Retroacção Linear de Variáveis de Estado

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1 Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Controlo em Espaço de Estados Problemas para auto-estudo sobre Retroacção Linear de Variáveis de Estado J. Miranda Lemos 03 J. M. Lemos, IST

2 P. Considere o sistema com a função de transferência s a G(s)= s( s ) a constante em cada caso a) Obtenha uma representação de estado de ª ordem do sistema, Designe por as variáveis de estado que utilizar. b) Diga para que valores do parâmetro a, tomando como variáveis de estado, é possível dimensionar os ganhos de uma realimentação linear de todas as variáveis de estado (RLVE) por forma a posicionar arbitrariamente os pólos do sistema em cadeia fechada. Não calcule eplicitamente o polinómio característico da cadeia fechada. c) Para a, dimensione os ganhos bda RLVE por forma a que os pólos da cadeia fechada se situem em 4 acesso à medida directa d. j. Suponha, nesta alínea, que tem d) Suponha agora que não tem acesso à medida directa d. Diga para que valores de a é que o sistema é tal que satisfaz a condição de ser possível dimensionar um observador assimptótico do estado por forma a que o erro na estimativa do estado tenda para zero tão depressa quanto se queira. e) Para a escreva as equações e projecte os ganhos de um observador por forma a que o erro na estimativa do estado tenda para zero, com valores próprios em 0 j da equação de erro. P. (Projecto de um controlador de RLVE. Adaptado de Feedback Control of Dynamic Systems) O movimento de rotação lateral de um petroleiro com 00m de comprimento e que se desloca a uma velocidade de 0m/s é descrito pelo modelo de estado r r J. M. Lemos, IST

3 em que as variáveis de estado são o ângulo de escorregamento, a taa de desvio r e o ângulo de azimute. A variável manipulada é o ângulo do lema. a) Determine a função de transferência do ângulo do leme para o ângulo de azimute e os valores próprios da matriz da dinâmica. b) Suponha que tem acesso ao estado. Usando realimentação do estado, K ( Kr K3 d ) em que d é o ângulo de azimute desejado, determine os ganhos do controlador K, K e K 3 por forma a que os valores próprios da cadeia fechada estejam em 0,, 0, j0,. Comece por supor que 0. c) Suponha agora que só tem acesso à medida de, dada por um girocompasso). Projecte um estimador do estado cuja dinâmica do erro tenha os pólos em 0, 4, 0,4 j0, 4. d) Escreva as equações que definem um controlador para seguimento da referência, por forma a que o erro de seguimento seja o utilizado. d P3. Neste problema pretende-se estudar a dinâmica da infecção pelo vírus HIV- e projectar um controlador por realimentação de variáveis de estado que permita manter a concentração de vírus num determinado valor. Considere o seguinte modelo não linear de infecção pelo HIV-: s d ( u) ( u) Neste modelo, as variáveis de estado são, respectivamente: concentração de células sãs; concentração de células infectadas. A variável manipulada é designada por u e corresponde à dose de um fármaco. As letras s, d,, representam parâmetros que, para o modelo do paciente considerado têm os valores s 0, d 0.0, 0.00, J. M. Lemos, IST 3

4 Responda às seguintes perguntas: a) O modelo tem dois pontos de equilíbrio correspondentes ao paciente saudável (ponto de equilíbrio que designaremos por P) e ao paciente infectado (ponto de equilíbrio que designaremos por Q). Escreva um sistema de duas equações algébricas cuja solução são estes dois pontos (não resolva as equações). b) O ponto de equilíbrio Q (correspondente ao estado de equilíbrio de um indivíduo infectado) é dado por: Determine as coordenadas eqq esatado de equilíbrio de um paciente são). eqp do ponto de equilíbrio P (correspondente ao c) Os incrementos das variáveis de estado em torno do ponto de equilíbrio Q e de u 0 satisfazem um modelo linear em que as matrizes são Determine as matrizes A Q b Q A P e b P do modelo linearizado em torno do ponto P. d) Calcule os valores próprios das matrizes A P e A Q e diga a que tipo de resposta no tempo correspondem. e) Calcule os valores próprios da matriz A P e esboce graficamente o comportamento local do estado do modelo não linear em torno do ponto P, indicando as trajectorias de estado notáveis. f) Considere as figuras 3--a) a 3--d). Diga qual é a que corresponde ao retrato de fase do modelo. Justifique a sua resposta. J. M. Lemos, IST 4

5 g) Recorrendo aos valores próprios e aos vectores próprios, escreva a solução do sistema linearizado em torno do ponto P com condição inicial (referida ao modelo incremental) (0) 0, (0). 00 a) 00 b) a) b) 00 c) 00 d) c) d) Fig. 3- Problema 3. h) Considere os dois sistemas linearizados em torno de P e Q e de u 0. Determine se cada um destes sistemas linearizados é ou não controlável. i) Projecte um controlador por realimentação de variáveis de estado que permita estabilizar o estado em torno do ponto Q e de u 0 por forma a que os valores próprios da dinâmica controlada sejam -0. e -0.. Admita nesta alínea que tem acesso directo ao estado e que pode ter incrementos negativos na variável de controlo. J. M. Lemos, IST 5

