Eliminação de Ruídos e Extração de Bordas em Imagens Digitais via Equação de Difusão não-linear

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1 Eliminação de Ruídos e Extração de Bordas em Imagens Digitais via Equação de Difusão não-linear Wallace Correa de Oliveira Casaca DCCE-IBILCE-UNESP Rua Cristóvão Colombo, São José do Rio Preto - SP wallace.coc@gmail.com Maurílio Boaventura DCCE-IBILCE-UNESP Rua Cristóvão Colombo, São José do Rio Preto - SP maurilio@ibilce.unesp.br Resumo Este trabalho encontra-se inserido dentro de uma linha de pesquisa bastante interesstante no contexto de restauração e segmentação de imagens: a de eliminação de ruídos, que consiste em utilizar modelos matemáticos baseados em equações diferenciais parciais para restaurar imagens digitais danificadas, removendo ou minimizando o nível de ruído na imagem. Aplicações nesta área incluem: tratamento de imagens médicas e biológicas, reconstrução de fotografias antigas, remoção de textos sobrepostos, suavização de imagens captadas por radares, entra outras. Neste trabalho, vamos retratar o modelo de eliminação de ruído proposto pelos autores Barcelos, Boaventura, e Silva Jr. [1], cuja principal finalidade é eliminar ruídos de forma a manter a estrutura da imagem intacta quanto à suas bordas e contornos, possibilitando que haja aplicações de transformadas para segmentar imagens digitais. Também vamos apresentar uma abordagem de extração de bordas em imagens pré-processadas por meio da transformada Top-hat 1. Introdução Atualmente, tem-se observado um interesse crescente no desenvolvimento de novas técnicas e aplicações em processamento de imagens. Aplicações nesta área incluem eliminação de ruídos, tratamento de imagens médicas, reconstrução de fotografias antigas e filmes danificados, remoção de textos sobrepostos, edição de imagens, animações 3D, entre outros. Neste contexto, as equações diferenciais parciais (EDP) vem sendo utilizadas com grande sucesso na modelagem e solução de problemas nesta área, em especial nas áreas de retoque digital (inpainting) e de remoção de ruídos. O termo ruído pode ser entendido como alterações indevidas nas escalas de tonalidades de cores que constituem uma imagem. Nesse sentido, os autores Barcelos, Boaventura e Silva Júnior, em [1], propuseram um modelo de difusão anisotrópica, o qual trata de maneira diferenciada os pontos de bordas e interiores em uma imagem digital, proporcionando um bom equilíbrio nos aspectos eliminação de ruídos e preservação de bordas. Com base nestas informações, o objetivo central desta pesquisa é desenvolver o processo de eliminação de ruídos em imagens digitais através de uma análise teória e experimental do modelo baseado em equações diferenciais de difusão proposto pelos autores de [1] e efetuar a extração de contornos internos da imagem por meio da transformação Top-hat. 2. Modelos Baseados em EDP Não-Lineares para a Eliminação de Ruídos Durante o processo de aquisição de uma imagem, que será denotada por u, podem surgir diversos tipos de interferências (ruídos). Do ponto de vista matemático, esses ruídos são caracterizados pela relação SN R (Signal to Noise Ratio), medido em decibels (db), que é expresso por: ( ) σ 2 SNR = 10 log t ση 2, (1) onde σ t é o desvio padrão da imagem original (sem ruído) e σ η é o desvio padrão do ruído. A Figura (2) mostra um exemplo de imagens com diferentes níveis de contaminação por ruído. Para solucionar tal problema, vamos considerar o modelo de remoção de ruídos e segmentação de imagens proposto em [1], que neste contexto será denotado por modelo BBS. Os autores propuseram um modelo seletivo, efetuando uma suavização mais completa nas regiões homogêneas, e superficial sobre as bordas, preservando assim a estrutura

