Universidade Federal do Rio de Janeiro. Escola Politécnica. Departamento de Engenharia Eletrônica e de Computação

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1 Univeridade Federal do Rio de Janeiro Ecola Politécnica Departamento de Engenharia Eletrônica e de Computação Análie e controle de itema de fae não-mínima e de itema com tempo morto Autor: Orientador: Examinador: Examinador: Danielle Levy Jomar Gozzi, M. Sc. Heraldo Luí Silveira de Almeida, D. Sc. Joé Gabriel Rodriguez Carneiro Gome, Ph. D. DEL Abril de 009

2 ii Ao meu querido pai, à minha irmã e ao meu marido.

3 AGRADECIMENTOS Primeiramente gotaria de agradecer ao meu pai, que empre me apoiaram na univeridade e em toda a minha vida. Sem ua orientação e motivação não teria alcançado tanta conquita. Não poo deixar de agradecer ao meu marido, Gabriel, que empre eteve ao meu lado, com motivação e cobrança quando neceário. Precio agradecer também ao profeore Heraldo e Joé Gabriel, avaliadore dete trabalho, pela prontidão que tiveram em me ajudar na apreentação do trabalho. É muito bom poder contar com peoa como ele que etão empre dipoto a ajudar a todo. Um agradecimento mai que epecial para o meu profeor e orientador Jomar Gozzi, que mai que um orientador, foi um verdadeiro amigo. Sempre dipoto a me ater e me ajudar quando eu mai preciava, acrificando muita veze tempo de ua vida particular para e dedicar a mim e a ete projeto. Não há palavra para agradecer ao profeor Jomar. Sempre erei grata a ele por tudo io. E finalmente, não poo deixar de agradecer ao criador, noo D único, que no criou e no dá vida todo o dia para continuarmo eguindo com noa vida da melhor forma poível. iii

4 RESUMO Ete trabalho trata da análie e do controle de itema com tempo morto e de itema de fae não-mínima. Em itema de fae não-mínima, analia-e a influência do zero, motrando uma intereante emelhança do efeito dete zero com o efeito do tempo morto em itema com atrao de tranporte. Apreenta-e a eficiência do uo do Preditor de Smith em itema com tempo morto e, com bae na emelhança de comportamento entre itema com tempo morto e itema de fae não-mínima, ete-e ua aplicação a itema de fae não-mínima. Procedimento de projeto de controle ão apreentado para itema com tempo morto com o uo da aproximação de Padé. Conidera-e atentamente o problema do underhoot em itema de fae nãomínima. Com uma breve introdução ao uo de controle não linear, ão abordada técnica de controle utilizando ganho variávei com o erro. Palavra-Chave: fae não-mínima, tempo morto, Preditor de Smith, aproximação de Padé. iv

5 ABSTRACT The purpoe of thi project i to analyze and tudy the control of dead-time ytem and nonminimum phae ytem. About nonminimum phae ytem, the influence of the zero pot will be analyzed, howing an intereting imilarity between the effect of thee pot and deadtime effect in ytem with tranport delay. There will be hown the efficiency of the Smith Predictor Method in dead-time ytem, and it application in nonminimum phae ytem, baed on the imilarity of behavior of thee two kind of ytem. Procedure for project control will alo be preented for dead-time ytem uing Padé approximation. Thi project pay pecial attention to the underhoot problem in nonminimum phae ytem. After a brief introduction to the ue of nonlinear control, control technique that ue error-depent gain are decribed. Key-word: nonminimum phae ytem, dead-time ytem, Smith Predictor, Padé approximation. v

6 Sumário Introdução.... Decrição do documento... Revião Teórica.... Sitema com Tempo Morto.... Sitema de Fae Não-Mínima... 8 Análie de Sitema de Fae Não-Mínima.... Sitema com um zero..... Sitema de ª ordem..... Sitema de ª ordem Sitema de ª ordem com pólo diferente Sitema com doi zero.... Sitema com trê zero....4 Influência de pólo e zero Análie de pólo e zero Quantidade de zero Localização de zero Quantidade de pólo Localização de pólo Análie de Sitema com Tempo Morto Tempo morto real Aproximação por érie de Taylor Aproximação de Padé Controle Etabilidade em itema com tempo morto Uo do critério de etabilidade de Nyquit Uo do critério de etabilidade de Hurwitz Preditor de Smith Etabilidade em itema de fae não-mínima Controle Proporcional vi

7 5.. Preditor de Smith em itema de fae não-mínima Erro etacionário e Repota tranitória em itema com tempo morto Ajute de controle pelo método Ziegler-Nichol Projeto de Controle com aproximação de Padé Preditor de Smith Erro etacionário e Repota tranitória em itema de fae não-mínima Ajute de controle pelo método Ziegler-Nichol Projeto analítico de controle Preditor de Smith O problema epecífico do underhoot Controle inicial negativo Filtro em érie com a entrada degrau Controle não linear Concluão... 0 Bibliografia Apêndice A Código do Matlab para gerar gráfico do projeto vii

8 Lita de Figura Figura. Aproximação do tempo morto por pólo de ordem n... 4 Figura. Aproximação do tempo morto por Padé de ª ordem Figura. Aproximação do tempo morto por Padé de ª ordem Figura.4 Aproximação do tempo morto por Padé de ª ordem Figura.5 Exemplo de um circuito em ponte Figura.6 Exemplo de itema de ª ordem com um zero Figura. Diagrama de bloco para itema de ª ordem com um zero e entrada degrau unitário... Figura. Repota no tempo para itema de ª ordem variando a localização do zero.... Figura. Repota em freqüência para itema de ª ordem variando a localização do zero Figura.4 Repota no tempo para itema de ª ordem com pólo múltiplo variando a localização do zero... 7 Figura.5 Repota em freqüência para itema de ª ordem com pólo múltiplo variando a localização do zero... 7 Figura.6 Repota no tempo para itema de ª ordem variando a localização de um do pólo... 9 Figura.7 Repota no tempo para itema de ª ordem com pólo diferente variando a localização do zero... 0 Figura.8 Repota em freqüência para itema de ª ordem com pólo diferente variando a localização do zero... Figura.9 Repota no tempo para itema de ª ordem variando a localização do doi zero.... Figura.0 Repota em freqüência para itema de ª ordem variando a localização do doi zero.... Figura. Repota no tempo para itema de 4ª ordem variando a localização do trê zero... Figura. Repota em freqüência para itema de 4ª ordem variando a localização do trê zero Figura. Repota no tempo para itema com um, doi e trê zero Figura.4 Repota em freqüência para itema com um, doi e trê zero viii

