Considerações sobre matrizes no controlo. 1 - Valores Próprios, Vectores Próprios e Equação Característica

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1 - Valores Próprios, Vectores Próprios e Equação Característica Os valores próprios e vectores próprios duma matriz são valores particulares obtidos da equação onde: λ v A v () A é uma matriz quadrada de dimensão (n n) λ é um valor próprio de A e é um valor escalar v é um vector próprio de A correspondente a λ. A sua dimensão é (n ) A equação () implica que existam alguns valores particulares de v associados a A, para os quais a multiplicação do vector v pela matriz A simplesmente escala cada elemento de v pelo factor de escala λ. Um vector pode-se ver como um segmento de recta com determinada amplitude (comprimento) e direcção, num espaço vectorial com várias dimensões, quantas as da ordem do vector (mais do que três dimensões é difícil de visualizar, mas o principio aplica-se igualmente). Por exemplo, o vector v [ ] T pode-se representar como na figura. x A v x v v x B v x x x a) v não é um vector próprio b) v é um vector próprio Figura Vectores próprios No produto A v, a matriz quadrada A opera em v produzindo o resultado com as mesmas dimensões de v e, portanto, pode-se representar no mesmo espaço vectorial. A figura ilustra o conceito de vector próprio. Se, após a transformação, A v não é colinear com v, então v não é um vector próprio de A, como se

2 mostra na figura a. Se, após a transformação, B v é colinear com v, então v é um vector próprio de B, como se mostra na figura b. Assim, a equação () representa o caso especial e significativo no qual A v e v apontam na mesma direcção, diferindo, apenas, no comprimento pelo factor de λ. Para se obterem os valores próprios e vectores próprios, deve-se proceder da seguinte forma. Primeiro, manipular a equação (): λ v A v ou [λ I A] v () onde é o vector nulo ( com dimensão n e todos os elementos a zero). De notar a necessidade de manter a dimensão da matriz conforme, inserindo a matriz unitária I n para multiplicar o escalar λ, quando se extrai o factor v. É um requisito comum na álgebra de matrizes e não pode ser esquecido. Por outro lado, v foi extraído, como factor do lado direito dos parêntesis, de forma a manter correcta a ordem multiplicativa. A equação () pode reescrever-se na forma v [λ I A] -. A solução trivial v não tem interesse, já que a inversa de [λ I A] não existe. Assim a solução trivial não será utilizada. O outro caso que nos interessa é: λ I A () A equação () é extremamente importante em controlo e chama-se equação característica de A. Se se obtém a equação característica, partindo da função de transferência no domínio da frequência, o resultado, eventualmente, é o mesmo visto de forma diferente. Resolvendo a equação (), em relação a λ, obtêm-se os valores próprios da matriz. Por exemplo, para a matriz a equação característica é: A 6 4 λ 6 λ 4 λ 6 4 λ ( λ 6) ( λ ) 8 λ 7λ As soluções da equação são: λ 7.75 e λ.75.

3 Utilizando a equação () e substituindo cada valor próprio de cada vez obtêm-se os vectores próprios. Visto que estes especificam a direcção que a equação () toma, a sua amplitude não é importante e, portanto, os vectores podem ter qualquer escala. Consequentemente cada elemento também é afectado. Usando λ e A na equação () virá v 7.75 v 6 4 v v conduzindo a: 7.75 v 6 v + v e 7.75 v 4 v + v. Ou, de outra forma,.75 v v e 4 v 6.75 v. Estas equações são idênticas. Portanto, possuem, como anteriormente sugerido, um número infinito de soluções possíveis, obtendo-se cada equação da outra através de factores de escala. Arbitrariamente, escolhendo v conduz a v.68. Portanto, correspondendo ao valor próprio λ 7.75, tem-se o vector próprio v.68 De forma análoga, tem-se para λ.75 v.8 No MATLAB usa-se o comando eig para calcular os vectores próprios da matriz, em que os vectores próprios são escalados, de forma normalizada, para o comprimento unitário. Por exemplo, para os dois vectores próprios anteriores o MATLAB responderia, respectivamente: e As direcções são as mesmas, mas os comprimentos foram escalados para a unidade. Nota: O MATLAB possui o comando eigshow que ilustra o conceito de valor e vector próprio.

