σ, e os FATEC 1 Inferência Estatística: compreendida entre 5,25 e 5,31 m, apresentamos uma estimativa por intervalo. Introdução:

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1 FATEC Inferência Etatítica: Introdução: Inferência etatítica é o proceo de etimativa de uma população a partir de propriedade de uma amotra da população. Há doi tipo de inferência etatítica que dicutiremo a eguir. Do ponto de vita prático, é extremamente mai importante poder deduzir informaçõe relativa a uma população mediante informaçõe de amotra dela extraída. Um problema importante na inferência etatítica é a extimação do parâmetro populacionai ou abreviadamente parâmetro, deduzido da etatítica amotral. Etimativa: Envolve aproximadamente o valor de um parâmetro deconhecido. Ee parâmetro é um número decrevendo alguma propriedade numérica de uma população. Como exemplo, pode-e etar intereado em obter uma etimativa do valor médio de toda a caa de uma determinada cidade. Etimativa imparciai: Se a média de uma ditribuição amotral de uma etatítica for igual ao parâmetro populacional correpondente, a etatítica erá denominada de etimador imparcial do parâmetro; e io não ocorrer, chamamo de etimador parcial. Tai valore correpondente deta etatítica ão denominado etimadore imparciai ou parciai, repectivamente. Exemplo - A média da ditribuição amotral da média, µ é igual a µ, ito é, a média populacional. Por io a etatítica amotral é uma etimativa imparcial da populacional µ. Etimativa por ponto e intervalo. Fidedignidade. Quando etimamo um parâmtro populacional por um número, denominamo de etimativa de ponto; quando etimamo por doi número entre o quai pode-e dizer que ele eteja ituado, denominamo de etimativa por intervalo. Tai etimativa indicam ua precião ou exatidão e ão preferívei à etimativa por ponto. Exemplo - Se diermo que uma certa ditância mede 5,8 ± 0,03 m, ito é, ela etá compreendida entre 5,5 e 5,3 m, apreentamo uma etimativa por intervalo. A declaração do erro ou precião de uma etimativa é denominada de ua fidedignidade. Ditribuiçõe amotrai: Coniderem-e toda a amotra poívei de tamanho que podem er tirada de uma população dada (com ou em repoição). Para cada amotra pode-e tirar uma grandeza etatítica como uma média ou devio padrão, que varia de amotra para amotra. Dee modo obtém-e uma ditribuição da grandeza que é denominada ditribuição amotral. Se a grandeza etatítica adotada for a média da amotra, a ditribuição é denominada amotral da média. Ditribuição amotral da média. Admitindo-e amotra poívei de tamanho ão retirada em repoição de uma população finita de tamanho p >. Se a média e o devio padrão da ditribuição amotral da média forem deignada por µ e, e o valore correpondente da população forem µ e. Então: µ µ x x P p Se a população for finita, ou e a amotragem for tomada com repoição, o reultado acima tornam-e: µ x µ x Para grande valore de ( 30) a ditribuição amotral da média é aproximadamente normal, com a média µ e o devio padrão,independentemente da população. Tal reultado é fruto do teorema do limite central: Teorema do Limite Central: À medida que e aproxima o tamanho da amotra, a ditribuição de amotragem média e aproxima da forma da ditribuição normal, qualquer que eja a forma da ditribuição de população. a

2 FATEC prática a ditribuição de amotragem da média pode er coniderada como aproximadamente normal empre que o tamanho da amotra for > 30. Erro padrõe: O devio padrão de uma ditribuição amotral de uma grandeza etatítica é frequentemente denominado de eu erro padrão. Lembremo que, tendo conjunto de dado x i, calculamo a média µ e o devio padrão da forma: µ i x i i ( xi µ ) Se o dado x i forem ditribuído em frequência f i : µ i x i i f f f i i i i i ( x µ ) i f i A tabela ilutra o valore da área da curva normal padrão. z ,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,00 0,060 0,099 0, 0,0398 0,0438 0,0478 0,057 0,0557 0,0596 0, 0,0793 0,083 0,087 0,090 0,0948 0,0987 0,3 0,79 0,7 0,55 0,93 0,33 0,368 0,4 0,554 0,59 0,68 0,664 0,700 0,736 0,5 0,95 0,950 0,985 0,09 0,054 0,088 0,6 0,58 0,9 0,34 0,357 0,389 0,4 0,7 0,580 0,6 0,64 0,673 0,704 0,734 0,8 0,88 0,90 0,939 0,967 0,996 0,303 0,9 0,359 0,386 0,3 0,338 0,364 0,389,0 0,343 0,3438 0,346 0,3485 0,3508 0,353, 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,379 0,3749, 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,395 0,3944,3 0,403 0,4049 0,4066 0,408 0,4099 0,45,4 0,49 0,407 0,4 0,436 0,45 0,465,5 0,433 0,4345 0,4357 0,4370 0,438 0,4394,6 0,445 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,458 0,459 0,4599,8 0,464 0,4649 0,4656 0,4664 0,467 0,4678,9 0,473 0,479 0,476 0,473 0,4738 0,4744,0 0,477 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798, 0,48 0,486 0,4830 0,4834 0,4838 0,484, 0,486 0,4864 0,4868 0,487 0,4875 0,4878,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,490 0,4904 0,4906,4 0,498 0,490 0,49 0,495 0,497 0,499,5 0,4938 0,4940 0,494 0,4943 0,4945 0,4946,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978,9 0,498 0,498 0,498 0,4983 0,4984 0,4984 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 3, 0,4990 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 3, 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

