Eliminação de Ruídos e Retoque Digital Através de uma Equação Diferencial Parcial de Quarta Ordem

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1 Eliminação de Ruídos e Retoque Digital Através de uma Equação Diferencial Parcial de Quarta Ordem Maurílio Boaventura UNESP - SJRio Preto -SP maurilio@ibilce.unesp.br Cassius Gomes de Oliveira UNIT - Aracaú - SE ca_ol@yahoo.com.br Célia Aparecida Zorzo Barcelos UFU - Uberlândia - MG celiazb@ufu.br Resumo:Yu-Li You e Mostafa Kaveh propuseram recentemente uma equação diferencial parcial de quarta ordem para eliminação de ruídos em imagens Digitais. Neste trabalho é proposta uma modificação dessa equação, na qual é proposto um coeficiente de difusão mais seletivo, de forma a intensificar o processo de difusão nas regiões homogêneas e, conseqüentemente, com maior poder de eliminar ruídos nessas regiões, e de forma a diminuir o processo de difusão nas regiões de contorno, preservando-os desta forma. É proposto também, neste trabalho, a aplicação dessa equação com coeficiente de difusão seletivo para problemas de retoque digital 1 Introdução O uso de equações diferencias parciais (EDP), no problema de eliminação de ruídos e segmentação de imagens digitais, tem apresentado um crescimento significativo nos últimos anos. Uma dada imagem digital é basicamente modificada com uma EDP e os resultados esperados são obtidos a partir das resoluções dessas equações. Uma imagem pode ser definida como sendo uma função limitada u : R n R, com n = 2 para imagens bidimensionais e n = 3 para imagens tri-dimensionais. Equações de segunda ordem tem sido largamente estudadas e utilizadas como ferramentas úteis na eliminação de ruídos e segmentação de imagens. Os modelos de MaliK e Perona [4]; Alvarez, Lions, Morel e Cool [1]; Chen, Vemuri e Wang [3]; e Barcelos, Boaventura e Silva Jr. [2], são exemplos de modelos baseados em EDP de segunda ordem. Recentemente, Yu-Li You & Mostafa Kaveh [5], propuseram a utilização de uma equação diferencial parcial de quarta ordem como uma nova ferramenta para remoção de ruídos e preservação dos contornos de imagens. A equação apresentada por esse autores é dada por: u [ ( ) ] t = 2 c 2 u 2 u, (1) sendo 2 o operador Laplaciano; u : R 2 R a função intensidade de imagem, onde cada ponto u(x, y) é um valor real correspondente a uma escala de cinza que vai do valor 0 (preto) à 255 (branco); e c(.) é o coeficiente de difusão, dado por: 1 c(s) = 1 + Ks, (2) 2 sendo K > 0 uma constante ligada ao nível de suavização da imagem a ser processada. Observa-se aqui que essa função assume valores no intervalo [0,1].

2 A solução desta equação de quarta ordem é obtida quando t e pode ser interrompida a qualquer momento para encontrar uma relação ótima entre eliminação de ruídos e preservação de contornos. Neste trabalho propomos o uso de um coeficiente de difusão seletivo, de forma a acentuar o processo de difusão em regiões homogêneas, regiões com poucas variações nos tons de cinza, com isso eliminando ruídos de forma mais efetiva, e de forma a desacelerar o processo de difusão nos pontos de contorno, regiões com grandes mudanças nos tons de cinza, conseqüentemente, preservando-os. 2 A equação de quarta ordem modificada A utilização do coeficiente de difusão 2, com argumento 2 u, na equação apresentada por You e Kaveh tende a causar borramentos nas regiões de contorno da imagem. O ideal é que c(.) fique próximo de 1 nas regiões homogêneas (regiões com poucas variações nas tonalidades de cinza), onde o processo de difusão deve ser mais acentuado, eliminando mais intensamente os ruídos, e que c(.) fique próximo de zero nas regiões de contorno (regiões onde as tonalidades de cinza mudam bruscamente), onde não se deve aplicar o processo de difusão para que esses sejam preservados. Matematicamente, a função c(s) = 1 quando calculada com argumento s = u funciona 1+Ks 2 como um identificador de bordas, visto que, nas regiões homogêneas u 0 e, conseqüentemente, c( u ) 1 e nas regiões de contorno u e, conseqüentemente, c( u ) 0. Desta forma, tomando o coeficiente de difusão c(.) com argumento u tem-se uma coeficiente de difusão seletivo, atuando mais adequadamente em cada região, homogênea ou de contorno. A partir dessas idéias propõe-se, neste trabalho, a seguinte equação diferencial parcial de quarta ordem para remoção de ruídos e segmentação de imagens: u [ ] t = 2 c ( u ) 2 u. (3) Na prática, isto equivale a substituir a norma do operador laplaciano pela norma do operador gradiente na equação diferencial parcial de quarta ordem proposta por You & Kaveh. Tanto a solução da equação diferencial parcial de quarta ordem (1) quanto a solução da equação (3) são obtidas quando fazemos t e podem ser interrompidas a qualquer momento com a finalidade de se obter uma relação ótima entre a remoção de ruídos e a preservação dos contornos da imagem. Matematicamente podem ser demonstrados resultados que garantem a existência e unicidade de solução de ambas as equações. Como a busca de soluções exatas para tais equações não são viáveis, busca-se, alternativamente, aproximações através de técnicas numéricas baseadas em diferenças finitas e, neste contexto, podem-se mostrados, também, resultados que garantem a convergência dos esquemas computacionais utilizados. Há, também, a possibilidade de aplicação dessas equações a problemas de retoque digital, cujo objetivo é reconstruir as partes perdidas ou danificadas de uma imagem digital, no sentido de tornála mais legível, restaurando-se a sua forma original, se não na íntegra, de forma imperceptível para um observador. Exemplos da aplicação dessas equações para eliminação de ruídos e retoque digital são mostrados na próxima seção.