9 Figura.5 Repota no tempo para itema de ª ordem variando a localização do doi diferente zero Figura.6 Repota em freqüência para itema de ª ordem variando a localização do doi diferente zero... 0 Figura.7 Repota no tempo para itema com um e doi zero... Figura.8 Repota no tempo para itema de ª, ª e ª ordem e omente um zero..... Figura.9 Repota no tempo para itema de ª e ª ordem... Figura.0 Repota no tempo para itema de ª e ª ordem em outra ecala.... Figura. Repota em freqüência para itema de ª e ª ordem Figura. Repota no tempo para diferente itema manto a ditância relativa entre pólo e zero Figura. Repota em freqüência para diferente itema manto a ditância relativa entre pólo e zero Figura.4 Sobrepoição da repota no tempo para itema variando o pólo e variando o zero Figura.5 Sobrepoição da repota em freqüência para itema variando o pólo e variando o zero Figura 4. Repota no tempo para itema com atrao... 9 Figura 4. Repota em freqüência para itema com atrao Figura 4. Repota no tempo para itema com aproximação de Taylor para o atrao Figura 4.4 Repota em freqüência para itema com aproximação de Taylor para o atrao Figura 4.5 Repota no tempo para itema com aproximação de Padé de ª ordem para o atrao... 4 Figura 4.6 Repota em freqüência para itema com aproximação de Padé de ª ordem para o atrao... 4 Figura 4.7 Repota no tempo para itema com aproximação de Padé de ª ordem para o atrao Figura 4.8 Repota em freqüência para itema com aproximação de Padé de ª ordem para o atrao Figura 4.9 Repota no tempo para itema com aproximação de Padé de ª ordem para o atrao ix

10 Figura 4.0 Repota em freqüência para itema com aproximação de Padé de ª ordem para o atrao Figura 4. Comparação da repota no tempo para itema com tempo morto e itema com aproximação de Taylor e de Padé...47 Figura 4. Comparação da repota no tempo para itema com tempo morto e itema com aproximação de Padé de 8ª ordem...48 Figura 5. Diagrama de bloco para controle proporcional obre itema com tempo morto Figura 5. Repota no tempo para controle proporcional obre itema com tempo morto Figura 5. Diagrama de Nyquit para itema com atrao Figura 5.4 Diagrama de bloco para Preditor de Smith aplicado obre itema com tempo morto Figura 5.5 Diagrama equivalente para Preditor de Smith Figura 5.6 Diagrama de bloco para imulação do Preditor de Smith aplicado em itema com tempo morto Figura 5.7 Simulação para ganho proporcional com Preditor de Smith aplicado em itema com tempo morto... 6 Figura 5.8 Simulação para ganho proporcional unitário com Preditor de Smith, variando a etimativa de atrao... 6 Figura 5.9 Simulação para ganho proporcional igual a 5 com Preditor de Smith, variando a etimativa de atrao... 6 Figura 5.0 Gráfico a partir de imulaçõe para ganho crítico correpondente a atrao etimado... 6 Figura 5. Diagrama de Root Locu para o itema de fae não-mínima Figura 5. Ganho proporcional crítico para itema de fae não-mínima Figura 5. Diagrama de bloco para Preditor de Smith aplicado obre itema de fae não-mínima Figura 5.4 Aumento do ganho proporcional com uo do Preditor de Smith em itema de fae não-mínima Figura 5.5 Simulação para ganho proporcional igual a 0 com Preditor de Smith, variando a etimativa de pólo do itema de fae não-mínima Figura 5.6 Simulação para ganho proporcional igual a 0 com Preditor de Smith, variando a etimativa do zero de fae não-mínima x

11 Figura 5.7 Diagrama de bloco de controle PID em itema com tempo morto Figura 5.8 Controle PI ajutado pelo método de Ziegler-Nichol para itema com tempo morto... 7 Figura 5.9 Controle PID ajutado pelo método de Ziegler-Nichol para itema com tempo morto... 7 Figura 5.0 Comparação entre controle P, PI e PID ajutado pelo método de Ziegler- Nichol para itema com tempo morto Figura 5. Diagrama de Root Locu para itema com tempo morto Figura 5. Controle PI para itema com tempo morto calculado com a aproximação de Padé Figura 5. Diagrama de bloco equivalente para controle com Preditor de Smith em itema com tempo morto Figura 5.4 Diagrama de bloco para controle PI com Preditor de Smith em itema com tempo morto Figura 5.5 Controle PI com Preditor de Smith calculado para itema com tempo morto Figura 5.6 Controle PI com Preditor de Smith, variando a etimativa do atrao no tempo Figura 5.7 Controle PI com Preditor de Smith, variando a etimativa do pólo do itema com tempo morto... 8 Figura 5.8 Diagrama de bloco para controle PI em itema de fae não-mínima... 8 Figura 5.9 Controle PI ajutado pelo método de Ziegler-Nichol para itema de fae não-mínima... 8 Figura 5.0 Diagrama de bloco para controle PID aplicado em itema de fae nãomínima Figura 5. Controle PID ajutado pelo método de Ziegler-Nichol para itema de fae não-mínima Figura 5. Controle PI calculado para itema de fae não-mínima Figura 5. Controle PI para itema de fae não-mínima, variando o ganho proporcional Figura 5.4 Controle PI para itema de fae não-mínima, variando o ganho do integrador Figura 5.5 Diagrama de bloco para controle PI com Preditor de Smith aplicado em itema de fae não-mínima xi

12 Figura 5.6 Controle PI com Preditor de Smith calculado para itema de fae nãomínima Figura 5.7 Controle PI com Preditor de Smith, variando a etimativa do zero de fae não-mínima Figura 5.8 Controle PI com Preditor de Smith, variando a etimativa do pólo do itema de fae não-mínima... 9 Figura 5.9 Sinal de controle inicial negativo, trocando para um valor poitivo... 9 Figura 5.40 Controle inicial negativo aplicado em itema de fae não-mínima Figura 5.4 Controle de uceiva troca entre nível negativo e poitivo aplicado em itema de fae não-mínima Figura 5.4 Diagrama de bloco para filtro inerido em érie com a entrada e controle PI aplicado em itema de fae não-mínima Figura 5.4 Sinal de aída para controle PI com filtro inerido em érie com a entrada, para itema de fae não-mínima Figura 5.44 Controle PI com Preditor de Smith aplicado obre itema de fae nãomínima Figura 5.45 Diagrama do controle não linear com Preditor de Smith aplicado obre itema de fae não-mínima Figura 5.46 Sinai de erro, controle e aída para controle não linear com Preditor de Smith aplicado Figura 5.47 Sinai de erro, controle e aída para controle não linear com Preditor de Smith com ganho proporcional variando com função do erro Figura 5.48 Sinai de erro, controle e aída para controle não linear com Preditor de Smith com ganho proporcional variando com função linear do erro xii

13 Lita de Tabela Tabela. Tabela de Padé para a função exponencial... 5 Tabela 5. Tabela de Ziegler-Nichol para ajute de controle... 7 xiii