3 FATEC 3 z ,0 0,039 0,079 0,039 0,0359 0, 0,0636 0,0675 0,074 0,0754 0, 0,06 0,064 0,03 0,4 0,3 0,406 0,443 0,480 0,57 0,4 0,77 0,808 0,844 0,879 0,5 0,3 0,57 0,90 0,4 0,6 0,454 0,486 0,58 0,549 0,7 0,764 0,794 0,83 0,85 0,8 0,305 0,3078 0,306 0,333 0,9 0,335 0,3340 0,3365 0,3389,0 0,3554 0,3577 0,3599 0,36, 0,3770 0,3790 0,380 0,3830, 0,396 0,3980 0,3997 0,405,3 0,43 0,447 0,46 0,477,4 0,479 0,49 0,4306 0,439,5 0,4406 0,448 0,449 0,444,6 0,455 0,455 0,4535 0,4545,7 0,4608 0,466 0,465 0,4633,8 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706,9 0,4750 0,4756 0,476 0,4767,0 0,4803 0,4808 0,48 0,487, 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857, 0,488 0,4884 0,4887 0,4890,3 0,4909 0,49 0,493 0,496,4 0,493 0,493 0,4934 0,4936,5 0,4948 0,4949 0,495 0,495,6 0,496 0,496 0,4963 0,4964,7 0,497 0,497 0,4973 0,4974,8 0,4979 0,4979 0,4980 0,498,9 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3, 0,499 0,499 0,4993 0,4993 3, 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 Lembramo que para uma ditribuição normal ou gauiana de dado (x i,y i ) e devio padrão e média µ dado por : Y i ( x µ ) i e π Se tratamo o dado na variável z i reduzida z: µ x z Y i e π Para a ditribuição amotral da média i ( upondo ditribuição normal) com média µ e devio padrão teremo a relação: z i i µ Ou, explicitando o valor i Exercício: µ + z i : - Uma população conite de 5 número:,3,6,8 e. Coniderem toda a amotra poívei de elemento que dela podem er retirada com repoição. Determinar: a) A média da população. b) O devio padrão da população. c) A média da ditribuição amotral da média. d) O devio padrão da ditribuição amotral da média, ito é, o erro padrão da média.. Reolver o problema anterior no cao de amotragem em repetição. 3. Admite-e que a altura de 3000 etudante do exo maculino de uma univeridade ão normalmente ditribuída, com a média 7,7 cm e o devio padrão7,6 cm. Se forem obtida 80 amotra de 5 etudante cada uma, quai erão a média e o devio padrão eperado na ditribuição amotral da média reultante e a amotragem for feita: a) Com repoição. b) Sem repoição. 4. Em quanta amotra do problema anterior pode-e eperar que a média e encontre: a) Entre 69,7 cm e 73,48 cm. b) Abaixo de 69,65 cm? 5. Quinhento rolamento de efera têm um peo médio de 5,0 onça ( onça 0,08349 kg). e um devio padrão de 0,3 onça. Determinar a probabilidade de uma amotra de i 3

4 FATEC 4 00 rolamento de efera, ecolhido ao acao nee grupo, ter um peo total de: a) Entre 496 e 500 onça. b) Mai de 500 onça. 6. Suponha que a média de uma população batante grande eja µ 50,0 e o devio padrão,0. Determine o devio padrão para a ditribuição de amotragem da média. 7. Sabe-e que a vida útil de operação de um tubo de imagem de TV de certa marca é, em média, µ 9000 hora com um devio padrão 500 hora. Determinar o valor eperado e o devio padrão para a ditribuição de amotragem para a média, endo o tamanho da amotra n Um analita financeiro toma uma amotra aleatória de 0% de 300 conta e acha que o aldo médio da conta é R $ 48,50. Sabendo que o devio padrão da ditribuição da média é R$ 35,75 encontre o devio padrão da amotra. 9. Dado o valore 3,5,7 e 8 encontre a média da população e eu devio padrão. 0. Se ecolhermo uma população de elemento, em repoição, encontre a média e o devio padrão da média para o problema anterior. Y() Y(z) 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0,35 -,000 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 (b) -3,5 -,500-3 Área ob a Curva Gauiana,000,500,000,500 Área ob a curva normal padrão -,5 - -,5 - -0,5 z,000 0,500 0,5 3,000 dftr dftr. Contrua a ditribuiçõe Gauiana e ormal padrão para µ e 0,86, com: (a) 0 x 3 (b) -,5 x 4,5 Repota: (a) Y() 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 Área ob a Curva Gauiana dftr,000,500,000,500,000,500 3,000 Área ob a curva normal padrão dftr 0,35 0,3 0,5 Y(z) 0, 0,5 0, 0,05 - -,5 - -0,5 z 0 0,5 4

5 FATEC 5 Etimativa Um problema importante da inferência etatítica é a etimação do parâmetro populacionai, ou parâmetro (média, variância, etc da população) deduzido da etatítica amotral correpondente. Etimativa imparciai ão aquela em que a média da ditribuição amotral é igual ao parâmetro populacional correpondente. Cao contrário ela erá um etimador parcial. Cao tenhamo dua etatítica de ditribuiçõe amotrai com a mema média, denominamo etimador eficiente da média, àquela etatítica de menor variância, enquanto a demai recebem o nome de ineficiente. A etimativa de um valor populacional pode er dada por ponto ou por doi número, entre o quai ele pode er coniderado; ou eja, por meio de um intervalo. Ea etimativa por intervalo ão preferívei à etimativa por ponto. Etimativa de intervalo de confiança do parâmetro populacionai. Sejam µ e a média e o devio padrão (erro padrão) da ditribuição amotral de uma etatítica S. Então a ditribuição amotral de S é aproximadamente ormal (o que e tem verificado para 30 ); pode-e eperar que e encontre uma etatítica amotral real, S, ituada no eguinte intervalo, com o eguinte percentuai: (Entende-e: etar confiante de e encontrar µ no intervalo dado). Intervalo % (µ S - S, µ S + S ) 68,7 (µ S - S, µ S + S ) 95,45 (µ S - 3 S, µ S + 3 S ) 99,73 Ee intervalo ão denominado de intervalo de confiança de 68,7%;95,45% e 99,73%para a avaliação de µ S. O número extremo dee intervalo ão denominado de limite de confiança ou limite fiduciai. A percentagem de confiança é frequentemente denominada de nível de confiança. O número do limite de confiança ão denominado de coeficiente de confiança ou valore crítico, e repreentado por z c. A tabela a eguir motra o valore de z C correpondente a divero nívei de confiança adotado na prática. Limite de Confiança (%) Coeficiente de confiança z c. 99,73 3,00 99,58 98,33 96,05 95,45,00 90,645 80,8 68,7, ,6745 Etimativa do intervalo de confiança da média: Se temo uma etatítica S que é a média amotral então o limite de confiança de 95% e 99%, para a etimação da média populacional µ, ão dado por: ±,96 e ±,58, repectivamente. De um modo geral o limite de confiança ão dado por: ± z C ± z C Ou µ ± z C (Para amotragem de uma população infinita ou quando a amotragem é retirada com repoição). P ± zc P ou P µ ± zc P (Para amotragem com população finita ou quando a amotragem é retirada em repoição). Em geral, o devio padrão da população é deconhecido, de modo que, para e obterem o limite de confiança acima emprega-e a etimativa da amotra. Io erá atifatório dede que 30. Para < 30, a aproximação é inuficiente e deve-e empregar a teoria de pequena amotra que veremo adiante. 5