2 Figura 1. Imagem original. A variável σ, presente na função gaussiana G, é tomada como sendo o desvio padrão do rúido σ η presente na imagem contaminada u(x, y, 0) = I(x, y). As condições de contorno para o modelo apresentado anteriormente são do tipo Neumann, isto é, u = 0, onde n é n o vetor normal ao contorno da região Ω de definição da imagem. Esse modelo, o qual segue uma corrente teórica baseada em equações de difusão originadas a partir do modelo de Malik e Perona [6], consiste em aplicar seletivamente o processo de difusão descrito 2, suavizando de forma mais incisiva regiões mais homogêneas e fazendo com que o termo forçante λ(u I) atue de forma mais intensa nas regiões caracterizadas como de contorno, e assim, preservando-as Processo Iterativo do Modelo Difusivo A implementação computacional do modelo consiste em utilizar um procedimento iterativo visando a suavização da imagem com ruído. Assim, considere uma imagem digital u 0 (i, j) : D = [0, N] [0, M] N 2 E R, onde E é um conjunto enumerável finito, que representa uma certa gradação de cinza. A idéia fundamental de qualquer modelo de denoising baseado em EDP é construir uma família de imagens u(i, j, t) : D N E, tal que u(i, j, 0) = I(i, j), Figura 2. Imagem com ruído (SNR = 1 db). original da imagem. Assim, em termos matemáticos, o modelo proposto é dado pela seguinte equação diferencial: ( ) u u t = g u div λ(1 g)(u I) (2) u onde u(x, y, 0) = I(x, y) representa a imagem original provida de ruído, g = g( G σ u ) é uma função monótona que depende da convolução de um núcleo gaussiano com a função principal u. Neste trabalho, temos que g = g( G σ u ) = k G σ u 2, com G σ (x, y, t) = 1 (x 2 + y 2 ) 2σπt e 2σt. isto é, a imagem digital provida de ruído I(i, j) dever ser a primeira imagem desta família e lim u(i, j, t) = u R(i, j), t onde u R (i, j) é a imagem obtida após aplicarmos um determinado algorítmo recursivo com base no modelo de eliminação de ruídos em questão. Na maioria dos casos, os algorítmos numéricos recursivos são da forma: u(i, j, t + 1) = u(i, j, t) + t L(u), onde L é um operador que denota a equação central do modelo em estudo. Neste caso, a discretização do operador L é feita substituindo-se as derivadas presentes em L por equações de diferenças. Na prática, após aplicarmos um número considerável de iterações no parâmetro temporal, isto é, para t suficientemente grande, obtemos u(i, j, t) = u R (i, j),

3 que é, de fato, a imagem restaurada obtida a partir da imagem com ruído I. É válido ressatlar que neste trabalho vamos implementar o modelo de remoção de ruídos BBS apenas em imagens monocromáticas. No caso do calculo o termo da convolução de g( G σ u ), utilizamos regras de quadratura. 3. Morfologia Matemática De acordo com [7], a teoria da Morfologia Matemática é fundamentada na análise de decomposição de operadores entre reticulados completos em termos de quatro classes de operadores elementares conhecidos por erosão, dilatação, antierosão e anti-dilatação. Essa teoria se baseia no uso de elementos estruturantes, os quais são caracterizados como conjuntos definidos e conhecidos (forma e tamanho), que são comparados ao conjunto desconhecido da imagem. Em termos matemáticos, a morfologia matemática é constituída a partir de dois operadores básicos, a erosão e a dilatação. Definição 1. A erosão de u por um elemento estruturante B é definida por: [ε B (u)](x) = min{f(x + b) + B(b)} (3) b B Definição 2. A dilatação de uma imagem em tons de cinza por um elemento estruturante é definida como: [δ(u) B (u)](x) = max{f(x + b) + B(b)} (4) b B Embora os operadores dilatação (4) e erosão (3) ressaltem algumas características quanto às tonalidades escuras ou claras da imagem, quando aplicados isoladamente, são transformações que nem sempre evidenciam todas as características reais da imagem. Entretanto, esses operadores possibilitam constituir algumas funções muito interessantes, como por exemplo, o gradiente morfológico, fechamento, abertura, segmentação, entre outros Transformação Top-hat Partindo dos conceitos precedentes sobre os operadores básicos da Morfologia Matemática (erosão e dilatação), é possível definir o Gradiente Morfológico por dilatação e erosão como a diferença aritmética entre a dilatação e erosão de uma imagem u por um elemento estruturante B, isto é: onde: ρ(u) = δ B (u) ε B (u). (5) ρ representa o gradiente por dilatação e erosão; δ B é a dilatação pelo elemento estruturante B; ε B é a erosão pelo elemento estruturante B. Uma propriedade importante do gradiente morfológico é que ele não é invariante à operação de complementação, sendo, portanto uma transformação auto-complementar. Outro termo comum em meio a este contexto é a abertura de uma imagem u por um elemento estruturante B, podemos defini-lá pela operação de erosão de u por B, seguido pela operação de dilatação com elemento estruturante transposto ˆB, a qual é determinada pela expressão: γ B (u) = δ ˆB[ε B (f)]. (6) Já o fechamento φ de uma imagem u por um elemento estruturante B, pode ser definido pela operação de dilatação de u por B, seguido pela operação de erosão com elemento estruturante transposto ˆB, isto é, em termos algébricos: φ B (u) = ε ˆB[δ B (f)]. (7) Assim, uma maneira de enfatizar a detecção de bordas, consiste em usar uma combinação entre uma imagem original e a imagem correspondente aberta (operação de abertura), ou usar a imagem fechada (operação de fechamento) e a imagem original. Os Top-hats são transformações caracterizadas por essas combinações. O Top-hat por abertura, de uma imagem u, é definido considerando-se a diferença aritmética entre a imagem original u e a imagem aberta γ, cuja formulação matemática é definida por: W T H(u) = u γ(u). (8) Por outro lado, a transformação Top-hat por fechamento de uma imagem u é definida pela diferença aritmética entre o fechamento φ da imagem original e a imagem original u. BT H(u) = φ(u) u. (9) Neste trabalho, adotamos a transformada Top-hat de fechamento (9) como auxílio para a correção do fundo da imagem. Assim, após a imagem ser pré-processada pelo modelo de eliminação de ruído (2), aplica-se a transformação Top-hat de fechamento (9), obtendo-se a imagem completamente segmentada. 4. Resultados Experimentais Para efeito de ilustração, apresentamos quatro exemplos, nos quais foram empregados as técnicas propostas neste trabalho. As três primeiras imagens experimentais são constituídas por matrizes de dimensões 256 x 256 em escala de cinza, cuja tonalidade varia de 0 a 255.

