Total variation regularization with Chambolle Algorithm:

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1 Total variation regularization with Chambolle Algorithm: [Rudin92] roôs iltrar imagem minimizando a variação total total variation. A suosição é que a imagem sem ruído é constante or regiões. [Chambolle04] roôs um algoritmo entre muitos ara essa minimização. Uma descrição didática desse algoritmo ara sinais 1-D com código Matlab encontra-se em [Selesnick09]. Transarências didáticas sobre comressive sensing em [Tao]. A tese [Ozgen2012] é uma boa tese sobre comressive sensing em tomograia.

2 Minimização de TV é muito usada em comressive samling ou comressed sensing. A gradiente de uma imagem discreta é [Chambolle04]: com: < + N N ara 0 ara 1 < + N N ara 0 ara 1 IMGCPX gradimgdbl a { IMGCPX d a.nl a.nc CPX ; or int 0; <a.n-1; ++ or int 0; <a.n-1; ++ d.atn CPX a.atn+1-a.atn a.atn+1-a.atn ; return d; A divergente divergence de uma camo vetorial dierenciável é [Wikiedia]: + div Se or camo vetorial discreta [Chambolle04]: < < + < < N N N N se 1 1 se 1 se 1 se 1 1 se 1 se 1 div

3 IMGDBL divimgcpx a { IMGDBL da.nla.nc; or int 0; <a.n; ++ or int 0; <a.n; ++ { double t; i 0 treala.atn; else i a.n-1 t-reala.atn-1; else treala.atn-reala.atn-1; double t; i 0 timaga.atn; else i a.n-1 t-imaga.atn-1; else timaga.atn-imaga.atn-1; d.atn t+t; return d; A variação total total variation de uma imagem suave é deinida [Pere10]: J d A variação total de uma imagem discreta é deinida [Chambolle04]: J 1 N double somatoriaimgdbl a { double d0.0; or int i0; i<a.n; i++ d+a.ati; return d; double JIMGDBL { IMGDBL mabsgrad; return somatoriam; Suonha que uma imagem o oi contaminada elo ruído w gerando a imagem o +w. Queremos atenuar ruído da observação. O objetivo é achar que minimize [Pere10]: 1 2 mine + λj 2 Isto é eito iterativamente com camo vetorial G. O valor inicial de G é zero. G l+ 1 Proj Proj cli signiica saturar os valores em -1 e +1. l l G τ div G / λ

4 IMGCPX cliimgcpx a { IMGCPX da; or int i0; i<a.n; i++ { double rerealai; double imimagai; i re<-1.0 re-1.0; i re>1.0 re1.0; i im<-1.0 im-1.0; i im>1.0 im1.0; dicpxreim; return d; Na teoria deve-se ter τ 1/8 ara obter a convergência. [Chambolle04] nota que na rática resultado melhor oi obtido com τ1/4. Nos meus testes usando τ1/4 e λ adatativo tv3 o algoritmo ou oscila ou diverge. Algoritmo com λ io arece uncionar bem com τ1/4. A imagem restaurada é -lambda*divg. IMGDBL tv1imgdbl double lambda int nit { double tau 1.0/8.0; IMGCPX G.nl.nc0.0; IMGCPX dg; or int i0; i<nit; i++ { dg grad divg - 1.0/lambda* ; G cli G + tau*dg ; return - lambda*divg; Se quiser obter as imagens restauradas intermediárias da iteração: IMGDBL tv2imgdbl double lambda int nit { double tau 1.0/8.0; IMGCPX G.nl.nc0.0; IMGCPX dg; IMGDBL ; or int i0; i<nit; i++ { - lambda*divg; dg grad -1.0/lambda* ; G cli G + tau*dg ; - lambda*divg; // ode eliminar return ;

5 Chamando: IMGDBL 0; double sigma0.1; or int l0; l<0.nl; l++ or int c0; c<0.nc; c++ lc0lc+sigma*mgauss; IMGDBL a2tv ; Obtém: original ruidosa restaurada com lambda io