14 Introdução Ete trabalho abordará análie e controle de itema com tempo morto e itema de fae não-mínima. Eta clae de itema aparecem em proceo indutriai e apreentam dificuldade epeciai em eu controle. Muito procedimento excluem a aplicação a itema de fae não-mínima e a itema com tempo morto. Em grande parte do texto de controle, ete itema ão pouco coniderado, e quando aparecem ão tratado uperficialmente. Nete documento erão dicutida mai extenivamente a caracterítica de itema com tempo morto e itema de fae não-mínima. Será feita uma análie obre a influência do zero em itema de fae nãomínima, também avaliando como o pólo contribuem nete itema. Em itema com tempo morto, erão utilizada aproximaçõe para o fator tempo morto. A aproximação de Padé para tempo morto ubtitui ete fator por pólo e zero []. Será detacada uma intereante emelhança entre o efeito do tempo morto em itema com atrao de tranporte e o efeito de zero em itema de fae não-mínima. Ao dicutir obre controle, erão tratado o limite da etabilidade, levando em conideração a retriçõe cauada pelo tempo morto e por zero de fae não-mínima. Para io, erão utilizado o critério de etabilidade de Nyquit [4] [] e de Hurwitz [], a fim de definir o ganho crítico para itema com tempo morto. Eta dicuão também apreentará o método de compenação do atrao denominado Preditor de Smith [6] [9], avaliando ua eficiência. Coniderando a emelhança entre itema com tempo morto e itema de fae não-mínima, a aplicação do Preditor de Smith erá etida a itema de fae não-mínima. Apó etudar a etabilidade, o aunto tratado erão eliminar o erro etacionário e melhorar o deempenho da repota tranitória. Em primeiro lugar erá aplicado um procedimento empírico cláico para ajutar controladore PI e PID. Ete procedimento propoto por Ziegler-Nichol é chamado de Método da enibilidade limite [9], e erá etido também a itema de fae não-mínima, eguindo a idéia de que tempo morto e zero de fae não-mínima e aemelham. Para projeto de controle analítico, o tempo morto erá ubtituído por uma aproximação de Padé, contornando a dificuldade apreentada pelo fator exponencial. O

15 controle cláico PI e PID erão calculado, aim como erá feito para itema de fae não-mínima. O preditor de Smith erá utilizado na tentativa de melhorar o deempenho do itema de controle. Ete método também erá aplicado em itema de fae não-mínima. Sobre o underhoot preente na repota de itema de fae não-mínima, erá verificado por reoluçõe analítica que não é poível anular ete comportamento, poi a olução obtida não é executável. Um controle intuitivo erá aplicado, com intuito de inverter inicialmente a entrada para reolver o underhoot, porém em êxito. Para uma olução poível, um filtro erá colocado em érie com a entrada, com objetivo de uavizar o alto na entrada, atenuando o underhoot. Com uma pequena introdução a controle não-linear, erão utilizada regra de controle com ganho variávei com o erro.. Decrição do documento Ete trabalho ditribui-e em ei capítulo. O capítulo traz uma introdução teórica de itema com tempo morto e de fae não mínima, explicitando ua principai caracterítica e comportamento. No capítulo é feita uma ampla análie de itema de fae não mínima para etabelecer o fatore reponávei pela particularidade encontrada nete itema. Para io, repota no tempo e repota em freqüência ão gerada para diferente localizaçõe e quantidade de pólo e zero. O 4º capitulo analia o tempo morto, apreentando poívei ubtituiçõe para ete fator. Diferente forma de controle encontram-e no capítulo 5, começando por tratar a etabilidade e em eguida o erro etacionário e a fae tranitória da aída, tanto para itema com tempo morto quanto para itema de fae não-mínima. O último capítulo apreenta a concluõe obtida com a análie e controle do itema.

16 Revião Teórica Nete capítulo erá feita uma revião de itema com tempo morto e itema de fae não-mínima, detacando ua principai caracterítica. Como padrão nete trabalho, erá utilizado um degrau unitário como entrada, aplicado apó uma unidade de tempo para melhor viualizar o início da repota no tempo. A ecala padrão nete trabalho para repota no tempo é a faixa de 0 a 0 unidade de tempo.. Sitema com Tempo Morto Ao aplicar uma entrada em malha aberta a um itema com tempo morto, durante um intervalo de tempo o itema não reage. Ete período correponde ao próprio tempo morto. Em geral, a repota traniente de um itema começa imediatamente apó a aplicação da entrada. Entretanto, no cao do tempo morto a aída permanece nula por um intervalo de tempoθ. No domínio da tranformada de Laplace, ete atrao de tempo entre a entrada e a aída é decrito pela função de tranferência e θ. Atrao de tranporte, ou tempo morto θ, pode er definido como um itema cujo inal de aída é idêntico ao inal de entrada, porém atraado de um intervalo finito de tempo θ. Por exemplo, eja c ( t) reultante do atrao ofrido por ( t) c ( t) r ( t θ ) θ ( ) R( ) e C r : Coniderando omente o fator atrao: G G θ ( ) e j ω θ ( jω) e

17 ( jω) G( jω) ωθ G A amplitude da aída é igual à da entrada e a defaagem da aída em relação à entrada é proporcional à freqüência de excitação. A etabilidade é uma caracterítica fundamental para todo tipo de itema. Para manipular um itema, é precio em primeiro lugar garantir que ete eja etável. Para analiar a etabilidade de itema com atrao de tranporte, pode-e exprear o fator exponencial e e θ θ lim n pelo limite: n θ n Utilizando um fator finito para n, a função é aproximada por um pólo de ordem n localizado em n θ []. Para ilutrar eta aproximação, egue imulação abaixo. Figura. Aproximação do tempo morto por pólo de ordem n. Há outra aproximação batante conhecida e utilizada ao trabalhar com itema com tempo morto: a Tabela de Padé. Eta tabela é uma coleção de funçõe racionai 4

18 5 aproximada para diferente grau de numerador e denominador. A Tabela de Padé para a função x e apreenta-e a eguir. x! x x!! x x x x x x x x x! x x x x 4! 4! 4 4! x x! x x x! 6! 6 x x x x! 0 5! 0! 0 5 x x x x x!! x x x! 4! x x x x! 0! 0 5! 0 5 x x x x x! 0! 5! 0! 5 x x x x x x 4!!! 4 x x x x 4! 5! 5! x x x x x 4! 5! 5! 5! 5 4 x x x x x x 4! 5! 5 4! 7 7 4! 5! x x x x x x x Tabela. Tabela de Padé para a função exponencial Fonte: Truxal, J.G. []. A aproximaçõe de Padé ão repreentada por coeficiente, obtido com a função do Matlab pade(t,n), definindo o atrao T e a ordem N de aproximação. Abaixo, imulaçõe para repota ao degrau da aproximação de Padé para ª, ª e ª ordem, comparada ao inal original atraado de 5 θ.