6 FATEC 6 A média da ditribuição amotral da variância é igual a µ, onde é a variância populacional e é o tamanho da amotra. Então a variância amotral é uma etimativa parcial da variância populacional. Chamando de variância modificada ˆ, que é uma etimativa imparcial de, teremo: ˆ Lembremo que há uma relação entre a e a dada por: a. Para muito grande, não há a muita diferença entre e. Exemplo - A amotra contante de 5 medida do diâmetro de uma efera foi regitrada por um cientita com o valore de 6.33, 6.37, 6.36, 6.3 e 6.37 cm. Determinar a etimativa imparciai e eficiente da: a) Média verdadeira. b) Variância e o devio padrão da amotra. c) A variância e o devio padrão da população. d) O intervalo de confiânça correpondente a 95%. a) A etimativa imparcial e eficiente da média verdadeira é a média populacional: 5 x i i cm. x b) Devio padrão da amotra: ( xi x) 0,00 5 a 0,009 ; i a Variância: a 0, c) A etimativa imparcial e eficiente da variância verdadeira é a variância populacional: ( xi x) i ˆ a 0,00055cm ˆ a d) ˆ ± zc ± zc ± ± Exemplo - Admita-e que a altura de 00 etudante do exo maculino de uma univeridade repreentam uma amotra aleatória da altura de a ˆ todo o 546 etudante dea univeridade. Determinar uma etimativa imparcial e eficiente da média verdeira e da variância verdadeira. x i Altura (cm) Ponto médio (x i ) Frequência (f) , , , , ,5 8 Σf i 00 i i i i f 77,5 95,0 7 6,0 489,5 49,0 Σx i f i 770,0 x f f i 770 x 7, Cálculo do devio padrão: f i ( x x) i ˆ 7,78 cm ( 7,78) ˆ 6,4659 7, 79 ote que, como é grande, não há diferença entre ˆ, ou entre, ˆ. Exemplo 3 - Determine o intervalo de confiança de: a) 95% 0 b), % 0,034 Para a avaliação da altura média do etudante da univeridade do exemplo anterior. a) Lembrando que o limite de confiança de 95% ão dado por: ±,96. Adotando x 7, 70 e 6

7 FATEC 7 ˆ 7, coniderando como etimativa de, 79, teremo: 7,79 7,70 ±,96 7,70 ±,56 00 Conequentemente, o intervalo de confiança de 95% para a média da população µ é de 70,74 a 73,6 cm; ou: 70,7 < µ < 73,3 b) O limite de confiança de 99% ão: ˆ ±,58 ±,58 7,79 7,70 ±,58 7,70 ±, b) ± ˆ,58 ±,58 0,84 ±,58 Exemplo 5 - Ao medir o tempo de reação, um picólogo avaliou que eu devio padrão era de 0,05 egundo. Que extenão deve er tomada para a amotra detinada à mediçõe para que e eteja: a) 95% e b) 99% confiante de que o erro dea etimativa não exceda a 0,0 egundo? b) 95% pouem limite de confiança: ±,96 Erro da etimativa:,96 Tomando-e 0,05 egundo o erro erá de 0,05 (,96)(0,05),96 0,0 9,8 96,04 0,0 b) 99% pouem limite de confiança: ±,58 Erro da etimativa:,58 Tomando-e 0,05 egundo o erro erá de 0,05 (,58)(0,05),58 0,0 67 0,0 Exemplo 6 - Uma amotra aleatória de 50 grau em matemática, num total de 00, apreenta a média de 75 e devio padrão de 0. a) Quai o limite de confiança de 95%, para a etimativa da média do 00 grau? b) Com que grau de confiança e diria que a média do 00 grau é 75 ±? a) Como o tamanho da população não é muito grande, em comparação com o tamanho da amotra, deve-e ajutá-la. Então o limite de O intervalo de confiança de 99% para a média da população µ é: 69,69 < µ < 73,7 Exemplo 4 - A medida do diâmetro de uma amotra aleatória de 00 rolamento eférico produzido por certa máquina, durante uma emana, apreentam a média de 0,84 polegada e o devio padrão de 0,04 polegada. Determinar o limite de confiança de: confiança de 95% ão: a) 95% b) 99% P ±, 96 Para o diâmetro médio de todo o rolamento P eférico Limite de confiança: 75 ±, ±, 4 a) ˆ ±, 96 ±, b) ± z c ± zc 0,04 0,84 ±,96 0,84 ± 0,0058 0,84 ± 0, ± 0,04 00 P P z C 75 ±,3z C Como, 84 ± ee 0,0077 valor deve 0,84er ± 0,008 igual a 75 ±,3z c z c 0,8. A área ubentendida pela curva normal, entre z 0 e z z c 0,8 é 0,90; então o grau de confiança deejado é:.(0,90) 0,58 ou 58,%. Exercício. Foram determinado o valore: 8,3;0,6;9,7;8,8;0, e 9,4 quilo, repectivamente, para o peo de uma amotra. Determinar aa etimativa para: a) A média populacional. (9,5 kg). b) A variância populacional. (0,74 kg). c) Compare o devio padrão da amotracom ua etimativa para a população. (0,78 e 0,86 kg).. Uma amotra de 0 componente eletrônico de televião produzida por uma 7

8 FATEC 8 companhia apreentou a vida média de 00 hora e o devio padrão de 00 hora. Etimar: a) A média. (00 h). b) O devio padrão populacional de todo o componente produzido pela companhia. (05,4 h). 3. A média e o devio padrão da carga máxima uportada por 60 cabo ão dado por,09 t e 0,73 t, repectivamente. Determinar o limite de confiança para a média de todo o cabo produzido para a companhia de: a) 95%. (,09 ± 0,8 t) b) 99% (,09 ± 0,4 t) 4. A média e o devio padrão do diâmetro de uma amotra de 50 rebite fabricado por uma companhia ão:0,764 e 0,00058 polegada, repectivamente. Determinar o limite de confiança para todo o rebite fabricado pela companhia de: a) 99 %. (0,764 ± 0, polegada). b) 98 %. (0,764 ± 0, polegada). c) 95 %. (0,764 ± 0,00007 polegada). d) 90 %. (0,764 ± 0, polegada). 5. Determine, em relação ao problema anterior, o limite de confiança de 50% e o erro provável para a média do diâmetro. (0,764 ± 0,00005 e 0,00005 polegada). 6. Um analita de mercado obtém dado de uma amotra de 00 conumidore de um total de 400 que adquiriram uma oferta epecial. A 00 peoa gataram na loja, uma média de $ 4,57 com um devio padrão de $ 6,60. Uando um intervalo de 95% de confiança, etimar: a) O valor médio de compra para todo o 400 cliente. ($3,45 a $5,69). b) O valor total da compra do 400 cliente. ($9.380 a $0.76). 8

