Decomposição de Imagens Digitais em Cartoon e Textura Através de Uma Equação de Difusão Não Linear

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1 Decomposição de Imagens Digitais em Cartoon e Textura Através de Uma Equação de Difusão Não Linear Wallace Correa de Oliveira Casaca DCCE-IBILCE-UNESP Rua Cristóvão Colombo, São José do Rio Preto - SP wallace.coc@gmail.com Maurílio Boaventura DCCE-IBILCE-UNESP Rua Cristóvão Colombo, São José do Rio Preto - SP maurilio@ibilce.unesp.br Resumo Um tópico bastante importante área de processamento de imagens é a extração de características. Aplicações como extração de contornos, texturas e ruídos, por exemplo, compõem uma gama de problemas analisados intensamente nos últimos anos. Neste contexto, recentemente uma nova concepção foi introduzida na área de análise de imagens: extrair de uma imagem f dois componentes u e v, tal que f = u + v, onde u representa o termo homogêneo da imagem (estrutura) e v o componente oscilatório, o qual consiste de textura e/ou ruído. Neste sentido, o presente trabalho tem por finalidade apresentar um modelo matemático para efetuar tal decomposiçao. Para a caracterização deste modelo, utilizou-se uma modelagem matemática fundamentada na EDP não linear apresentada em [1], da qual é possível obter um método numérico para extrair de uma i- magem os componentes caracterizados como textura (e/ou ruído) e estrutura. 1. Introdução Nos últimos anos houve um aumento significativo no desenvolvimento de novas técnicas e aplicações em áreas relacionadas à computação gráfica e processamento de i- magens. Em particular, nesta última linha de pesquisa, as equações diferenciais parciais (EDP) vem sendo utilizadas com grande sucesso na modelagem de problemas diversos, em especial em problemas da área de retoque digital ("inpainting"), remoção de ruídos e principalmente da extração de características. No tópico extração de características, uma nova concepção foi introduzida recentemente, ou seja, a característica de extrair de uma dada imagem f dois componentes u e v, de forma que f = u+v, onde u representa a estrutura da imagem ("cartoon") e v o termo oscilatório, o qual consiste de textura e/ou ruído. Este problema foi tratado por Meyer [8] e aperfeiçoado nesses últimos anos principalmente por Yin [4]-[5], Goldfarb [4]-[5], Osher [4]-[5]-[9]-[10] e Vese [3]-[9], os quais buscaram formulações matemáticas diversas para solucionar o problema, tais como minimização de funcionais por métodos variacionais, SCOPs com solução por métodos de pontos interiores, entre outras abordagens. Baseado nos artigos [1], [2], [3], [4], [8], [9] e [10], o objetivo deste trabalho é apresentar um modelo matemático para o problema de decomposição de imagens. O método aqui proposto está diretamente relacionado à EDP não linear (5). 2. Decomposição de Imagens Digitais 2.1. Conceitos Fundamentais A decomposição de uma imagem f pode ser definida como uma separação desta em duas outras novas imagens, u e v, as quais são combinadas de alguma forma resultam em f. O objetivo principal deste trabalho é decompor f em termos de duas imagens componentes, u e v, de modo que f = u + v. Estes conceitos podem, então, ser traduzidos através de formulações matemáticas. Seja f : D R 2 R k uma imagem monocromática (k = 1) ou colorida (k = 3), que associa a cada pixel da i- magem de posição (x, y) um valor real (k = 1) ou uma terna real (k = 3). O objetivo é extrair de uma imagem f(x, y) dois componentes u(x, y) e v(x, y), tal que f(x, y) = u(x, y) + v(x, y), (1) onde u(x, y) modela os objetos da imagem (o "cartoon" e/ou a parte homogênea) e v(x, y) o componente que caracteriza a textura e/ou o ruído. Aplicações envolvendo este processo de separação podem ser encontradas nas áreas de eliminação de ruídos, seg-