19 Gráfico com a aproximação de Padé de ª ordem: Figura. Aproximação do tempo morto por Padé de ª ordem. Aproximação de Padé de ª ordem: Figura. Aproximação do tempo morto por Padé de ª ordem. 6

20 Aproximação de Padé de ª ordem: 4 Figura.4 Aproximação do tempo morto por Padé de ª ordem. A aproximação de Padé de ª ordem é geralmente uada para analiar itema com tempo morto. Eta aproximação erá, portanto adotada nete trabalho, para poibilitar deenvolvimento analítico, implificando o cálculo. 7

21 . Sitema de Fae Não-Mínima Nete projeto, conideram-e itema lineare etávei, cujo pólo e localizam no emi-plano equerdo do plano complexo. Na maioria do cao coniderado na literatura, o zero do itema também e encontram à equerda do eixo. Sitema lineare de fae não-mínima ão o itema com função de tranferência apreentando zero no emi-plano direito aberto do plano. Ee tipo de itema é encontrado em circuito elétrico em ponte, termômetro de bulbo, aeronave, barco, etc. [] [] Um zero à direita contribui com atrao de fae, da mema forma que um pólo à equerda também atraa a fae. A preença de zero no emi-plano direito (SPD) reulta em uma fae mai negativa que o cao de não exitir zero à direita, ou ainda com a localização de zero à equerda, poi ete último adianta a fae. O itema de fae nãomínima correpondem a uma defaagem mai acentuada em relação à defaagem mínima. Quando e compara a variação de fae de um itema com zero no SPD e outro com zero no emi-plano equerdo (SPE), oberva-e que a variação de fae de um itema com todo o zero no emi-plano equerdo é empre menor, com ω variando de zero a infinito. Portanto, a função de tranferência com todo o eu zero no SPE é dita de fae mínima. Ela é chamada de função de tranferência de fae não-mínima e tiver zero no emi-plano direito. O ignificado do termo fae mínima deve er entido como o a menor variação poível de fae para uma dada curva de módulo. [] [0] Para um pólo em Fae ω j tan a a (SPE): ω a Coniderando um zero em a, ou eja, SPD: Módulo jω jω a a Fae jω tan a ω a ω a 8

22 Um zero à direita contribui com o memo módulo que um zero à equerda, ma a fae de um zero no SPD correponde à contribuição de fae de um pólo no emi-plano equerdo. Para melhor compreer o conceito de itema de fae não-mínima, egue um exemplo. Circuito em ponte 5 Figura.5 Exemplo de um circuito em ponte. E E ( ) E ( ) E ( ) E ( ) E ( ) a b T T C R C ( ) E ( ), onde T RC R R C Repota em freqüência: ρ jωt jωt ω T ω T φ arctan ( ωt ) arctan( ωt ) arctan( ωt ) Quando ω 0, φ 0 ω, φ π Repota tranitória: Se E ( ) é um degrau unitário poitivo (ou eja, E ( ) valor inicial e do valor final permitem calcular: ), o teorema do 9

23 lim lim t 0 t e e ( t) lim T T T T ( t) lim 0 Para ilutrar ete exemplo, egue abaixo o gráfico de repota ao degrau para itema com pólo em - e zero em. 6 Figura.6 Exemplo de itema de ª ordem com um zero. Com ete gráfico percebe-e que o início da repota é negativo, contrário à referência poitiva, como foi dito obre ea clae de itema. 0

24 Análie de Sitema de Fae Não- Mínima Para analiar eta clae de itema conideram-e diferente quantidade de zero e pólo, variando ua poiçõe para enter o efeito de cada um dete fatore. Para tal, ão exibida repota no tempo e na freqüência, com intuito de abranger toda a importante caracterítica. O itema coniderado ão de grau relativo unitário, ou eja, o número de pólo upera em uma unidade o número de zero. Como exceção, para o itema de ª ordem o grau relativo erá nulo, poi apreentará um pólo e um zero de fae nãomínima.. Sitema com um zero Neta eção, ão avaliado itema com omente um zero. Dentre ete, itema com omente um pólo, pólo múltiplo e pólo diferente... Sitema de ª ordem A partir do itema com função de tranferência H ( ) em e zero em analiticamente: H U Y Y ( ) ( ) ( ) H ( ) U ( ) ( ) α α ( ) α, ito é, um pólo, a repota no tempo ao degrau unitário é deenvolvida α

25 Deenvolvo por fraçõe parciai: Y ( ) α Aplicando a tranformada invera de Laplace: y t t ( t) [ e e ] α u( t) Fazo agora uma generalização para um itema com um pólo em : H U Y ( ) ( ) α ( ) H ( ) U ( ) α ( ) Reolvo por fraçõe parciai: Y Y ( ) ( ) α α ( ) E aim L { Y ( ) } y( t) ( α ) e u( t) t O cálculo da repota no tempo motra que y ( t) começa em um valor negativo. Ete valor inicial é alterado ao mudar α ou. A expreão calculada para y ( t) é um valor contante mai outro fator. No primeiro cao, com pólo em - acontece um alto para α no início da repota. Ete comportamento é também obervado como a decontinuidade na imulação a eguir, para pólo em - e zero variando conforme diagrama abaixo.

26 7 Figura. Diagrama de bloco para itema de ª ordem com um zero e entrada degrau unitário. Variando o valor de α nete itema, a repota no tempo reulta em: 8 Figura. Repota no tempo para itema de ª ordem variando a localização do zero.

27 eguir: Coniderando o domínio da freqüência, o diagrama de Bode é apreentado a 9 Figura. Repota em freqüência para itema de ª ordem variando a localização do zero. Obervando o gráfico da repota à entrada degrau unitário no domínio do tempo, nota-e uma decontinuidade no início da curva. Ito e deve ao fato de haver o memo número de pólo e zero no itema, ou eja, um grau relativo nulo. A aída começa negativa e logo em eguida retoma eu comportamento eperado de eguir a entrada. Ete início contrário ao eperado é caracterítico de itema de fae não-mínima, como já foi motrado anteriormente. A poição do zero mai próxima à origem correponde a um valor de α maior. Como o underhoot nete cao é dado pelo valor de α, então para zero mai próximo à origem o underhoot é maior, o que é verificado tanto na reolução analítica quanto no gráfico. No diagrama de Bode, no gráfico de magnitude, o módulo fica mai negativo conforme o zero e afata da origem. O declive de -0dB/dec devido ao pólo em ω faz com que o módulo decreça até a freqüência em que o zero e encontra, com ua contribuição de 0dB/dec, anulando a inclinação do gráfico. Com ganho etático unitário, o módulo inicial é 0dB. 4