4 No primeiro experimento consideramos a fotografia da modelo Lenna, cujo o SNR = 7. Em seguida, aplicamos o modelo (2) em uma imagem geométrica extremamente danificada, com SNR = 0. Para os dois últimos experimentos, procuramos evidenciar o processo de suavização utilizando o modelo (2) seguido da aplicação da transformação Top-hat para a extração dos contornos internos da imagem. Figura 5. Fotografia restaurada pelo modelo. Figura 3. Fotografia da Lenna, sem ruído. Figura 6. Imagem original, sem ruído. Figura 4. Versão com ruído (SNR = 7). 5. Conclusão Baseado em nossos experimentos, constatamos que o tratamento de imagens via EDP aliado à transformações que evidenciam a segmentação de imagens fornecem resultados extremamente satisfatórios se tratando de qualidade visual. Uma vantagem em utilizar equações diferenciais na suavização e remoção de ruídos em imagens é o fato de contarmos com uma vasta variedade de resultados analíticos e numéricos, como é o caso da teoria de viscosidade em equações diferenciais parciais, que nos fornece uma base teórica sólida para aplicar o formalismo matemático necessário e alguns métodos de discretização de equações diferenciais, úteis para a confecção de algorítmos numéricos estáveis. Através da discretização das equações descritas anteriormente, originamos modelos iterativos de soluções, o que possibilitou uma implementação computacional robusta dessas soluções. Em especial, foram usados o método de diferenças finitas e a regra de Simpson melhorada para discretizar tais termos. No caso de tratamento de imagens de gel de eletroforese, cujo estudo é bastante utilizado em seqüenciamento

5 Figura 7. Imagem contaminada por ruído (SNR = 0). Figura 9. Impressão digital provida de ruído. Figura 10. Imagem suavizada por (2). Figura 8. Imagem restaurada pelo modelo. de DNA e em estudos de variação qualitativa e quantitativa da separação de proteínas, as técnias utilizadas neste trabalho apresentaram ótimos resultados, como pode ser visto em (4). Levando em consideração (4), pode-se dizer que a junção dos métodos (2) e (9) apresentaram resultados satisfatórios no tratamento de imagens com alto nível de detalhes, como é o caso de imagens relacionadas à impressão digital. Gostaríamos de ressaltar que este ramo interdisciplinar inserido na área de processamento de imagens digitais caracteriza-se por uma evolução contínua e gradativa de pesquisas científicas, gerando excelentes trabalhos, no entanto, há muito a ser pesquisado Agradecimentos Os autores agradeçem à FAPESP e à CAPES pelo suporte a esta pesquisa. Referências [1] BARCELOS, C.A.Z, BOAVENTURA, M., SILVA, JR, A Well Balanced Flow Equation for Noise Remove and Edge Detection, IEEE Transactions on Image Processing, pp , [2] BARCELOS, C.A.Z, BOAVENTURA, M., SILVA, JR, Edge detection and noise removal by use of a partial differential equation with automatic selection of parameters, Computational and Applied Mathematics, Brazil, vol. 24, n. 1, pp , [3] BERTALMÍO, M., Processing of flat and non-flat image information on arbitrary manifolds using Partial Differential

6 Figura 11. Extração dos contornos através da transformação Top-hat (9). Figura 13. Versão suavizada por (2). Figura 12. Imagem biológica de Gel de Eletroforese. Equations, Tese de Doutorado, University of Minnesota, [4] CUNHA, M.C.C., Métodos Numéricos, Editora Unicamp, Campinas - SP, 2ł ed., [5] GONZALES, R., WOODS, R.E., Digital Image Processing, Prentice Hall., 2ł ed., [6] MALIK, J., PERONA, P., Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion, IEEE Transactions Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol 12, no. 7, pp , [7] MEDEIROS, N.G., SILVA, E.A., NOGUEIRA, J.R., Segmentação Morfológica de Imagens utilizando o Gradiente Morfológico Multi-Escala, Revista Brasileira de Cartografia, Presidente Prudente, vol. 01, n. 54, pp , Figura 14. Extração dos contornos através da transformação Top-hat (9). [8] MITCHELL, A.R., GRIFFITHS, D.F., The Finite Difference Method in Partial Differential Equations, John Wiley, [9] RUDIN, L., OSHER, S., FATEMI, E., Nonlinear Total Variation Based Noise Removal Algorithms, Physica D 60, pp , [10] YE X., SUEN, C. Y., CHERIET, M., WANG, E., Proceedings of Vision Interface, Trois-Rivières, pp , [11] TEIXEIRA, R., Introdução aos Espaços de Escala, 23ž Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 2001.