2 mentação de imagens, síntese de texturas, retoque digital, entre outras. A figura 1, exemplifica a decomposição pretendica Modelos de Decomposição Cartoon-Textura Nas subseções precedentes são apresentados dois modelos clássicos de decomposição de imagens do tipo "cartoontextura: o modelo de Meyer [8] e o modelo Vese-Osher [9], cujas formulações matemáticas se baseiam na minimização de variações O Modelo de Meyer O modelo proposto por Meyer [8] parte da premissa de que u BV (espaço de variação limitada) e v G (espaço de funções generalizadas). Sua formulação teórica (nas versões Lagrangiana e Limitada) pode ser descrita por: (a) Imagem original (f) { } inf u + λ v G, f = u + v (u,v) BV G R 2 (2) { } inf u + v G η,, f = u + v (u,v) BV G R 2 onde G denota o espaço de Banach constituído de todas as funções generalizadas v = v(x, y) definidas no R 2 que podem ser escritas por v = div( g ), g = (g 1, g 2 ) L (R 2, R 2 ), com a norma: (3) (b) "Cartoon"(u) { inf g g2 2 g L L, v = div( } g ). Neste caso, os problemas (2) e (3) são equivalentes. A idéia de Meyer foi procurar um espaço de funções mais apropriado para a modelagem do termo oscilatório v, de modo a obter a decomposição f = u + v. Para o algoritmo numérico deste modelo, foi adotado a implementação numérica descrita em [4]. (c) Textura (v) Figura 1. Exemplo de Decomposição. Na maioria dos casos, os termos u e v são modelados em espaços de Banach previamente definidos. Por exemplo, o componente u é geralmente modelado através da análise do espaço BV de funções de variação limitada enquanto que v é matematicamente caracterizado pelo espaço de funções generalizadas G. O objetivo deste trabalho é tratar o componente u como solução de uma EDP não linear e em seguida, mediante ao termo u, gerar o componente v. Neste sentido, foi adotada uma modelagem matemática baseada na equação de difusão anisotrópica apresentada em [1], proposta inicialmente para eliminar ruídos em imagens digitais O Modelo de Vese-Osher Os autores Vese e Osher [9] propuseram o primeiro algoritmo de decomposição cartoon-textura prático baseado no modelo (2) de Meyer [8]. Para tal implementação, o modelo proposto foi: E V O = Ω u +λ f (u+div( g )) 2 L g 2+µ g2 2 inf {E (u, V O, f = u + v}, (4) g ) BV (Ω) L p (Ω,R 2 ) onde L 2 = L 2 (Ω), L p = L p (Ω), e λ, µ > 0 são parâmetros e Ω R 2 é um aberto limitado. Este modelo difere no segundo e terceiro termo em relação a (2). O segundo termo é um termo forçante, o qual objetiva manter f u + v = u + div( g ) enquanto que o terceiro é uma aproximação da energia de v no modelo (2). Para a confecção do algoritmo numérico relativo à (4), foi adotada a implementação numérica descrita em [4]. L p

3 3. EDP não linear proposto em [1] Para a modelagem do problema de decomposição, como já foi dito anteriormente, foi considerado o modelo de remoção de ruídos e segmentação de imagens proposto em [1]-[2], o qual havia sido projetado inicialmente para restaurar imagens com ruído. Os autores propuseram um modelo de remoção de ruídos seletivo, que efetua uma suavização mais completa nas regiões homogêneas da imagem, e superficial sobre as bordas da mesma, preservando, desta forma, a estrutura original da imagem. O modelo proposto foi: ( ) w w t = g w div λ(1 g)(w I), (5) w onde w(x, y, 0) = I(x, y) é a imagem inicial adicionada de ruído e g é uma função monótona que depende da convolução de uma função gaussiana com o termo w. Através do estudo da equação (5), foi possível adequála ao problema de decomposição de imagens, em particular para a obtenção do componente homogêneo u. A equação obtida foi: ( ) u u t = g u div (1 g)(u f), (6) u com u(x, y, 0) = f(x, y) representando a imagem inicial a ser decomposta e g sendo uma função tal que g = g( (G σ u) ). Na modelagem, aqui proposta, adotou-se g conforme a expressão a seguir: g = g( (G σ u) ) = k (G σ u) 2, G σ = G σ (x, y, t) = 1 (x 2 + y 2 ) 2σπt e 2σt, onde σ é um parâmetro ajustável de acordo com a imagem inicial. As condições de contorno para este modelo são do tipo u Neumann, isto é, n = 0, onde n é o vetor normal ao contorno da região de definição da imagem f. Este modelo, o qual segue uma corrente teórica baseada em equações de difusão originadas a partir do modelo de Malik e Perona [7], consiste em aplicar seletivamente o processo de difusão descrito por (6), suavizando de forma mais incisiva regiões mais homogêneas e fazendo com que o termo forçante (u f) atue de forma mais intensa nas regiões caracterizadas como de contorno, e assim, preservando-as Descrição do Algoritmo Proposto O algoritmo aqui proposto consiste inicialmente em gerar o componente estrutural u e posteriormente a textura v. As etapas do algoritmo são tais que: 1 - Sintetização do componente u: utiliza-se um algoritmo numérico baseado na EDP não linear (6), visando estimar uma solução numérica da mesma. 2 - Sintetização do componente v: utiliza-se operações algébricas simples, baseado na subtração do componente u da imagem inicial f, isto é, v(x, y) = f(x, y) k u(x, y) + c, (7) onde k é o peso e c é uma constante. No passo 1 a idéia é construir uma seqüência de imagens digitais u(i, j, t) : D N R k, k {1, 3}, tal que u(i, j, 0) = f(i, j) e lim t u(x, y, t) = u, onde u é a imagem obtida após o fim do processo iterativo, a qual representa o componente homogêneo da imagem f. Assim, o processo iterativo descrito anteriormente pode ser represetado pela seguinte equação evolucionária: u(i, j, t + t) = u(i, j, t) + t u(x, y, t), (8) t u(x, y.t) onde o fator é substituído pela equação (6) em t sua versão discreta, juntamente com o respectivo passo temporal t. No caso do passo 2, efetua-se v = f ku + c, obtendo o componente oscilatório que representa a textura e/ou ruído. Em geral, toma-se k = 1 e c = 0, o que implica na decomposição exata de f em dois componentes: a estrutura e a textura, isto é, f = u + v. 4. Resultados Experimentais A fim de avaliar o modelo proposto, são mostrados os resultados obtidos através de dois experimentos, nos quais foram empregados tanto o método proposto quanto os modelos descritos anteriormente. No primeiro experimento foi considerada uma amostra da fotografia da "Barbara", de dimensões , mostrados nas figuras 2, 3 e 4. Em seguida, foram realizados testes com uma imagem de impressão digital mostrados nas figuras 5, 6 e 7, com dimensões de pixels. Para a implementação numérica dos modelos (3) e (4) foi adotada a formulação discreta apresentada em [4]. No modelo (4), tomou-se λ = 0 e p = 1. No caso do modelo proposto (6)-(8), foram utilizados os modelos numéricos tal como relatados na sessão anterior. No modelo de Meyer (3) foi adotado para as exemplos 1 e 2, η = 35 e 15, respectivamente, enquanto que para o