4 - Representação em diagrama de blocos duma matriz Algumas matrizes possuem valores próprios facilmente determináveis e conduzem a modelos de sistemas com estruturas particularmente úteis para algumas aplicações. Por exemplo, a matriz diagonal possui os seus valores próprios na diagonal principal. Se se desenhar o diagrama de blocos correspondente, este representa uma série de ganhos independentes, iguais aos valores próprios, sem interacção entre eles. A matriz triangular superior possui todos os elementos nulos abaixo da diagonal principal como, por exemplo: entradas saídas Esta matriz também possui os valores próprios na diagonal principal, i.e., os valores próprios desta matriz são, 4 e 7. Em termos de diagrama de blocos, esta matriz representa um sistema no qual a entrada apenas alimenta a saída. A saída é alimentada apenas pela entrada, mas a entrada também alimenta as saídas e. A figura mostra o diagrama de blocos correspondente x y x 6-4 y 5 x 7 y Figura Diagrama de blocos duma matriz Os valores próprios também possuem outras propriedades interessantes. Por exemplo, o determinante de qualquer matriz quadrada é o produto dos 4

5 seus valores próprios. O traço de qualquer matriz quadrada, que é a soma dos elementos da diagonal principal, é a soma dos seus valores próprios. Estas duas propriedades tanto se aplicam às matrizes diagonal e triangular, como também a qualquer outra matriz quadrada. - Sugestões de trabalho. Determinar, utilizando o MATLAB, os valores próprios da matriz [ 6 5; 4 ; 7] e confirme que são os elementos da diagonal principal.. Determinar quais das seguintes matrizes são singulares, podendo, para isso, utilizar os comandos do MATLAB ( eig, det, eigshow) A[ 6 ; 4 ], B[ 5/4 ; /4 ], C[ ; ], D[ ; ], E[ ; ], F[ ; 4 ] / 4, G[ ; 4 ] / 4, H[ ; 4 ] / 4, K[ ; 4 ] / 4, L[ 4; 4 ] / 4, M[ 4; ] / 4 N[ 5/4 ; /4 ].. Utilizando o SIMULINK e recorrendo à representação em diagrama de blocos duma matriz, represente o sistema dado por: A[ ; ; 5] B[ 5] C[ ] D Deve-se ter em consideração que um sistema representado no espaço de estados tem por equações : x! A x + B u y C x + D u 5

6 Neste exemplo, para representar cada matriz, aconselha-se a formar um bloco na forma dum subsistema com entradas e saídas com os respectivos elementos da matriz apresentados como ganhos. Um exemplo desta representação mostra-se na figura. In In In Gain Gain Gain4 Gain Gain - Gain5 Gain4 Gain Gain6-5 Sum Sum4 Sum5 Out Out Out Figura Diagrama de blocos duma matriz no simulink Para representar o bloco integrador aconselha-se a formar um bloco na forma dum subsistema com entradas e saídas. Um exemplo desta representação mostra-se na figura 4. In s Integrator Out In In s Integrator s Integrator Out Out Figura 4 Representação do diagrama de blocos do integrador 6

7 Uma forma possível de representação do diagrama de blocos do sistema global mostra-se na figura 5. In Out In Out In Out Matriz D Step Gain In Out Sum6 In Out In Out Sum9 Gain In Out In Out Matriz B Sum7 In Out In Out integrador In Out In Out Matriz C Sum Mux Mux Scope Gain Sum8 Sum Out In Out In Out In Matriz A Figura 5 Representação do diagrama de blocos do sistema global 4. Pretendem-se observar no mesmo gráfico os sinais de entrada e de saída do sistema. O sinal de entrada será o degrau unitário. O sinal de saída será a resposta do sistema a esta entrada. Procure alterar a matriz D de forma que essa representação seja possível. 5. Confirme o resultado no SIMULINK, comparando-o com o resultado obtido no MATLAB, através do comando:» [y,x,t]step(a,b,c,d);plot(t,x);grid 7