3 3 Resultados experimentais A seguir são mostrados alguns testes experimentais mostrando a boa performance do coeficiente de difusão seletivo proposto. Os resultados obtidos com a utilização desse coeficiente de difusão, foram bastante satisfatórios e em geral melhores que os obtidos com a utilização do coeficiente de difusão proposto por You e Kaveh. Não existe na literatura científica métodos para escolha adequada dos parâmetros presentes nas equações diferenciais parciais destinadas à eliminação de ruídos em imagens, esses parâmetros geralmente são escolhidos aleatóriamente. Desta forma procura-se pelos parâmetros que fornecem os melhores resultados, assim, os parâmetros utilizados em cada equação, neste trabalho, foram os que produziram os melhores resultados em cada caso. No primeiro exemplo, foi considerado uma imagem bastante conhecida na área de processamento de imagens e com grande riqueza de detalhes. Nas figuras 1(c) e 1(d) mostra-se o melhor resultado obtido com a E.D.P. (3). Neste caso, foram necessárias 700 iterações com parâmetros t = 0.1 e K = 1.8. Nas figuras 1(e) e 1(f), tem-se o resultado obtido com a E.D.P. de quarta ordem proposta por You & Kaveh dada por (1), com os parâmetros K = 1.5 e t = 0.1, onde foram necessárias 5000 iterações para se produzir o resultado. Tanto com a aplicação da E.D.P. apresentada por You & Kaveh (1), quanto com a aplicação da E.D.P. (3), bons resultados foram alcançados, porém, apesar do modelo de You & Kaveh, apresentar uma satisfatória preservação dos contornos, pode-se, claramente, observar que houve uma melhor suavização da imagem com a utilização da E.D.P. (3), a preservação dos contornos também foi bastante satisfatória, como pode ser observado na figura 1(d). Observa-se aqui que a quantidade de iterações necessárias, para produzir tais resultados, foram muito interior com a utilização da equação proposta neste trabalho. (a) (b) (c) (d)

4 (e) (f) Figura 1: (a) Imagem Original e (b) com ruído (SNR = 10dB); (c) Imagem reconstruída utilizando a E.D.P. de quarta ordem (3) e (d) sua segmentação; (e) Imagem reconstruída utilizando a E.D.P. proposta por You & Kaveh (1) e (f) sua segmentação. Para o segundo exemplo, mostrado na figura 2, foi considerada outra imagem do cotidiano, porém, com um maior nível de complexidade por possuir diversos detalhes e diferentes texturas. O nível de ruído aplicado a esta imagem é de aproximadamente 10dB. As figuras 2(c) e 2(d) mostram os melhores resultados obtidos com a aplicação da E.D.P. (3), tanto para a eliminação de ruídos, quanto para a segmentação, neste caso, foram aplicadas 650 iterações, utilizando os parâmetros t = 0.1 e K = 1.1. Nas figuras 2(e) e 2(f), tem-se o melhor resultado obtido com a aplicação E.D.P. (1), onde foram necessárias 800 iterações, com t = 0.1 e K = 0.5. Pode-se observar através das respectivas segmentações (figuras 2(d) e 2(f)), que houve uma melhor suavização com a aplicação E.D.P. (3), onde percebe-se também uma boa preservação dos contornos. Pode-se, também, notar uma maior realce dos contornos na figura 2(d) que na figura 2(f). (a) (b) (c) (d)