9 FATEC 9 Tete de Hipótee: Envolve a ecolha de dua afirmaçõe de uma dada população. Tai afirmaçõe ão chamada de hipótee. um tete de hipótee principiamo com um valor upoto (hipotético) de um parâmetro da população; depoi de coletar uma amotra aleatória, comparamo a etatítica da amotra, tal como a média amotral, com o parâmetro upoto, tal como a média populacional hipotética. Então, aceitamo ou rejeitamo o valor hipotético como endo correto. O valor hipotético é rejeitado omente e o reultado da amotra for claramente improvável de ocorrer quando a hipótee for verdadeira. Uma hipótee nula H 0 é o valor upoto do parâmetro o qual é comparado com o reultado da amotra. Ele é rejeitado omente e o reultado da amotra for improvável endo a hipótee coniderada verdadeira. A hipótee alternativa H é aceita omente e a hipótee nula é rejeitada. Dividimo em divera etapa o tete de hipótee: ETAPA - Formular a hipótee nula H 0 e a hipótee alternativa H. ETAPA - Epecificar o nível de ignificância a er uado. O nível de ignificância é o padrão etatítico epecificado para rejeitar a hipótee nula. Se é epecificado um nível de ignificância de 5%, a hipótee nula é rejeitada omente e o reultado da amotra é tão diferente do valor upoto que uma diferença igual ou maior ocorreria por acao com uma probabilidade máxima de 0,05. Obervamo que e for utilizado um nível de ignificância de 5%, exite uma probabilidade de 5% de rejeitar a hipótee nula endo a mema verdadeira. Ete é o chamado Erro Tipo I. A probabilidade do Erro Tipo I é empre igual ao nível de ignificância utilizado como padrão para rejeitar a hipótee nula. Ele é imbolizado pela letra grega minúcula "alfa" α, endo que α repreenta o nível de ignificância. O nívei de ignificância mai frequentemente utilizado em tete de hipótee ão o de % e 5%. Um Erro Tipo II ocorre quando a hipótee nula é aceita endo a mema fala. ETAPA 3 - Selecionar a etatítica do tete. Poderá er ou a etatítica da amotra, ou uma verão modificada da amotra. A tabela a eguir ilutra a conequência de deciõe em tete de hipótee. Deciõe poívei Aceitação da hipótee nula Rejeição da hipótee nula Etado poívei Hipótee nula Hipótee nula fala verdadeira Aceita corretamente Erro tipo II Erro tipo I Rejeita corretamente ETAPA 4 - Etabelecer o valor crítico, ou valore crítico da etatítica do tete. Tendo etabelecido a hipótee nula, o nível de ignificância e a etatítica a er uada, agora etabelecemo o valor crítico (ou valore crítico) da etatítica de tete. Pode exitir um ou doi dee valore, egundo eja efetuado um tete unilateral ou bilateral. Quando manifetamo interee no valore extremo da etatítica, ou no ecore z de ambo o lado da média, ito é, em amba a extremidade da ditribuição, chamamo ee tete de bilaterai. Muita veze, entretanto, pode-e ter interee em apena no valore extremo de um memo lado da média, ito é, em uma extremidade da ditribuição; por exemplo, quando e etá tetando a hipótee de um tete er melhor do que o outro. Tai tete denominam-e unilaterai. Em ambo o cao, o valor crítico identifica o valor da etatítica de tete neceário para rejeitar a hipótee nula. ETAPA 5 - Determinar o valor real da etatítica de tete. Exemplo: para tetar um valor hipotético da média populacional, coleta-e uma amotra aleatória e determina-e o valor da média da amotra. Se o valor crítico for etabelecido como um valor z, a média da amotra erá então, convertida em um valor z. ETAPA 6 - Tomar a decião. O valor obervado da etatítica da amotra é comparado 9

10 FATEC com o valor crítico da etatítica de tete. A hipótee nula é, então, ou aceita ou rejeitada. Se a hipótee nula é rejeitada, a hipótee alternativa é aceita. Eta decião terá relevância em relação a outra deciõe a erem tomada por adminitradore, tai como e e deve ou não manter um padrão de deempenho, ou obre qual, de dua etratégia de mercado, deve empregar-e. A tabela abaixo indica para algun tete o nível de ignificância. Tete de um valor hipotético da média utilizando a ditribuição normal. Pode-e utilizar a ditribuição normal de probabilidade para tetar um valo hipotético da média quando > 30 ou, cao < 30 e a população er normalmente ditribuída e o devio padrão er conhecido. Um tete bilateral é utilizado quando etamo intereado em poívei devio em amba a direçõe a partir do valor hipotético da média. A fórmula utilizada para etabelecer o valore crítico da média da amotra é imilar à fórmula para determinar o limite de confiança para etimar a média populacional. Sendo µ a média da população, o valore crítico da média da amotra, endo conhecido ão: µ ± RC x Exemplo - Um auditor deeja tetar a hipótee de que o valor médio de toda a conta a receber em uma dada firma é de $ 60,00, tomando para uma amotra 36 e calculando a média amotral. Ele deeja rejeitar o valor ível de ignificância α 0,0 hipotético 0,05 de $ 60,00 0,0 omente 0,005 e tal valor 0,00 for Valore crítico de z para tete -,8 ou claramente -,645 ou contraditado -,33 ou pela -,58 média ou da -,88 amotra, ou unilaterai,8 endo,645 que, deta,33 maneira, é dado,58 o valor upoto,88 Valore crítico de z para tete -,645 e o -,96 "benefício e da -,58 dúvida". e A -,8 hipótee e -3,08 nula e e bilaterai,645 alternativa,96 para ee,58 tete ão H,8 0 : µ $ 60,00 3,08 e RC µ ± z x 60 ±,96 n 60 ±,96 z H : µ $60,00. Para a hipótee nula, determinar o valore crítico da médiada amotra para tetar a hipótee a um nível de ignificância de 5%. Dado que e conhece o devio padrão do valore da conta a receber: $ 43,00. Hipótee: H 0 : : µ $ 60,00 e H : µ $60. ível de ignificância: α 0,05 Etatítica do tete: Baeada numa amotra de n 36 e $ 43,00. amotra. RC : Valore crítico da média da 43 $45,95 36 $74, Região de Aceitação ,95 74,05 Região de rejeição Região de rejeição Portanto, para rejeitar a hipótee nula, a média da amotra deve ter um valor menor que $45,95 ou maior do que 74,05. Exitem dua regiõe de rejeição no cao de um tete bilateral. Quando o valor da média da amotra etiver determinado, ele erá tranformado para um valor z, de modo a poder er comparado com o valore crítico de z. A fórmula para ea tranformação, endo conhecido é: µ z x Exemplo - Para o tete de hipótee anterior, uponha que a média eja de $ 40. Determine e e deve aceitar ou rejeitar a

11 FATEC hipótee nula tranformando tal média no valor de z crítico correpondente: µ z,79 7, Região de aceitação ,96,96 Região de rejeição z Região de rejeição Ete valor de z encontra-e na região de rejeição da da cauda equerda; portanto rejeita-e a hipótee nula e aceita-e a hipótee alternativa, ito é, µ $60,00. Um tete unilateral é apropriado quando etamo intereado em poívei devio em apena uma direção, a partir do valor hipotético da média. o exemplo anterior, o auditor pode não etar intereado em que a verdadeira média de toda a conta a receber upere $ 60,00, ma im em que ela poa er menor que $ 60,00. Pode-e ter então a hipótee: H 0 : µ $ 60,00; H : µ < $ 60,00. Exite apena uma região de rejeição em um tete unilateral, e, para o exemplo acima, o tete é um tete de cauda inferior. A região de rejeição de um tete unilateral encontra-e empre na cauda que repreenta apoio à hipótee alternativa. O valor crítico pode também er determinado para a média ou em termo de um valor z. O valore crítico para tete unilaterai diferem do bilaterai devido à área, como motramo em tabela. x rc x µ 0 + z 60 + (,65)(7,7) $48,7 Uma vez que $ 40, o memo e encontra na região de rejeição. Rejeita-e portanto a hipótee nula e aceita-e a hipótee alternativa de que µ < $ 60,00. b) epecificando o valor crítico em termo de z, onde z c (α0,05) -,65 µ z,79 7,7 Então e rejeita a hipótee nula. Exemplo 3 - Suponha que o auditor comece com a hipótee nula de que o valor médio de toda a conta a receber é no mínimo de $ 60. Dado que a média da amotra é $ 40,00, tetar ea hipótee ao nível de ignificância de 5%, atravé do procedimento: a) Determinando o valor crítico do valor médio da amotra, onde H 0 : µ $ 60,00; e tomando para H : µ < $ 60,00.