28 A curva em verde, para zero em, é o cao de pólo e zero imétrico, o memo cao da ilutração exibida no capítulo anterior. No gráfico de fae, quanto mai próximo o zero e encontra da origem, a defaagem ocorre em uma freqüência mai baixa. A fae do itema te a -80º, conforme a freqüência aumenta. Então, o zero contribui com uma fae correpondente a um pólo, por etar localizado no SPD. Nota-e que o efeito do zero é atenuado quando e encontra em freqüência mai alta. Relacionando a repota em freqüência com o efeito no tempo, quanto mai baixa a freqüência em que o zero e encontra, mai acentuado é o underhoot... Sitema de ª ordem Acrecentando um pólo ao itema etudado, reultando em doi pólo iguai em, calculando a repota ao degrau unitário: H U Y Y ( ) ( ) ( ) ( ) H ( ) U ( ) ( ) α α ( ) Deenvolvo por fraçõe parciai: Y ( ) α ( ) Aplicando a tranformada invera de Laplace: y t t [ t e ] u( t) ( t) e ( α ) 5

29 6 Para um itema com doi pólo iguai em : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U H Y U H α α Expandindo ( ) Y em fraçõe parciai: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Y C B A A C C B A A B B A C B B A A A C B A C B A Y α α α α α α ( ) ( ) ( ) Y α E pela tranformada invera de Laplace: ( ) ( ) t u e t e t y t t α

30 Simulando para o cao de doi pólo em - e zero em diferente poiçõe: 0 Figura.4 Repota no tempo para itema de ª ordem com pólo múltiplo variando a localização do zero. Figura.5 Repota em freqüência para itema de ª ordem com pólo múltiplo variando a localização do zero. Para itema de ª ordem não acontece mai decontinuidade. A preença do zero à direita reulta em um underhoot no início da repota. Obervando a repota no 7

31 tempo, é poível notar que a preença de zero próximo à origem gera underhoot mai acentuado, ratificando o que foi motrado na última ubeção. Para zero em 0. há um aumento na magnitude, depoi a curva egue com declive de -0dB/dec, poi a freqüência onde e encontra o zero é menor que a do pólo. Com um pólo a mai que o itema anterior, o módulo ofre a contribuiçõe: 0dB/dec do zero e -40db/dec devido ao doi pólo. O diagrama de Bode motra atrao de fae aconteco em freqüência mai baixa para zero próximo à origem, aim como no cao anterior com um zero e um pólo. A curva te para -70º, como e houvee trê pólo devido à preença do zero no emi-plano direito... Sitema de ª ordem com pólo diferente Coniderando agora doi pólo em poiçõe diferente, com um pólo fixo em - e outro pólo em N, calcula-e y ( t) : H U Y Y ( ) ( ) ( )( ) ( ) H ( ) U ( ) ( ) α α N ( )( ) N Deenvolvo por fraçõe parciai: Y Y ( ) ( ) ( α ) N N ( α ) N N αn N N N N N αn N ( N ) 8

32 Aplicando a tranformada invera de Laplace: y ( t) ( α ) N N e t αn e N N t u ( t) Supondo o egundo pólo longe do primeiro em -, com y y y ( t) ( α ) N N α t t ( t) e e u( t) t t ( t) [ e α e ] u( t) e t αn e N N t u ( t) N : Para N, ito é, o egundo pólo e afatando da origem e do outro pólo, a repota é a mema para o cao de itema com um pólo em -. Para ilutrar ete reultado, a eguir ão apreentada imulaçõe para itema com um pólo em e outro pólo em N, que erão comparada com imulaçõe de itema com apena um pólo. A figura abaixo motra a repota ao degrau para pólo e afatando. Para comparar o itema com doi pólo afatado e o itema com omente um pólo, egue abaixo a uperpoição da aída do itema citado: Figura.6 Repota no tempo para itema de ª ordem variando a localização de um do pólo. 9

33 O pólo que e afata da origem não influencia a repota do itema, quando te a infinito. O itema e comporta como e ete º pólo não exitie. Ete valor para pólo afatado é relativo à localização do pólo dominante, mai próximo à origem. So aim, ete cao com º pólo longe do pólo dominante recai na dicuão anterior de itema com pólo unitário. No gráfico com uperpoição para itema com um e doi pólo, percebe-e que quanto mai afatado o º pólo e encontra, mai a repota e iguala à de um itema com omente o º pólo. Quando o º pólo não etá tão afatado, nota-e diferença entre a curva, ma a emelhança da trajetória perite. No início da repota o itema com um pólo apreentam decontinuidade, ma o com doi pólo não. : Coniderando o itema com doi pólo, mai próximo entre i, em e Figura.7 Repota no tempo para itema de ª ordem com pólo diferente variando a localização do zero. 0

34 Repota em freqüência: 4 Figura.8 Repota em freqüência para itema de ª ordem com pólo diferente variando a localização do zero. Nete cao, o underhoot também aumenta conforme o zero e aproxima da origem. No diagrama de Bode, o módulo ofre a contribuiçõe 0dB/dec devido ao zero e -0dB/dec de cada pólo. Quanto à fae, o gráfico te para -70º como e o itema tivee trê pólo, já que zero no SPD atraa a fae aim como um pólo.. Sitema com doi zero H ( ) A partir de um itema com doi zero e trê pólo, com função de tranferência ( α ) ( ) ( ) :

35 Repota ao degrau no tempo 5 Figura.9 Repota no tempo para itema de ª ordem variando a localização do doi zero. Repota em freqüência 6 Figura.0 Repota em freqüência para itema de ª ordem variando a localização do doi zero.

36 Na repota no tempo, aparece um overhoot eguido de um underhoot, e então o itema buca eu valor final, ratreando a entrada degrau unitário. Com doi zero no itema, a repota ao degrau vai a poitivo, depoi a negativo, retornando a poitivo para chegar ao valor de referência. Ou eja, há uma troca de inal a mai do que no itema com um zero etudado anteriormente. O maior valor de underhoot, aim como também de overhoot, acontece para menore valore de zero à direita, como vito no cao anteriore. No diagrama de Bode, a curva de magnitude apreentam uma inclinação de -0dB/dec, apó a freqüência correpondente ao º pólo (em ), já que a contribuiçõe do doi zero e doi pólo coincidente e anulam. Quanto à fae, o gráfico te a -450º, correpondo à contribuição de cinco pólo; ou eja, trê pólo e mai doi zero no SPD.. Sitema com trê zero Para itema com trê zero e quatro pólo, egue função de tranferência e repota no tempo e na freqüência: H ( ) ( α ) ( ) ( ) 7 Figura. Repota no tempo para itema de 4ª ordem variando a localização do trê zero.