6 É ossível calcular automaticamente λ a artir do desvio-adrão σ do ruído w. l l λ + 1 λ Nσ onde N é o lado da imagem. Se imagem não or quadrada N m onde m é o número de iels da imagem. O valor inicial de λ ode ser qualquer número ositivo. IMGDBL tv3imgdbl double sigma int nit { double tau 1.0/8.0; IMGCPX G.nl.nc0.0; IMGCPX dg; IMGDBL ; double lambda0.2; or int i0; i<nit; i++ { - lambda*divg; dg grad -1.0/lambda* ; G cli G + tau*dg ; double dcomrimento-; // Na 1a vez d0 i d>esilon lambda lambda * sigma * sqrtdouble.n / d; - lambda*divg; // ode eliminar return ; Imagem restaurada com cálculo automático de λ a artir de σ.

7 Reerências bibliográicas: [Chambolle04] A. Chambolle "An Algorithm or Total Variation Minimization and Alications" Journal o Mathematical Imaging and Vision vol [Pere10] "Total Variation Regularization with Chambolle Algorihtm" htt:// [Rudin92] L. Rudin S. Osher and E. Fatemi "Nonlinear total variation based noise removal algorithms" Phsica D: Nonlinear Phenomena vol [Selesnick09] I. Selesnick I. Baram "Total Variation Filtering" vol htt://assthru.cn.org/lone/content/m31292/1.1/ [Tao] htt:// [Ozgen2012] Özgen C COMPRESSED SENSING BASED COMPUTERIZED TOMOGRA- PHY IMAGING Doctoral dissertation MIDDLE EAST TECHNICAL UNIVERSITY. htts://etd.lib.metu.edu.tr/uload/ /inde.d

8 Atenuação de ruído gaussiano C:\haei\iltro\tv\tvart: Vamos tentar achar o iltro mais adequado ara iltrar uma imagem constante or regiões contaminada or ruído gaussiano. imagem original antom.tga Vamos colocar ruído gaussiano com desvio-adrão 0.1: img ruidogag antom.tga ruido10.tga ruido10.tga MAE ma100%...: 6.99% RMSE ma100%...: 9.29% PSNR considering highest255...: db

9 1 TV com sigma: img tv ruido10.tga ruido10tv.tga sigma MAE ma100%...: 1.99% RMSE ma100%...: 2.97% PSNR considering highest255...: db Interessante que o melhor resultado não oi obtido com sigma0.1 mas com sigma TV com lambda: img tv ruido10.tga ruido10la.tga lambda MAE ma100%...: 1.93% RMSE ma100%...: 2.84% PSNR considering highest255...: db O resultado é quase igual ao TV com sigma. O roblema é que tem que chutar lambda sem saber o que reresenta. A qualidade visual é ior.

10 3 Diusão anisotróica intercalado com oucas medianas: img ad ruido10.tga ruido10ad.tga t AD ent.tga sai.tga mat sigma [metodo lambda eemediana cdqto] MAE ma100%...: 0.96% RMSE ma100%...: 2.24% PSNR considering highest255...: db A qualidade é melhor do que TV tanto medido quando ercetual. 4 Mediana + TV + AD: img tv ruido10.tga ruido10me.tga mla TV ent.gm sai.gm metodo nit aram [tee mat sigma] MAE ma100%...: 1.21% RMSE ma100%...: 2.14% PSNR considering highest255...: db Praticamente idêntico ao item 3. Não há vantagem em usar TV Conclusão: AD é melhor que TV ara eliminar ruído gaussiano.