12 FATEC ,67 z 48,7 60 Região de Rejeição Região de aceitação Erro Tipo I e Tipo II em tete de hipótee. A probabilidade do Erro Tipo I (A hipótee nula é rejeitada endo a mema verdadeira) é igual ao nível de ignificância α utilizado no tete de hipótee. Io ocorre poi a proporção da área na região de rejeição é igual à proporção do reultado amotrai que ocorreriam naquela região e a hipótee nula foe verdadeira. Já a probabilidade de Erro Tipo II (A hipótee nula é aceita endo a mema fala) é indicada pela letra grega "beta" (β). A maneira pela qual ela pode er determinada é relativa a um valor epecífico, incluído dentro do intervalo da hipótee alternativa. Exemplo 4 - O repreentante de um grupo comunitário informa a uma peoa que etá intereada em etabelecer um centro comercial, que a renda média familiar na área é de $ 5.000,00. Suponha que, para o tipo de zona em quetão, é poível upor que a renda média familiar tem ditribuição aproximadamente normal, e que e pode aceitar o devio padrão como endo $.000,00, com bae em um etudo anterior. Para uma amotra aleatória de 5 família, a renda média familiar foi de $4.000,00. Tetar a hipótee nula de que µ $5.000,00, etabelecendo o limite crítico da média da amotra, utilizando um nível de ignificância de 5%. Obervação: Memo e a amotra for pequena, pode-e utilizar a ditribuição normal, uma vez que e upõe a população normalmente ditribuída e uma vez que é conhecido. H 0 : µ $5.000,00 e H : µ $5.000,00 O limite crítico de ( α 0.05) ão: µ ± z µ ± 5000 ±, $6.03, ±, 96(56,80) $3987, 07 Uma vez que a média da amotra $4.000,00 encontra-e na região de aceitaçãoda hipótee nula, não e pode rejeitar a afirmação do repreentante da comunidade a um nível de ignificância de 5%. Exemplo 5 - Reolver o exemplo 4 utillizando a variável reduzida z como etatítica do tete: zcritico ( α 0.05) ±.96 Então: 000 $56,80 x z 5 x µ ,80,93. Logo z -,93 etá na região de aceitação da hipótee nula. ão e pode rejeitar a informação do repreentante da comunidade, ao nível de ignificância de 0,05%. Exemplo 6 - Para o exemplo anterior, uponha que o devio padrão da população é deconhecido, o que eria o cao típico, e uponha também, que a população do valore de renda não eteja normalmente ditribuída. Para uma amotra de 30 família, o devio padrão é de $.000 e a média da amotra é x $ Tetar a hipótee nula de que a renda familiar média na população é, no mínimo,

13 FATEC $5.000,00, uando o nível de ignificância do tete de 5%. ota: A ditribuição normal de probabilidade pode er uada por doi motivo: pelo Teorema do Limite Central e z pode er utilizado poi 30. Aim: H 0 : µ $5.000,00; H : µ < $5.000, x $364,96 30 x µ z,74 x 364,96 Logo, rejeita-e a hipótee nula ao nível de ignificância de 5% Exemplo 7 - Um fabricante intereado na compra de um novo equipamento para produzir ferramenta epecificou que o equipamento não deve exigir, em média, mai do que 0 minuto de manutenção para cada hora de operação. O agente de compra viita uma companhia onde etá intalado o equipamento, e, pela informação que recolhe, nota que 40 hora de operação aleatoriamente elecionada incluem um total de 7 hora e 30 minuto de manutenção, endo que o devio padrão do tempo de manutenção por hora foi de 3,0 minuto. Com bae nete reultado amotral, pode-e rejeitar a hipótee de que o equipamento poui a epecificaçõe obre o tempo de manutenção, ao nível de ignificância de %? H 0 : µ 0 min/hora; H : µ > 0 min/hora z ( α 0,0) +,33 x x c xi i x µ,5 0 x 0,47 z,5min 0,47 min +,66 Rejeita-e portanto a hipótee nula ao nível de ignificância de % e aceita-e a hipótee alternativa de que o tempo médio de manutenção para ee equipamento é maior de que 0 minuto por hora de operação. Exemplo 8 - O devio padrão da vida útil de um tubo de TV de determinada marca é de 500 hora, endo que a vida útil do tubo é normalmente ditribuída. O fabricante afirma que a vida útil média é, no mínimo, de hora. Tetar eta informação, ao nível de ignificância de 5%, denominando-a como hipótee nula, e dado que a vida média em uma amotra de n 5 tubo foi de x 8800h. H 0 : µ 9000h; H : µ < 9000h z c ( α 0,05), ,0 x 5 z x µ x 9,0,55 Logo a hipótee nula não pode er rejeitada ao nível de ignificância de 5%. Exemplo 9 - Com repeito ao exemplo anterior, uponha que a informação amotral foi obtida de uma amotra de n 35 televiore. Tetar a afirmação ao nível de ignificância de 5%. H 0 : µ 9000h; H : µ < 9000h z c ( α 0,05), ,46 z x 35 x µ x 84,46,37 Portanto rejeita-e a hipótee nula ao nível de ignificância de 5%. Exemplo 9 - Um analita de mercado coleta informaçõe de uma amotra aleatória de 00 cliente, do 400 que compraram uma oferta epecial. A 00 peoa gataram uma média de x $4,57 na loja, com devio padrão de $ 6,60. Ante de ver ee reultado da amotra, o gerente havia afirmado que a média da compra feita por aquele que reponderam à oferta epecial teria ido de, no mínimo, $ 5,00. Podee rejeitar ea afirmação utilizando um nível de ignificância de 5%? Obervação: é neceário o fator de correção finita quando > 0,05 p x H 0 : µ $ 5,00; H : µ < $ 5,00 z ( α 0,05),65 c z p P x µ x 6, ,57 5,00 0, ,57 0,75 Portanto não e pode rejeitar a afirmação ao nível de ignificância de 5%. Tete de ignificância que envolvem diferença amotrai: Sejam x e x a média obtida em dua grande amotra, de tamanho e, retirada de populaçõe repectiva que têm a média µ e µ e devio padrõe e. Conidere-e a hipótee nula de que não há diferença entre a média populacionai, ito é, µ µ, ou de que a amotra ão retirada de dua populaçõe que têm média iguai.

