Controlo Em Espaço de Estados. Trabalho de Laboratório nº 1 Dinâmica no Espaço de Estados

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1 Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Controlo Em Espaço de Estados 2010/11 Trabalho de Laboratório nº 1 Dinâmica no Espaço de Estados Objectivos Após realizar este trabalho, o aluno deverá ser capaz de: 1. Representar as equações do modelo de estado de um sistema linear no SIMULINK, quer utilizando blocos elementares (integradores, ganhos, funções estáticas, pontos de soma), quer utilizando o bloco que representa o modelo de estado. 2. Utilizar o modelo programado no SIMULINK para simular o sistema, obtendo representações no tempo, e no espaço de estados. 3. Verificar relações existentes entre a distribuição dos valores próprios, a resposta no tempo e as trajectórias no espaço de estados. 4. Escolher condições iniciais no modelo de estado por forma a excitar apenas um modo do sistema. Bibliografia Acetatos do módulo de Modelo de Estado de Sistemas Lineares Contínuos. Trabalho a realizar Deverá entregar um relatório com a resposta às questões indicadas a seguir. Este relatório deverá conter: A identificação do trabalho; A identificação dos alunos (número e nome); A resposta a cada questão indicada a seguir, identificando-a com o seu número. As respostas devem ser concisas. 1

2 Dinâmica de um braço robot flexível A motivação para este trabalho é o estudo da dinâmica de um braço robot para aplicações aeroespaciais. Dadas as restrições de peso nestas aplicações, as estruturas aeroespaciais apresentam muitas vezes um elevado grau de flexibilidade. Se pensarmos numa única junta flexível de um braço robot, ela pode ser descrita por uma função, que dá o desvio em relação à popsição de equilíbrio em função do tempo, para cada ponto de abcissa (fig. 1-a). Tratando-se de uma função de duas variáveis (espaço e tempo), satisfaz uma equação às derivadas parciais com condições fronteira e iniciais apropriadas. Fig. 1- Aproximação do braço flexível. 2

3 A solução da equação às derivadas parciais que modela o braço flexível é excessivamente complicada para o projecto de sistemas de controlo, pelo que se fazem aproximações. De uma maneira muito simplificada, vamos apenas aproximar o troço flexível da fig. 1-a por um troço rígido ligado ao actuador por uma mola (fig. 1-b). Admitimos que o troço rígido tem comprimento e que toda a massa está concentrada na ponta. O braço da fig. 1-b pode ser modelado pelq equação diferencial ordinária: (1) em que: é o momento de inércia do braço, sendo a massa que se admite concentrada na ponta do braço e é o coeficiente de atrito. o comprimento do braço. é a constante de Hooke da mola que liga o braço ao actuador. é o binário aplicado pelo actuador ao braço. Nas simulações que vão ser feitas admite-se que, sendo os movimentos apenas devidos a desvios do braço da sua posição de equilíbrio. Trabalho a realizar 1 (Antes da sessão de laboratório). Tomando como variáveis de estado e (posição e velocidade angular), obtenha a matriz do modelo de estado na forma padrão autónoma (sem entrada) eq. (1) (com ). que seja equivalente à 2 (Antes da sessão de laboratório). Uma maneira padrão de escrever a função de transferência de um SLIT de 2ª ordem é 3

4 em que (coeficiente de amortecimento) e (frequência natural não amortecida) são parâmetros cujos valores definem a resposta do sistema. Sugere-se que relembre a relação entre o valor destes parâmetros e a resposta no tempo recorrendo a Franklin, Powell, Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, cap. 2, ou a qualquer livro equivalente. Obtenha um modelo de estado equivalente a esta função de transferência (tome como variáveis de estado a saída e a derivada da saída da função de transferência) e, comparando com a matriz da pergunta 1, obtenha fórmulas para e em termos dos parâmetros físicos do modelo do braço (massa, comprimento, etc.). 3 (Antes da sessão de laboratório). Com base nas expressões que obteve em 2), diga: a) Se a resposta do sistema se pode tornar oscilatória variando o coeficiente de atrito. b) Se a resposta do sistema se pode tornar mais rápida variando o comprimento. 4. Recorrendo ao SIMULINK obtenha um simulador das equações de estado que obteve em 1). Nesta alínea não pode utilizar o bloco que permite simular directamente o modelo de estado. Deverá utilizar apenas integradores, funções definidas pelo utilizador e outros blocos elementares. Transfira os sinais do SIMULINK para o espaço de trabalho no MATLAB usando blocos To workspace do grupo Sinks. Para gerar uma variável de tempo utilize o bloco Clock do grupo Sources. Escreva um ficheiro.m em que define todos os parâmetros, executa a simulação com o comando sim( nome de ficheiro SIMULINK ) e no fim traça os gráficos. 4

5 Se quiser manipular um gráfico (por exemplo da variável x) pode usar o comando: hh=plot(x); A variável hh (o nome pode ser outro) é um handle que lhe permite referir o gráfico e manipulá-lo. Por exemplo, para aumentar a espessura da linha do gráfico faça set(hh, linewidth,1.5) Para ver a lista das propriedades do gráfico que podem ser alteradas faça get(hh) Utilize os seguintes valores para os parâmetros do modelo Represente os gráficos das variáveis de estado em função do tempo e no espaço de estados. Tome como condição inicial 5. Modifique agora o diagrama de simulação no SIMULINK por forma a utilizar o bloco com o modelo de estado pré-definido. Repare que neste caso tem que definir as matrizes, e com dimensões convenientes. Para efeitos da simulação, como convém escolher a matriz? De aqui em diante deverá usar este diagrama, a menos que especificado em contrário. 6. Considere a situação em que, e os valores de são os indicados a seguir. Trace as respostas no tempo das variáveis de estado e a correspondente evolução no plano de estado quando a condição inicial é Em gráficos à parte, trace ainda respostas sobrepostas no plano de estado para várias condições iniciais que considere significativas por forma a obter o retrato de fase do sistema. 5

6 Sobreponha a estes gráficos o campo de vectores que define a equação diferencial. Este campo é definido associando a cada ponto do espaço de estados o vector que indica a direcção seguida pelas trajectórias de estado nesse ponto. O campo de vectores pode ser traçado com a função quiver. Calcule os valores próprios da matriz com a resposta que obtém no plano de estado. em cada caso, e discuta a sua relação Considere as seguintes situações: a) b) c) 7. Voltando a considerar a situação em que,, trace o gráfico que representa o módulo da parte imaginária dos valores próprios da matriz em função do parâmetro. Usando as expressões que obteve na questão 2), calcule o menor valor de para o qual os pólos são reais. Comente a relação entre o valor do atrito e o grau de oscilação da resposta do braço. 8. Considere a situação em que, e. Faça um ensaio que mostre que, por escolha das condições iniciais, apenas cada um dos dois modos do sistema se manifesta. 9. Verifique através de simulações as respostas que deu na alínea 3). 10. Considere agora que a entrada é diferente de zero e que a saída é a posição angular. Utilize a função bode para determinar as curvas de resposta em frequência. Defina o sistema com a função ss. Estude como a resposta em frequência varia com e com e relacione estas variações com os valores próprios de. 6