6 j) Suponha agora que só tem acesso à medida da concentração das células infectadas (variável ). A saída do sistema é assim y. Diga se o sistema linearizado em torno do ponto Q é observável. k) Para o sistema linearizado da alínea j), projecte um observador assimptótico que permita estimar o estado e cujos valores próprios da dinâmica do errop sejam -0.5 e -. l) Eplique porque é que é importante fazer o estudo da alínea j) antes do projecto do observador. P4. Um permutador de calor permite transferir calor de um fluido (fonte de calor) para outro que se pretende aquecer. Consta normalmente de dois circuitos separados. Num dos circuitos circula o fluido a aquecer e noutro (que o envolve por forma a permitir a transferência de calor), o fluido que constitui a fonte de calor (por eemplo, vapor). Regulando o caudal de fluido quente, varia-se a quantidade de energia transmitida por unidade de tempo ao fluido a aquecer, o que permite regular a sua temperatura. A fig. P4- mostra uma visão esquemática de um permutador de calor. u Comando da válvula vapor Fluido a aquecer Válvula y Temperatura à saída sensor de temp. Fluido aquecido Fig. P4- Esquema de um permutador de calor. J. M. Lemos, IST 6

7 Neste problema pretende-se projectar um controlador por realimentação de variáveis de estado para regular a temperatura de saída do fluído por actuação na válvula do vapor. Para tal, conhece-se o seguinte modelo de estado que relaciona incrementos no comando da válvula u em torno de um ponto de trabalho, com os incrementos y da temperatura do fluido à saída: ( t) ( t) u( t) y 0 ( t) Responda às seguintes questões: a) Projecte um regulador por realimentação de variáveis de estado que coloque os pólos da cadeia fechada em 0.05 j b) Diga justificadamente se o modelo é controlável c) Projecte um observador assimptótico que coloque os pólos do erro de estimação de estado em 0.5 j0. 6 d) Diga justificadamente se o modelo é observável e) Desenhe um diagrama de blocos do sistema de controlo global. P7. Considere o sistema cujo diagrama de blocos se mostra na figura P5-. Fig. P5-: Problema P4. f) Obtenha uma representação de estado de ª ordem do sistema. Tome como variáveis de estado, indicadas na figura. g) Diga para que valores do parâmetro, tomando como variáveis de estado, é possível dimensionar os ganhos de uma realimentação linear de todas as variáveis de estado (RLVE) por forma a posicionar arbitrariamente os pólos do sistema em cadeia fechada. Não calcule eplicitamente o polinómio característico da cadeia fechada. J. M. Lemos, IST 7

8 h) Para, dimensione os ganhos da RLVE por forma a que os pólos da cadeia fechada se situem em 4 acesso à medida directa d. j. Suponha, nesta alínea, que tem i) Suponha agora que não tem acesso à medida directa d. Diga para que valores de é que o sistema é tal que satisfaz a condição de ser possível dimensionar um observador assimptótico do estado por forma a que o erro na estimativa do estado tenda para zero tão depressa quanto se queira. j) Para escreva as equações e projecte os ganhos de um observador por forma a que o erro na estimativa do estado tenda para zero, com valores próprios em 0 j da equação de erro. P8. A figura 6. representa um paciente preparado para ser sujeito a uma intervenção cirúrgica, ligado a um sistema automático de controlo do nível de bloqueio neuromuscular, que constitui uma das componentes da anestesia (a qual visa paralizar o paciente). São visíveis, respectivamente, os seguintes elementos do sistema de controlo: O sensor de actividade muscular, colocado na mão do paciente; O computador que recebe os sinais do sensor e calcula a dose de fármaco relaante muscular (atracúrio) a aplicar ao doente (variável manipulada) por forma que o seu nível de actividade muscular seja o desejado; A seringa perfusora (aparelho verde, do lado esquerdo), que recebe o valor da variável manipulada através de uma porta série ligada ao computador de controlo e aplica ao paciente a dose de fármaco relaante muscular. Neste problema pretende-se projectar um lei de controlo de realimentação de variáveis de estado, a programar no computador, tal que o nível do relaamento muscular seja o desejado (problema de regulação). Para tal, sabe-se que a J. M. Lemos, IST 8

9 relação entre a variável manipulada u e o incremento y do nível de actividade muscular em relação a um nível de referência pode ser representado pelo diagrama de blocos da figura P6-. Neste diagrama, é um parâmetro que tem o valor nominal. Fig. 6-. Problema P6. Controlo por computador do nível de actividade muscular de um paciente sujeito a cirurgia. u s s y Fig. 6-. Problema P8. Modelo da actividade muscular do paciente. J. M. Lemos, IST 9

10 Embora o sistema implementado em computador seja discreto, neste problema apenas se considera o algoritmo baseado em equações em tempo contínuo. Responda sucessivamente às seguintes questões: k) Obtenha uma representação de estado de ª ordem do sistema. Tome como entrada u, variáveis de estado e como saída y, indicadas na figura -. l) Diga para que valores do parâmetro, tomando como variáveis de estado, é possível dimensionar os ganhos de uma realimentação linear de todas as variáveis de estado (RLVE) por forma a posicionar arbitrariamente os pólos do sistema em cadeia fechada. Não calcule eplicitamente o polinómio característico da cadeia fechada. m) Para o valor nominal, dimensione os ganhos da RLVE por forma a que os pólos da cadeia fechada se situem em alínea, que tem acesso à medida directa d j. Suponha, nesta n) Suponha agora que não tem acesso à medida directa d. Diga para que valores de é que o sistema é tal que satisfaz a condição de ser possível dimensionar um observador assimptótico do estado por forma a que o erro na estimativa do estado tenda para zero tão depressa quanto se queira. o) Para o valor nominal escreva as equações e projecte os ganhos de um observador por forma a que o erro na estimativa do estado tenda para zero, com valores próprios em 0. j da equação de erro. p) Usando apenas blocos com entradas e saídas e ligações escalares, desenhe o diagrama de blocos do sistema de controlo incluindo o controlador e o observador. J. M. Lemos, IST 0