14 FATEC 3 Vemo que a ditribuição amotral para a diferença da média é aproximadamente normal, com média e devio padrão dado por: µ x x µ µ x x 0 ;( µ ) µ µ x x + Exemplo 0 - Determinar a probabilidade de obter-e entre 40 a 60 cara, incluive, em 00 lance de uma moeda honeta. A média e o devio padrão do número de cara, em 00 lance, de acordo com a Ditribuição de Bernoulli ou Binomial é dado por: µ p : (p:probabilidade de obter-e uceo em um lançamento) pq : (q:probabilidade de inuceo em um lançamento (q - p)) Lembre-e que a ditribuição de Bernoulli é! p( ) C, p q p q!( )! dada por (: número de uceo) : A probabilidade é dada por: () () () 4 00 P + () + + () () Utilizando o ajutamento da curva normal à ditribuição de Bernoulli: µ 00.0,550 e 00.0,5.0,5 5 Coniderando a ecala contínua, o intervalo entre 40 e 60 cara, incluive, é o memo que entre 39,5 e 60,5 cara. Paando para variável reduzida: Z (39,5-50)/5 -,0 Z (60,5-50)/5 +,0 A área ubebntendida entre a curva normal de z a z dará a probabilidade: P 0,964. Exemplo - Para tetar a hipótee de que a moeda é honeta, adota-e a eguinte decião: () Aceita-e a hipótee, e o número de cara em uma única amotra de 00 lance, etiver entre 40 e 60, incluive. () Rejeitá-la, cao contrário. a) Determine a probabilidade de rejeitar a hipótee, quando ela for realmente correta. A probabilidade de não e obter entre 40 e 60 cara, incluive, é dada por: -0,964 0,0358. Então a probabilidade da hipótee er rejeitada quando ela for correta é de 0,03583,58%. b) Interprete a regra de decião e o reultado do item a) Região de 0.0 Região de Rejeição Região de aceitação Rejeição z -.0 z.0 (39,5 cara) (60,5 cara) Se uma única amotra de 00 lance reultar em um ecore z entre -,0 e,0. Aceitar-e-á a hipótee; cao contrário ela erá rejeitada e dicidir-e-á que a moeda é viciada. O erro cometido ao rejeitar a hipótee, quando deveria er aceita, é do Tipo I, e a probabilidade de cometê-lo é igual a 0,0358, conforme o item a). 3

15 FATEC c) Que concluõe e poderiam tirar do fato de uma amotra de 00 lance apreentar 53 cara? 60 cara? De acordo com a regra de decião, deve-e aceitar a hipótee da moeda er honeta, em ambo o cao. d) Poder-e-ia etar errado na concluõe do item c? Explicar. Sim. Poder-e-ia aceitar a hipótee quando deveria er rejeitada, e ee eria o cao, por exemplo, e a probabilidade de cara foe de 0,7 em vez de 0,5. O erro cometido ao aceitar a hipótee, quando deveria er rejeitada, é do Tipo II da decião. Exemplo - Em uma experiência obre percepção extra-enorial (P.E.S), um ujeito, em uma ala, é olicitado a declarar a cor vermelha ou preta de uma carta ecolhida, de um baralho bem embaralhado de 50 carta, por outro indivíduo colocado na mema ala. O ujeito deconhece quanta carta vermelha ou preta há no baralho. Se o ujeito identifica corretamente 3 carta, determinar e o reultado ão ignificativo, no nívei de ignificância de: a) 0,05 b) 0,0 Se p é a probabilidade do ujeito declarar a cor da carta corretamente, enão deve-e decidir entre a hipótee: H 0 : p 0,5 e o ujeito etá implemente adivinhando. H : p > 0,5 e o ujeito tem faculdade em P.E.S.. Ecolhe-e um tete unilateral, poi não há interee em obter ecore extremamente baixo ma, ao contrário, na de obter ecore alto: Média: µ p 50 (0,5) 5 e Devio Padrão: pq 3,54 Para x 3, em unidade reduzida: x µ 3 5 z,98 3,54 Como z c ( α 0,05), 65 e o z encontrado encontra-e na região crítica, rejeita-e H 0, ou eja o indivíduo apreenta P.E.S. Exemplo 3 - O fabricante de uma droga medicinal reivindicou que ela era 90% eficaz em curar uma alergia, em umperíodo de 8 hora. Em uma amotra de 00 peoa que tinham a alergia, a droga curou 60 peoa. Determinar e a pretenão do fabricante é legítima p: probabilidade de obter-e a cura da alergia. H 0 : p 0,9 A pretenão é correta. H : p < 0,9 A pretenão é fala. Ecolhemo um tete unilateral poi não há interee em determinar e a proporção de peoa curada pela droga é muito baixa.. Se o nível de ignificância é α 0,0 e z(α) -,33 µ p 00.0,9 80 pq 00.0,9.0, 4,3 z (x - µ) / ( ) / 4,3-4,73 Logo como z < -,33 conclui-e que a pretenão não é legítima. z -, Exemplo 4 - A vida média de uma amotra de 00 lâmpada fluorecente, produzida por uma companhia, foi calculada em 570 hora, com o devio padrão de 0 hora. Se µ é a vidamédia de toda a lâmpada produzida pela companhia, tetar a hipótee de µ 600 hora, em face da hipótee alternativa d de µ 600 hora, adotando o nível de ignificância de: a) α 0,05 b) α 0,0 H 0 : µ 600 h; H : µ 600 h Tete tipo bilateral: a) z c (α 0,05) ±,96 0 x h; µ µ 00 x x µ z,50 x Ete valor etá fora do intervalo (-.96,+.96) Logo rejeita-e H 0 ao bnível de ignificância de 0,05% b) α 0,0 Agora o intervalo é z c (α 0,05) ±,58 ((-.58,+.58))