37 No gráfico acima aparecem trê inflexõe, viualizando um underhoot, eguido de overhoot e de um novo underhoot, mai atenuado. Há uma relação entre o número de zero do itema e a quantidade de underhoot e overhoot na repota. Para cada zero a mai, há um cruzamento a mai no eixo horizontal. A localização do zero mai próxima à origem, ou eja, em freqüência mai baixa, correponde a underhoot mai acentuado. 8 Figura. Repota em freqüência para itema de 4ª ordem variando a localização do trê zero. No diagrama de Bode, o trê zero contribuem com 60db/dec e o pólo em - com -40db/dec, aim como o pólo em - também acrecentam -40dB/dec. Quanto à freqüência, o zero e comportam como pólo e o gráfico te para -60º, como e foem ete pólo. 4

38 .4 Influência de pólo e zero Neta eção, erão analiado o comportamento de pólo e zero no itema de fae não-mínima e como ete ão reponávei pela mudança que ocorrem no itema. O número de zero e pólo preente e a localização do memo alteram caracterítica importante do itema, como erá vito a eguir..4. Análie de pólo e zero Para o itema com doi zero em analiticamente: H U Y ( ) ( ) ( ) ( α ) ( ) ( α ) ( ) α e trê pólo em -, reolvo Por fraçõe parciai: Y ( ) ( α ) ( ) 0 A B α α α A B A A ( ) ( ) ( ) B ( ) C ( ) ( ) A B A; B ; C α ; D ( α ) α A B C D D α α A C A B A C D A A B C α A D B B C C D Y ( ) α ( α ) ( ) ( ) 5

39 6 Aplicando a tranformada invera de Laplace: ( ) ( ) ( ) t u e t e t e t y t t t ) ( α α Coniderando o itema com doi zero em α e trê pólo em : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y U H α α Reolvo por fraçõe parciai: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α α α α α α α α α α α α E D C B B E E D C B A B D D B D C B A B C C B A A A B E D C B A D C B A C B A A E D C B A E D C B A Y

40 7 Aplicando a tranformada invera de Laplace: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) t u e t e t e t y Y Y t t t α α α α α α α α α 4 O underhoot preente na repota etá relacionado principalmente com a poição do zero, ma a localização do pólo também influencia. Com zero mai próximo à origem, o valor de α é maior, logo o overhoot e underhoot apreentado ão maiore, como foi obervado na eçõe paada. Afatando o pólo da origem, o memo que diminuir, o overhoot e o underhoot ão acentuado.

41 .4. Quantidade de zero Manto a diferença entre número de zero e pólo igual a um, varia-e a quantidade de zero (juntamente com a de pólo) para obter a repota no tempo abaixo. 9 Figura. Repota no tempo para itema com um, doi e trê zero. Cada zero no emi-plano direito é reponável por uma troca de inal da repota ao degrau. Io repreenta um underhoot ou overhoot a mai. É poível obervar no gráfico acima que para itema com um zero a repota apreenta uma troca de inal omente; ito é, a aída começa negativa e paa para poitiva. Com doi zero, a repota tem início poitivo, paa a negativo e volta a poitivo, totalizando dua troca de inal. Com trê zero, percebem-e trê troca de inal até a repota atingir a referência. Logo, a partir da repota no tempo, o número de zero no emi-plano direito indica o número de troca de inal da aída. Para um zero, há uma troca de inal, para doi zero dua troca de inal, e aim por diante. Nota-e também que maior quantidade de zero caua aumento do valor de underhoot e overhoot. 8

42 0 Figura.4 Repota em freqüência para itema com um, doi e trê zero..4. Localização de zero Uma caracterítica já indicada nete trabalho é que, conforme o zero à direita e aproxima da origem, maior é o underhoot inicial da repota ao degrau unitário. Para abordar outro efeito depente da poição do zero, o pólo ão mantido fixo em, -, e -, variando o doi zero: 9

43 Figura.5 Repota no tempo para itema de ª ordem variando a localização do doi diferente zero. Figura.6 Repota em freqüência para itema de ª ordem variando a localização do doi diferente zero. De acordo com o gráfico acima, para itema com doi zero, o um muito perto da origem e outro muito afatado, o underhoot é grande e o tempo de ubida 0

44 também. Como obervado anteriormente, a localização do zero muito próxima ao eixo reulta em underhoot acentuado e atrao de fae. Portanto memo que exita um egundo zero afatado, o zero mai próximo mantém ua influência obre o itema. Analiando a quetão de dominância do zero, fazo uma comparação dete itema com zero diferente e um itema com um único zero: Figura.7 Repota no tempo para itema com um e doi zero. No gráfico, o itema com doi diferente zero e o itema com omente o zero dominante apreentam a repota muito imilar, a meno do efeito de overhoot na preença do º zero. Ito evidencia que realmente o zero dominante é reponável pelo comportamento da repota, e localiza-e mai próximo à origem..4.4 Quantidade de pólo Para avaliar a influência do número de pólo em um itema, o gráfico abaixo motra itema com doi, trê e quatro pólo múltiplo em -, todo com zero em.

45 4 Figura.8 Repota no tempo para itema de ª, ª e ª ordem e omente um zero. O gráfico motra underhoot menor e repota mai lenta para maior quantidade de pólo. O inal de repota para quatro pólo apreenta pequeno underhoot e tempo de ubida alto, motrando que o underhoot diminui para maior quantidade de pólo e o tempo de repota etá relacionado ao número de ingularidade do itema. Nota-e que toda a curva eguem o memo comportamento, com um underhoot no início e uma troca de inal, em eguida ratreiam a referência. Ito reafirma que troca de inai e preença de underhoot e overhoot ão influência de zero e não de pólo. Da mema forma da análie da dominância de zero, a dominância do pólo é avaliada. Comparando um itema com doi pólo em poiçõe diferente e um itema com omente um pólo:

46 5 Figura.9 Repota no tempo para itema de ª e ª ordem. outra ecala: Para viualizar o tempo de etabilização de toda a curva, egue gráfico em 6 Figura.0 Repota no tempo para itema de ª e ª ordem em outra ecala.