11 Atenuação de ruído gaussiano + sal-imenta C:\haei\iltro\tv\tvart: Vamos tentar achar o iltro mais adequado ara iltrar uma imagem constante or regiões contaminada or ruído gaussiano + ruído sal e imenta. Este tio de contaminação é comum em dierentes áreas. Por eemlo na tomograia. imagem original antom.tga Vamos colocar ruído gaussiano com desvio-adrão 0.1 e sal-e-imenta estragando 1 em 40 iels: img ruidogag antom.tga ruigs14.tga img ruidosg ruigs14.tga ruigs14.tga 40 8 ruigs14.tga MAE ma100%...: 8.04% RMSE ma100%...: 12.81% PSNR considering highest255...: db

12 1 Usar 4 vezes iltro mediana 33: img medianag ruigs14.tga ruigs14mg.tga 3 3 img medianag ruigs14mg.tga ruigs14mg.tga 3 3 img medianag ruigs14mg.tga ruigs14mg.tga 3 3 img medianag ruigs14mg.tga ruigs14mg.tga 3 3 img distg antom.tga ruigs14mg.tga MAE ma100%...: 2.24% RMSE ma100%...: 3.71% PSNR considering highest255...: db Elimina bem ruído sal-imenta. Não consegue eliminar ruído gaussiano.

13 2 Diusão anisotróica: img ad ruigs14.tga ruigs14a1.tga t 1 1 img distg antom.tga ruigs14a1.tga MAE ma100%...: 2.73% RMSE ma100%...: 9.55% PSNR considering highest255...: db Elimina bem ruído gaussiano. Não elimina ruído sal-imenta. 3 Diusão anisotróica intercalado com iltro mediano: img ad ruigs14.tga ruigs14ad.tga t 1 3 img distg antom.tga ruigs14ad.tga MAE ma100%...: 1.28% RMSE ma100%...: 3.19% PSNR considering highest255...: db Elimina bem ruído gaussiano e ruído sal-imenta. PSNR é o mais alto até agora.

14 4 TV com lambda: img tv ruigs14.tga ruigs14la.tga lambda img distg antom.tga ruigs14la.tga MAE ma100%...: 2.97% RMSE ma100%...: 4.61% PSNR considering highest255...: db Elimina bem ruído gaussiano. Não consegue eliminar ruído sal-imenta. O arâmetro lambda tem que ser ajustado sem ter ideia do que reresenta. 5 TV com sigma: img tv ruigs14.tga ruigs14tv.tga sigma img distg antom.tga ruigs14tv.tga MAE ma100%...: 2.62% RMSE ma100%...: 5.60% PSNR considering highest255...: db Elimina bem ruído gaussiano. Não consegue eliminar ruído sal-imenta. O arâmetro sigma é ácil de ajustar se conhecer o desvio-adrão do ruído.

15 7 mediana + TV com lambda: img tv ruigs14.tga ruigs14mt.tga mla img distg antom.tga ruigs14mt.tga MAE ma100%...: 1.91% RMSE ma100%...: 3.29% PSNR considering highest255...: db Eecutando iltro mediana antes de TV consegue eliminar ruído sal-imenta e gaussiana. PSNR icou bem alto. Mas há variação de nível de cinza de undo. 8 mediana + TV com lambda + AD img tv ruigs14.tga ruigs14me.tga mla img distg antom.tga ruigs14me.tga MAE ma100%...: 1.16% RMSE ma100%...: 2.59% PSNR considering highest255...: db Eecutando iltro mediana+tv+ad consegue eliminar ruído sal-imenta e gaussiana. Obteve o maior PSNR.

16 9 Diusão anisotróica intercalado com oucas medianas img ad ruigs14.tga ruigs14a2.tga t img distg antom.tga ruigs14a2.tga MAE ma100%...: 0.98% RMSE ma100%...: 2.49% PSNR considering highest255...: db Elimina bem ruído gaussiano e ruído sal-imenta. PSNR é o mais alto até agora. Não aresenta ruídos. Conclusão: AD intercalado com medianas é a melhor solução. Não valeu a ena usar TV.