16 FATEC 3 Como -.50 etá dentro do intervalo, aceita-e H 0 no nível de ignificância de 0,0. Exercício:. A tenão de ruptura do cabo produzido por um fabricante apreenta a média de 800 kg e o devio padrão de 00 kg. Mediante nova técnica no proceo de fabricação, proclamou-e que a tenão de ruptura pode ter aumentado. Para tetar ea declaração, enaiou-e uma amotra de 50 cabo, tendo-e determinado a tenão média de ruptura de 850 kg. Pode-e confirmar a declaração no nível de ignificância de 0,0?. Referente ao exemplo 4, tetar a hipótee de µ 600 h em face da alternativa µ < 600 h para o nível de ignificância de : a) 0,05 b) 0,0 3 Uma companhia fabrica cabo cuja tenão de ruptura têm média de 300 kg e devio padrão de 4 kg. Acredita-e que, mediante um proceo recentemente aperfeiçoado, a tenão média de ruptura pode er aumentada. a) Planejar uma regra de decião para rejeição do proceo anrtigo, ao nível de ignificância de 0,0, e foi reolvido ubmeter 64 cabo a enaio. b) De acordo com a regra de decião adotada em a), qual é a probabilidade de aceitação do proceo antigo, quando, de fato, o novo aumentou a tenão média de ruptura para 30 kg? Coniderar que o devio padrão ainda é 4 kg. 4. Um analita de mercado coleta informaçõe de uma amotra aleatória de 00 cliente, do 400 que compraram uma oferta epecial. A 00 peoa gataram uma média de x $4, 57 na loja, com devio padrão de $ 6,60. Ante de ver ee reultado da amotra, o gerente havia afirmado que a média da compra feita por aquele que reponderam à oferta epecial teria ido de, no mínimo, $ 5,00. Pode-e rejeitar ea afirmação utilizando um nível de ignificância de %? 5. Um fabricante intereado na compra de um novo equipamento para produzir ferramenta epecificou que o equipamento não deve exigir, em média, mai do que 0 minuto de manutenção para cada hora de operação. O agente de compra viita uma companhia onde etá intalado o equipamento, e, pela informação que recolhe, nota que 40 hora de operação aleatoriamente elecionada incluem um total de 7 hora e 30 minuto de manutenção, endo que o devio padrão do tempo de manutenção por hora foi de 3,0 minuto. Com bae nete reultado amotral, pode-e rejeitar a hipótee de que o equipamento poui a epecificaçõe obre o tempo de manutenção, ao nível de ignificância de 5 %? Eboce o gráfico da ditribiuição normal explicitando a regiõe de aceitação e rejeição. 6. Uma cadeia de lanchonete intalará um novo etabelecimento em um local propoto e paarem pelo local, no mínimo, 00 carro por hora durante certo período do dia. Para 0 hora aleatóriamente elecionada durante tai período, o número médio de carro que paarem pelo local foi de x 08, 5 com devio padrão de 30. Supõe-e que a população etatítica eja aproximadamente normal. O gerente da cadeia de lanchonete adota, conervadoramente, a hipótee nula de que o volume de tráfego não atifaz a exigência, ou eja, H 0 : µ 00,0. Pode ea hipótee er rejeitada a um níveld e ignificância de 5%? 7. Suponha que o reultado amotrai do problema anterior ejam baeado em uma amotra de n 50 hora. Pode a hipótee nula er rejeitada ao nível de ignificância de 5%? 8. O valor médio da venda por etabelecimento varejita, durante o último ano de um particular produto, foi de x $3.45, 00 para uma amotra de 5 etabelecimento. Com bae em dado de venda em outro produto imilare, upõe-e que a ditribuição da venda eja normal e que o valor do devio padrão da amotra eja de $ 00,00. Suponha que tenha ido afirmado que o verdadeiro valor da venda no etabelecimento é no mínimo de $ 3.500,00. Tetar ea afirmação ao nível de ignificância de: a) 5% b) % 9. Uma amotra de 50 firma tomada de uma particular indútria, o número médio de empregado por firma é de 40,5 com devio padrão amotral de 55,7. Exitem ao todo 380 firma neta indútria. Ante que o dado foem coletado, foi feita a hipótee de que o número médio de empregado por firma, neta indútria, não era uperior a 408. Tetar a hipótee ao nível de ignificância de 5%. 3

17 FATEC 4 0. Suponha que o analita do problema anterior ignorae o uo do fator de correção finita para determinar o valor deo erro padrão da média. Qual teria ido o reultado do tete, ainda uando o nível de ignificância de 5%?. Uma amotra de aleatória de 30 empregado no nível II de Secretariado foi ubmetido a um tete de datilografia. O reultado da amotra ão: x 63, 0 ppm (palavra por minuto) e 5,0 ppm. Tetar a hipótee nula de que a ecretária, em geral, não ultrapaam uma velocidade de datilografia de 60 ppm, uando um nível de ignificância de %.. Um analita de departamento de peoal eleciona aleatoriamente o regitro de 6 empregado horita e acha um alário médio horário de x $7, 50 com um devio padrão de $,00. Supõe-e que o alário da firma ejam normalmente ditribuído. Tetar a hipótee nula H 0 : µ $ 8,00 uando um nível de ignificância de 0%. 4

18 FATEC 5 Exercício - Revião. Uma população conta de 4 número: 3, 7, e 5. Coniderar toda a amotra poívei de elemento, que podem er retirada com repoição. Determinar: a) A média populacional. b) O devio padrão da população. c) A média da ditribuição amotral da média. d) O devio padrão da ditribuição amotral da média. Dado: µ µ x x P p ; <0% x P. Para cada dado, encontre o intervalo de confiança para a média populacional µ. e refere ao tamanho da amotra. x Intervalo de Confiança (%) Conidere uma imulação feita em um computador em que em uma amotra de 00 elemento de uma população de média 50 e devio padrão 5. O número de elemento da população é muito maior que o da amotra. Contrua o intervalo de confiança de 95%. 4. Um médico quer etimar o tempo médio que um determinado paciente epera para uma conulta. Uma amotra de 50 paciente motraram uma média de epera de 3,4 minuto e devio padrão de 7. minuto. Encontre o intervalo de confiança de 95% para a média µ 5. Um aceor de uma determinada cidade deeja etimar o valor médio de caa em um certo bairro. A média previamente conhecida é de $3500,00. Uma amotra randômica de 40 caa no bairro, motraram uma média de $9400,00 e devio padrão de $ 635,00. a) Encontre um intervalo de confiança para a média de 95%, aumindo que há 0 caa no bairro. Faça o gráfico da ditribuição gauiana indicando o valore do intervalo para a média populacional, µ, uando a ( x µ ) i expreão: Y i e e localize a média π amotral nee gráfico. b) Encontre um intervalo de confiança para a média de 95%, aumindo que há 000 caa no bairro. Faça o gráfico da ditribuição gauiana indicando o valore do intervalo para a média populacional, µ, uando a ( x µ ) i expreão: Y i e e localize a média π amotral nee gráfico. Utilize a aproximação de que < 0% p. 6. Tete onoro feito em 40 veículo indicaram uma média de 65 decibéi e devio padrão de 6 decibéi. a) Encontre um intervalo de 90% de confiança para a média. b) Quai ão o limite de confiança? Ano 7. O dado a eguir indicam para algun dado econômico para o Brail. PIB($) (bi) Creci mento (%) Renda per capita ($) Crec iment o (%) , , , , , , , , , , , 4883, ,8 4949, , 509, a) Utilizando uma média do último ano, faça uma projeção para o PIB e renda per capita para o ano de 998 e 999. b) Determine agora a média e o devio padrão do 0 ano. Utilize: 5