47 7 Figura. Repota em freqüência para itema de ª e ª ordem. A partir do gráfico de repota no tempo, para o cao de doi pólo afatado conclui-e que o pólo mai próximo à origem é dominante, dado que ua curva de repota e equivale à repota para itema com omente ete pólo. Ete fato foi motrado anteriormente na reoluçõe analítica: quando o º pólo e afata do º o itema reponde como e pouíe omente um pólo, o mai próximo à origem. Quanto mai afatado um pólo etiver do pólo dominante, io ignifica que o pólo próximo da origem terá mai influência obre o itema, como e o º pólo não exitie. Para pólo dominante mai afatado do eixo, há maior underhoot e menor tempo de ubida (repota mai rápida). No diagrama de Bode, o itema com um pólo têm inclinação final nula, enquanto para doi pólo a inclinação é -0dB/dec. Para um pólo a curva te para fae -80º, e com um pólo a mai, para -70º. Na repota em freqüência não e oberva emelhança entre o itema como na repota no tempo. 4

48 .4.5 Localização de pólo Conforme apreentado anteriormente no trabalho, o pólo mai próximo à origem correponde a uma repota mai lenta, com menor underhoot e implica em antecipação do atrao. Coniderando-e que a ditância relativa entre pólo e zero é um fator importante para determinar underhoot ou atrao de fae, ão apreentado gráfico para diferente pólo e zero, manto a ditância entre ele. 8 Figura. Repota no tempo para diferente itema manto a ditância relativa entre pólo e zero. 5

49 9 Figura. Repota em freqüência para diferente itema manto a ditância relativa entre pólo e zero. No gráfico de repota no tempo o underhoot e a velocidade da repota parecem variar com a contribuiçõe eparada de zero e pólo, como já foram mencionada. Com o diagrama de fae, memo manto a ditância entre pólo e zero, há diferença no atrao da fae. Para pólo mai próximo da origem o atrao acontece em uma freqüência mai baixa. Então não há concluão obre influência da relação entre pólo e zero. Para fim de comparação, gráfico obrepoto do itema com um zero variando (e pólo fixo em -), e itema com um pólo variando (e zero fixo em ), a eguir. 6

50 0 Figura.4 Sobrepoição da repota no tempo para itema variando o pólo e variando o zero. Figura.5 Sobrepoição da repota em freqüência para itema variando o pólo e variando o zero. 7

51 O pólo mai próximo à origem apreenta menor underhoot e menor velocidade de repota. Já o zero afatado, menor underhoot e coneqüentemente maior rapidez na repota (coniderando que compenar o valor do underhoot demanda mai tempo). Percebe-e no gráfico da magnitude que pólo e zero imétrico apreentam inclinaçõe opota. No gráfico de fae, para pólo mai próximo à origem o atrao de fae ocorre ante, e para zero mai próximo à origem também. A curva para pólo e zero imetricamente opoto coincidem. Conforme pólo ou zero e aproximam da origem, há um adiantamento de fae. A poição do pólo e a poição do zero contribuem eparadamente no comportamento do itema. 8

52 4 Análie de Sitema com Tempo Morto Como motrado no capítulo introdutório, o tempo morto é freqüentemente abordado por uma aproximação, com intuito de facilitar etudo analítico do itema que apreentam ete fator. Aim como na análie feita no capítulo anterior, a entrada degrau unitário é aplicada apó uma unidade de tempo. 4. Tempo morto real Para avaliar a diferente abordagen neta clae de itema, toma-e como θ exemplo a função de tranferência G( ) e tempo e a repota em freqüência ão apreentada a eguir.. Com atrao θ, a repota no Figura 4. Repota no tempo para itema com atrao. 9

53 Figura 4. Repota em freqüência para itema com atrao. 4. Aproximação por érie de Taylor Para averiguar a poibilidade de ubtituir o tempo morto por uma aproximação, conheco a érie de Taylor para função exponencial: e x n 0 n x n! para todo x Subtituindo o tempo morto, encontra-e: e θ e θ θ ( θ ) ( θ ) 6 L Então, obtém-e a função de tranferência reultante: G ( ) ( L) ( ) θ ( θ ) Para imular o itema com eta repreentação, é precio truncar a érie em uma quantidade de termo finita. Limitando a érie em trê termo e coniderando o atrao de 40

54 tempo de uma unidade, o itema reulta em G( ) repota no tempo e a repota em freqüência repectivamente ão:. Aim, a ( )( ) 4 Figura 4. Repota no tempo para itema com aproximação de Taylor para o atrao. 5 Figura 4.4 Repota em freqüência para itema com aproximação de Taylor para o atrao. 4

55 Ao coniderar uma érie de ordem maior a repota e aproximam mai do gráfico para o tempo morto real, o uma aproximação mai precia quanto mai termo a érie apreentar. 4. Aproximação de Padé Com a aproximação de Padé de ª ordem para tempo morto, reviada anteriormente: e G θ ( ) θ θ θ θ ( ) Com eta abordagem, o gráfico no tempo e na freqüência para atrao de uma unidade de tempo apreentam-e a eguir: 6 Figura 4.5 Repota no tempo para itema com aproximação de Padé de ª ordem para o atrao. 4

56 7 Figura 4.6 Repota em freqüência para itema com aproximação de Padé de ª ordem para o atrao. Nota-e que com eta aproximação o tempo morto é ubtituído por um pólo à equerda e um zero à direita, e ainda que a repota no tempo apreenta um underhoot no início. Para aproximação de ª ordem: e θ x x 6! x x 6! Com θ : G ( )

57 Seguem o diagrama para ete cao: 8 Figura 4.7 Repota no tempo para itema com aproximação de Padé de ª ordem para o atrao. 9 Figura 4.8 Repota em freqüência para itema com aproximação de Padé de ª ordem para o atrao. Neta aproximação de ª ordem encontram-e doi pólo à equerda e doi zero à direita repreentando o atrao. Ocorre uma pequena ubida no início da repota no 44

58 tempo, eguida por uma queda e novamente ubida. Percebe-e a emelhança com a caracterítica de itema de fae não-mínima etudada no capítulo anterior, na preença de zero à direita e no comportamento da repota no tempo. Para ª ordem: e θ θ 5 θ 5 Com θ : ( θ ) ( θ )! ( θ ) ( θ )! 0 0!! G ( ) A repota nete cao ão: 40 Figura 4.9 Repota no tempo para itema com aproximação de Padé de ª ordem para o atrao. 45

59 4 Figura 4.0 Repota em freqüência para itema com aproximação de Padé de ª ordem para o atrao. Com eta terceira aproximação de Padé, oberva-e que conforme e utiliza maior quantidade de termo na aproximação, a precião também aumenta. 46

60 A eguir, uma comparação entre repota para itema com tempo morto e para a diferente aproximaçõe utilizada. Figura 4. Comparação da repota no tempo para itema com tempo morto e itema com aproximação de Taylor e de Padé. Nota-e que cada aproximação de Padé de ordem maior correponde a um cruzamento no eixo horizontal no início da repota no tempo. Coniderando uma aproximação de infinito termo, to ao valor real, ocorreria uma infinita uceão de cruzamento no eixo, reultando em um tempo inicial praticamente de repota nula. Para ilutrar ete comportamento, egue uma comparação entre a repota ao degrau para itema com tempo morto θ e repota para aproximação de Padé de 8ª ordem. 47

61 Figura 4. Comparação da repota no tempo para itema com tempo morto e itema com aproximação de Padé de 8ª ordem. Ete comportamento de troca de inal, obervado anteriormente em itema de fae não-mínima, motra que a aproximação de Padé repreenta o tempo morto por uma função de tranferência de fae não-mínima. Dee modo, o efeito gerado pelo tempo morto e aemelham ao efeito de um itema de fae não-mínima, uma vez que eta aproximação é coniderada uficiente para repreentar o tempo morto. 48