4 Figura 2. Imagem experimental (Barbara). (a) Modelo de Meyer (b) Modelo de Vese-Osher (b) Modelo de Meyer (c) Modelo de Vese-Osher (c) Modelo Proposto Figura 4. Textura. (c) Modelo proposto Figura 3. Cartoons. Figura 5. Imagem experimental (Impressão Digital). modelo de Vese-Osher (4), foram tomados µ = 0.1 e 0.5. Para o modelo proposto foram utilizados σ = 25 e σ = 40,

5 (a) Modelo de Meyer (a) Modelo de Meyer (b) Modelo de Vese-Osher (b) Modelo de Vese-Osher (c) Modelo Proposto Figura 6. Cartoons. (c) Modelo Proposto Figura 7. Textura. respectivamente. 5. Conclusão Através dos resultados experimentais obtidos, concluíse que o modelo apresentado forneceu resultados extremamente satisfatórios em relação aos modelos clássicos da literatura, como pode ser visto nos experimentos mostrados. Uma vantagem em utilizar equações diferenciais na modelagem de problemas de extração de texturas e estruturas é o fato de se poder contar com uma extensa variedade de resultados analíticos e numéricos. Em termos da implementação numérica, o método numérico iterativo que retorna o componente estru- tural u da imagem é bastante robusto, na seqüência é então obtida a componente restante v (textura e/ou ruído) em termos da imagem f inicial Agradecimentos Os autores agradecem à FAPESP pelo suporte financeiro. Referências [1] BARCELOS, C.A.Z, BOAVENTURA, M., SILVA, JR, A Well Balanced Flow Equation for Noise Remove and Edge Detection, IEEE Transactions on Image Processing, pp , 2003.

6 [2] BARCELOS, C.A.Z, BOAVENTURA, M., SILVA, JR, Edge detection and noise removal by use of a partial differential equation with automatic selection of parameters, Computational and Applied Mathematics, Brazil, vol. 24, n. 1, pp , [3] GARNETT, J.B., MEYER, Y., TRIET, M.L. AND VESE, L., Image decompositions using bounded variation and generalized homogeneous Besov spaces, International Journal of Computer Vision 68, pp , [4] GOLDFARB D., YIN, W. AND OSHER S., A Comparison of Three Total Variation Based Texture Extraction Models, IEEE TSP, pp , [5] YIN, W., GOLDFARB, D. AND OSHER S., Image cartoontexture decomposition and feature selection using the total variation regularized L 1 functional, Variational, Geometric, and Level Set Methods in Computer Vision, vol. 3752, L.N. in Comp. Science, Springer, pp , [6] LIEU, L., Contribution to problems in image restoration, decomposition, and segmentation by variational methods and partial diferential equations, Ph.D. thesis, UCLA, [7] MALIK, J., PERONA, P., Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion, IEEE Transactions Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol 12, no. 7, pp , [8] MEYER, Y., Oscillating patterns in image processing and nonlinear evolution equations, Vol. 22 of University Lecture Series, AMS, [9] OSHER, S. AND VESE, L., Modeling textures with total variation minimization and oscillating patterns in image processing, IJournal of Scientiŕc Computing 19, pp , [10] RUDIN, L., OSHER, S., FATEMI, E., Nonlinear Total Variation Based Noise Removal Algorithms, Physica D 60, pp , [11] TEIXEIRA, R., Introdução aos Espaços de Escala, 23ž Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 2001.