperfície média é epecificado por dua componente v e w na direção meridional e normal, repetivamente. A relaçõe etenão-delocamento ão dada por e e eq c c q wcof vinf d dv d w d dw d inf r r

85 .. Elemento Finito (Caca c/ Carregamento Ai-Simétrico) A relaçõe tenão-etenão ão q q q q c c e e t t t t Et M M ou e q q D M M onde [D] é a matriz de elaticidade da caca com carregamento ai-imétrico.

86 .. Elemento Finito (Caca c/ Carregamento Ai-Simétrico) Para cada nó ão ecolhido trê delocamento. Aim, o delocamento nodai ão di d e vi w d j b v w b T Onde v, w e b repreentam o movimento aial, o movimento radial e a rotação, repetivamente. O delocamento dentro do elemento, epreo na forma padrão, ão v w f d e Ete ão determinado a partir de {d} e e a poição. O declive e o delocamento ão mantido ao longo de todo o elemento. A matriz [] é uma função da poição a definir mai à frente. i i j j j

87 .. Elemento Finito (Caca c/ Carregamento Ai-Simétrico) Quando e avaliam v e w no nó i e j, podemo relacioná-lo com {d} e atravé de uma matriz de tranformação. Por eemplo, no nó i tem-e dw v i w i d i cof inf A epreõe eguinte para {f} contêm ei contante O delocamento dentro do elemento, epreo na forma padrão, ão v w 3 4 inf cof 5 vi wi b i Para determinar o valore deta contante, a coordenada do ponto nodai é ubtituída na funçõe do delocamento. 6 3 d i

88 .. Elemento Finito (Caca c/ Carregamento Ai-Simétrico) Repeentando na forma matricial, tem-e Ito vai gerar ei equaçõe em que a única incógnita ão o coeficiente. L w v C d dw w v d dw w v j j j j j j i i i i i i j j j i i i

89 .. Elemento Finito (Caca c/ Carregamento Ai-Simétrico) Reolvendo em ordem a tem-e vi w i dw d i C v j w j dw d j Que ubtituindo na equaçõe de v e w dá vi w i v dw d i LC w v j w j dw d j

90 .. Elemento Finito (Caca c/ Carregamento Ai-Simétrico) Aim, colocando i = e j =h na matri [C], pode reolver-e para até 6 em termo do delocamento v i,..., w i e obter-e finalmente onde h j j j i i i d dw w v d dw w v h h w v 3 3 3

91 .. Elemento Finito (Caca c/ Carregamento Ai-Simétrico) Repreentando a matriz de 6 como [P]=[L][C] - pode ecrever-e o delocamento dentro do elemento, epreo na forma padrão, como endo A equação da etenõe fica onde e e j i e P P P P w v d d d e j i e B B B d d e r r h h h r h r r h B i f f f f f in 3 4 in co co 3 in 3

92 .. Elemento Finito (Caca c/ Carregamento Ai-Simétrico) e B j inf r A matriz de rigidez para o elemento é dada por Aqui a área do elemento é h E a matriz de rigidez fica 6 k 3 cof r h h 3 h inf r h 3 inf r 6 k e A T B D B da da rd rhd e T B D B h rd cof r

93 .. Elemento Finito (Caca c/ Carregamento Ai-Simétrico) eta equação, r tem que er epreo em função de ante de e proceder à integração. O pao até 3 do proceo geral da olução do elemento finito decrito na placa pode er aplicado para e obterem o delocamento nodai da caca. Depoi determinam-e a etenõe, a reultante de tenão e a tenõe com a equaçõe decrita acima. a caca de revolução com carregamento ai-imétrico, a força concentrada ou nodai ão, de facto, carga ai-imétrica ditribuída em torno da caca. Pode obervar-e que, e apena for deejada a olução de membrana, a grandeza c, c q, b, M e M q ão ignorada e a epreõe aqui decrita ficam mai implificada.