19 FATEC 6 µ i x i i ( xi µ ) c) Contrua um hitograma para o PIB e a renda per capita. Indique o valore da média. d) Contrua a função gauiana que repreenta o Pib e a renda per capita. Atravé dela etime o valore do PIB e renda per capita para o ano de 998 e 999. Compare com o valore da tabela. e) Contrua um intervalo de confiança de 95% para a média do PIB e a renda per capita. O valore de 999 etão dentro do limite de confiança? 8. Para tetar a hipótee de que a moeda é honeta, adota-e a eguinte decião: (3) Aceita-e a hipótee, e o número de cara em uma única amotra de 00 lance, etiver dentro de um intervalo de confiança de 95%. (4) Rejeitá-la, cao contrário. a) Contrua o intervalo de confiança, uando a aproximação normal para a ditribuição binomial. b) Determine o número de cara correpondente. b) Que concluõe e poderiam tirar do fato de uma amotra de 00 lance apreentar 53 cara? 60 cara? 0 cara? 78 cara? Dado: µ p : (p:probabilidade de obter-e uceo em um lançamento) pq : (q:probabilidade de inuceo em um lançamento (q - p)) µ z Repita o problema para 99% de confiança. 9. Uma experiência obre percepção extra-enorial (P.E.S), um ujeito, em uma ala, é olicitado a declarar a cor vermelha ou preta de uma carta ecolhida, de um baralho bem embaralhado de 50 carta, por outro indivíduo colocado na mema ala. O ujeito deconhece quanta carta vermelha ou preta há no baralho. Se o ujeito identifica corretamente 3 carta, determinar e o reultado ão ignificativo, no nívei de ignificância de: c) 0,05 d) 0,0 0. Um determinado tipo de plático poui uma reitência de 7 e um devio padrão de 5 libra por polegada quadrada ( libra kg ). Um novo proceo erá deenvolvido ubtituindo o antigo, providenciando uma ignificativa mudança na reitência do plático. Uma amotra de 40 peça feita com o novo proceo dá uma média de 30 libra por polegada quadrada. Aumindo devio padrão de 6 há uficiente evidência para ugerir que a reitência do produto aumentou a 5% de ignificância?. Um indutrial gotaria que eu produto eteja pronto em pelo meno 700 hora. Ele epera que eu produto não atrae muito nem e adiante muito em relação a 700 hora. uma amotra de 48 produto obteve-e média de 675 h e devio padrão de 77 h. Faça o tete a % de ignificância.. Um pediatra mede um parâmetro de recordação relativo a eu 38 paciente. Ele epera que eu reultado eja menor que a média empre adotada, de 6.5 dia. O reultado amotrai obtido ão: Uando um nível de ignificância de 5%, contrua o intervalo de confiânça e em eguida faça o tete de hipótee explicitando a hipótee nula e a alternativa. Indique na gauiana a média amotral. 3. O proprietário de uma emprea de máquina de copiar utiliza frequentemente, um modelo de máquina denominado DW 40. O proprietário etá intereado em decidir nâo utilizar ee modelo cao a média do trabalho executado pela máquina exceder 40 min. Ele mediu o tempo de trabalho da máquina para 36 trabalho: Ue um nível de ignificância de 5% para decidir e o proprietário utilizará o modelo DW40 para eu trabalho. 4. Um procedimento de treinamento datilográfico padrão baeia-e em 64 palavra datilografada por minuto. Um intrutor analiou 38 candidata a ecretária e encontrou o eguinte reultado (palavra por minuto): 6

20 FATEC Uando uma ignificância de 5% pode o intrutor afirmar que a ete nível a média eja diferente de 64? 5. Há dua medida de preão anguínea utilizada em exame: a correpondente à ítole, quando o múculo do coração etá contraindo e `a diátole, quando o múculo do coração etá relaxado. Para adulto joven, a preão ítole/diátole vale 0/74 mm de Hg. Ea preão tende a aumentar com a idade. Para homen de ano e encontra a 30/84. Algun médico etudaram a preão anguínea para algun (4) atleta em determinada univeridade e encontraram uma preão média (ítole/diátole) de 3/80 mm Hg). Utilizando uma ignificância de % verifique e ea média etá na região de aceitação ou rejeição e ecreva a hipótee nula e alternativa: 5.) Para a preão correpondente à ítole: a) Comparada com adulto joven e devio padrão de mm Hg. b) Comparada com adulto joven e devio padrão de 4 mm Hg. c) Comparada com homen de ano e devio padrão de mm Hg. d) Comparada com homen de ano e devio padrão de 4 mm Hg. 5.) Para a preão correpondente à diátole: e) Comparada com adulto joven e devio padrão de mm Hg. f) Comparada com adulto joven e devio padrão de 4 mm Hg. g) Comparada com homen de ano e devio padrão de mm Hg. h) Comparada com homen de ano e devio padrão de 4 mm Hg. Exercício - Tete de Hipótee 4. Uma companhia de ônibu avia que o tempo de viagem entre dua cidade é de 50 min. Um grupo de conumidore reclamou que o tempo médio era maior que 50 minuto, atraando aim eu compromio. Uma amotra de 40 viagen motrou uma média de 53 minuto e um devio padrão de 7,5 min. Uando um nível de ignificância de 5%, há evidência uficiente para crer no grupo? H 0 : µ 50 min ;H a : µ > 50 min 7,5 min Como H a apreenta inal > o tipo do tete é de "cauda direita". Gráfico de: ( 50) x (7,5) e π Região de aceitação de H 0 Região de rejeição a H 0 Região de aceitação de H 0 Região de rejeição a H Contrução do intervalo de confiança: z α0,05, µ + z C

21 FATEC Como 53 pertence à regiãod e rejeição, rejeita-e H o, ou eja, o grupo etá certo a um nívelde confiança de 95%. Podemo também utilizar a variável reduzida: z x a µ z Como.598 >.645, rejeita-e H 0 a um nível de confiança de 95%.. Uma picóloga quer confirmar ua crença que criança maltratada teriam elevado nívei de depreão. Ela dá um tete chamado de POMS (Profile of Mood State) parta uma amotra de 50 criança abuada. O reultado motraram um ecore de depreão média de 7.3 e um devio padrão de 5.4. A um nível de 5%, pode-e concluir que, a criança abuada, têm em geral um nível de depreão maior de 5 (que é a média para etudante de colégio)? µ + z C Decião: Como 7.3 > 5, rejeita-e H 0, ou eja, aceita-e H a de que µ > O proprietário de uma emprea perfuradora de poço arteiano upeita que, para um determinado tipo de olo, a profundidade média na qual e encontrava água era inferior a 500 pé. Perfuraçõe realizada em 3 regiõe diferente motraram uma média de 486 pé e um devio padrão de 53 pé. A um nível de ignificância de %, é jutificada a upeita do proprietário? H 0 µ 500 pé; H a : µ < 500 pé Como H a contém <: Tete unilateral cauda equerda.,645 H 0 : µ 5; H a µ > 5 Tete unilateral cauda direita. Contrução do intervalo de confiança: z α0,05 Contrução do intervalo de confiança: z α0,0,33 53 µ + z C (.33) Rejeição a H 0 Aceitação a H Gráfico de: ( 500) x (53) e π 53 Como 486 pertence à região de aceitação, aceita-e H 0 a um nível de confiança de 5%, ou eja a média da profundidade de perfuração de poço arteiano é de 500 pé. 4. Um determinado tipo de plático poui uma reitência de 7 e um devio padrão de 5 libra por polegada quadrada ( libra.