5 (e) (f) Figura 2: (a) Imagem Original e (b) com ruído (SNR = 10dB); (c) Imagem reconstruída utilizando a E.D.P. (3) e (d) sua segmentação; (e) Imagem reconstruída utilizando a E.D.P. proposta por You & Kaveh (1) e (f) sua respectiva segmentação. O último exemplo, figura 3, refere-se também a uma imagem real obstruída por um texto sobreposto. A seguir tem-se a figura original, a área de retoque e os resultados obtidos após aplicação de ambos os modelos. O objetivo é retocar a imagem de forma a eliminar o texto sobreposto, recuperando-se a forma original da imagem. (a) (b) (c) (d) Figura 3: (a) Imagem a ser retocada, (b) região de retoque, (c) imagem retocada pela equação proposta por You & Kaveh e (d) imagem retocada pela equação proposta No caso da figura 3, pode-se perceber, através dos resultados experimentais obtidos, que ambos os modelos atingiram o objetivo, removendo completamente o texto sobreposto, produzindo bons resultados. Entretanto enfatizamos aqui que esse tópico é bastante recente e o emprego dessas equações de quarta ordem para o problema de retoque digital requer ainda mais estudos e investigações.

6 4 Conclusões A partir da equação diferencial parcial de quarta ordem proposta por You & Kaveh para remoção de ruídos de imagens digitais, propõe-se, neste trabalho, a utilização de um coeficiente de difusão seletivo, de forma a tornar o processo de difusão mais intenso nas regiões homogêneas e menos intenso nas regiões de contorno da imagem processada. Os resultados obtidos, foram bastante satisfatórios e em geral melhores que os obtidos pela equação (1) apresentada por You & Kaveh. Pode-se ainda ser observado que com a utilização do coeficiente de difusão seletivo, há um melhor nível de suavização associada a uma melhor preservação dos contornos e, portanto, uma melhoria na qualidade final da imagem tratada. O custo computacional do coeficiente proposto por You & Kaveh e do coeficiente de difusão seletivo proposto neste trabalho é praticamente o mesmo por iteração. No caso da equação (3) proposta por You & Kaveh há a necessidade de se avaliar numericamente a norma do operador Laplaciano 2 u e no caso do coeficiente de difusão seletivo devemos avaliar a norma do operador gradiente u, ou seja, ambos apresentado o mesmo custo computacional. Porém, claramente pode ser observado, através dos experimentos numéricos apresentados, que houve uma diminuição significativa da quantidade de iterações requeridas para se obter o resultado final, diminuindo significativamente o esforço computacional total. Além disso, com a utilização do coeficiente de difusão seletivo não há necessidade de se interromper o processo iterativo, uma vez que não há perda acentuada de contornos, o que não ocorre com a utilização do coeficiente proposto por You & Kaveh. Observados os aspectos apresentados anteriormente, concluí-se que a utilização do coeficiente de difusão seletivo apresenta uma melhor performance, tanto no aspecto qualidade, quanto esforço computacional. Referências [1] Alvarez, L., Lions, P. L., Morel, J. M. e Coll, T., Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion, SIAM J. Numer. Anal., 29, 3, pp (1992). [2] Barcelos, C.A.Z., Boaventura, M. e Silva Jr., E.C., A well balanced flow equations for noise removal and edge detections, IEEE Transactions on Image Processing, pp (2003). [3] Chen, Y., Vemuri, B.C. e Wang, Y., Image denoising and segmentations via nonlinear diffusion, Computation Math. Appl., 39, 5/6, pp (2000). [4] Perona, M. e Malik, J., Scale Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 12, 7, pp (1990). [5] You, Y. L. e Kaveh, M., Fourth-Order Partial Differential Equations for Noise Removal, IEEE Trans. Image Processing, 9, pp (2000). [6] You, Y. L. e Kaveh, M., Behavioral Analysis of Anisotropic Diffusion in Image Processing,5, 11, pp (1996). [7] You, Y. L., Kaveh, M., Xu W. e Tannenbaum A., Analysis and design of Anisotropic Diffusion for Image Processing, in Proc. IEEE Int. Conf. Image Processing, vol. II, Austin, TX, pp (1994).