62 5 Controle Em um itema de controle é fundamental a etabilidade. A preença de tempo morto ou de zero de fae não-mínima é prejudicial à etabilidade de um itema. Portanto ete capítulo abordará a quetão da etabilidade, caracterítica eencial para todo projeto de controle. Com a etabilidade garantida, procura-e eliminar o erro em regime permanente e melhorar a repota tranitória do itema. O controle cláico PI cotuma er empregado com ee objetivo, e aqui também erá utilizado, aim como outro controle que erão deenvolvido adiante. Ao dicutir controle de itema de fae não-mínima, erá abordado itema com omente um zero a fim de implificar o deenvolvimento. 5. Etabilidade em itema com tempo morto O atrao na repota devido ao tempo morto impõe certa retriçõe no uo de controle. Ao utilizar um controle proporcional, o acrécimo no atrao de fae limita o ganho do controlador. Ito é, ao aumentar o ganho, para um dado valor o itema e torna intável. Ete valor limite que epara etabilidade e intabilidade, que te a diminuir conforme o atrao aumenta, implica em redução do controle para manter a etabilidade em malha fechada. Logo, conhecer o valor limite de controle que pode er empregado é fundamental. Na imulaçõe de controle de itema com tempo morto erá utilizada a entrada degrau unitário apó uma unidade de tempo, como no capítulo anteriore. Para o itema com tempo morto G( ) k e θ, aplica-e um controle proporcional como motra o diagrama abaixo: 49

63 4 Figura 5. Diagrama de bloco para controle proporcional obre itema com tempo morto. Para ete itema, a repota no tempo com atrao θ é: 4 Figura 5. Repota no tempo para controle proporcional obre itema com tempo morto. O tempo morto caua ocilaçõe para maiore valore de ganho proporcional, até um valor limite em que torna o itema intável. Então deve-e utilizar um valor baixo para o controle para manter a etabilidade. Na fronteira entre etabilidade e intabilidade exite um valor crítico para o ganho do controle, que pode er encontrado egundo o critério de Nyquit ou aproximado utilizando o critério de Hurwitz. Para analiar ete valor limite, upõe-e ee memo itema com atrao. 50

64 5.. Uo do critério de etabilidade de Nyquit De acordo com o critério de Nyquit, o diagrama de Nyquit de um itema em malha fechada etável não deve envolver o ponto j 0 [4]. Se o gráfico paa perto dete ponto, há um grande rico de o itema e tornar intável e algum parâmetro do itema mudar. Então, é deejável manter uma margem de etabilidade. A intabilidade acontece e a função de tranferência em malha aberta tem a fae -80º em uma freqüência com ganho maior que a unidade. Cao o ganho da malha aberta eja menor que quando a fae é -80º, então o itema em malha fechada é etável. So o ganho da malha aberta ganho como α M, quando a fae é -80º em malha aberta, define-e a margem de α M. Ainda define-e a margem de fae como θ M, o -80º θ M a fae em malha aberta quando o ganho é unitário. Com a função de tranferência em malha aberta: G θ ( ) k e Para achar o valor limite de k que aegure etabilidade: G G k ( ) ( jω) * ω k e * jω k * * e * jω jω* θ jω* θ ω θ * j * k e π * ω j arctgω θ ω π 5

65 Por exemplo, eja ω θ π : 4 π arctg ω ω π 4 k * * Para itema aintoticamente etável, a repota em freqüência no plano complexo deve cruzar o eixo à direita do ponto -. Ou eja, para fae -π, o módulo deve er menor que. mai limitado. Oberva-e que quando θ aumenta, Com o critério de Nyquit encontra-e o valor exato de * k diminui. Maior atrao implica em ganho * k. Para ilutrar, egue diagrama de Nyquit, para o itema com atrao θ π : 4 44 Figura 5. Diagrama de Nyquit para itema com atrao. 5

66 anteriormente: Coniderando agora um atrao θ, com a equaçõe deenvolvida * k ω arctgω θ ω π arctg ω ω π * 4π ω 64 * k.5 Para atrao θ : * k ω arctgω ω π * 7 π ω * k.77 Em vita do reultado acima, verifica-e que quanto maior o atrao θ, a região de etabilidade fica mai limitada. 5.. Uo do critério de etabilidade de Hurwitz O critério de Hurwitz é aplicado obre o polinômio caracterítico do itema []. O polinômio caracterítico fornece o pólo do itema. Quando o critério de Hurwitz é aplicado, e todo o zero do polinômio caracterítico têm parte real negativa, então o itema é aintoticamente etável. 5

67 Para aplicar ete critério ao itema com tempo morto erá utilizada a aproximação de Padé de ª ordem para o atrao, que aproxima o fator exponencial por uma relação numerador/denominador. Dete modo, o reultado encontrado para apena um valor próximo ao exato. A partir da planta em malha aberta, encontra-e a equação caracterítica: A k θ ( ) e ( ) 0 A k θ e 0 * k erá Subtituindo o termo Padé de ª ordem: e θ θ θ e θ por ua aproximação, utilizando aproximação de Aim, a equação caracterítica fica: θ k θ θ 0 θ k k θ 0 Pelo critério de Hurwitz, todo o coeficiente da equação caracterítica devem er não nulo e de memo inal. O limite k > 0 é coniderado dede o princípio, poi não interea ganho negativo neta análie. Coeficiente do termo : θ 0 > Então, o outro coeficiente também devem er poitivo, maiore que zero. θ > 0 k > 0 θ k θ > 0 θ ( k) > k < θ 54

68 Logo, a região de etabilidade egundo o critério de Hurwitz, com aproximação de Padé de ª ordem é: 0 < k < θ Coniderando o exemplo dado com θ π : 4 k < π 4 k *.85 Para dicutir um cao mai habitual upõe-e um atrao θ. A partir da relação encontrada para ete itema, com o critério de Hurwitz: 0 < k < k * θ Para atrao θ : 0 < k < k * 5 θ A fim de comparação, o valore de ganho crítico obtido por Nyquit para π θ, θ e θ ão repectivamente k 4 *, k *. 5 e k *. 77. Nota-e que o valore aproximado ão maiore que o repectivo limite de ganho, manto a diferença percentual de 0% entre o reultado de Hurwitz com aproximação de Padé de ª ordem e o reultado de Nyquit. Como e trata de uma aproximação, quanto mai termo ão utilizado, o reultado te a er mai próximo do valor real. Para aproximação de Padé de ª ordem, epera-e encontrar um valor mai precio. Portanto, deenvolve-e a partir da equação caracterítica o critério de Hurwitz: k θ e 0 55