Computer Control Problems

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1 Computer Control Problems 03 J. Miranda Lemos and A. Bernardino Models in Computer Control P Determine os primeiros 6 termos da solução da equação de diferenças y ( k) k ) k ) k, 3, partindo das condições iniciais y ( 0) ) (Estes números denominam-se números de Fibonacci). P Considere o sistema com entrada u e saída y descrito pela equação de diferenças linear k ) a k ) a k) b0 k ) bu ( k) em que k 0,,, é o tempo discreto, os a i, bi são parâmetros constantes e as condições iniciais são nulas. Por aplicação do Princípio de Sobreposição, mostre que se trata de um sistema linear. P3 Considere o sistema discreto descrito pela equação de diferenças: y ( k) 0.5 k ) k ) k 0) k ) a) Determine a função de transferência no operador atraso; b) Determine a função de transferência no operador avanço; c) Determine os pólos e os zeros (e a respectiva multuplicidade) e o atraso puro do sistema. P4 Considere o sistema linear e invariante descrito pela equação de diferenças k ) a k ) a k) b0 k ) bu ( k) a) Escreva a equação na forma em que a variável mais avançada é y (k). Problems - Computer Control Page

2 b) Determine a função de transferência, em potências de z e de c) Diga qual o atraso puro do sistema. d) Obtain an equivalent state-space model of the system. z. P5 - Considere o sistema da figura seguinte. A B C D/A s e -s D E A/D Processo O A/D e o D/A operam sincronamente, com um intervalo de amostragem de segundo. Admita que o D/A se comporta como um retentor de amostras de ordem zero e que o A/D se comporta como um amostrador ideal. Suponha que as condições iniciais do processo são nulas. Suponha ainda que no ponto A é aplicado um escalão digital unitário. Nestas condições, responda às perguntas seguintes: a) Represente graficamente os sinais nos pontos A, B, C, D, E. b) Escreva expressões para o sinal nos pontos C e E. c) Obtenha o modelo discreto equivalente entre os pontos A e E, na forma de uma função de transferência digital P6.Considere o sistema cujo diagrama de blocos se mostra na figura seguinte. A D/A B /(s +3s+) C A/D Processo D Admita que o D/A se comporta como um retentor de amostras de ordem zero e que o A/D se comporta como um amostrador ideal. Ambos os conversores operam sincronamente. As condições iniciais do processo são nulas. a) Calcule os polos do sistema contínuo e indique a regra pela qual se podem obter os polos do sistema discretizado entre os pontos A e D. b) Estabeleça uma frequência de amostragem adequada à discretização do sistema. Justifique. Problems - Computer Control Page

3 c) Para essa frequência obtenha o modelo discreto equivalente entre os pontos A e D, na forma de uma função de transferência digital. P7. Considere o sistema contínuo cujo modelo é dado da seguinte forma: d dx( 0.5 t ) dt dt O sinal {u} representa a entrada do sistema e {y} a sua saída. Note que a variável independente do sinal de entrada está atrasada relativamente à do sinal de saída. Pretencde-se: Determine um modelo discreto equivalente, na forma de uma função de transferência discreta, quando este sistema é amostrado com um retentor de amostras de ordem zero e um intervalo de amostragem de segundo. P8. Um sistema contínuo com função de transferência G( s) s e s é amostrado com um intervalo de amostragem h, com um retentor de amostras de ordem zero. Determine o seu equivalente discreto. Note que a transformada Z do escalão unitário é z z P9. Considere o sistema descrito na figura seguinte. x x x 3 D/A x 4 x 5 A/D Admita que o D/A se comporta como um retentor de ordem zero e que o A/D se comporta como um amostrador ideal. Ambos os conversores operam sincronamente à frequência de amostragem f s = Hz. As condições iniciais do processo são nulas, e no instante t = 0 é aplicado um escalão unitário em x. d) Esboce os sinais x, x, x 3, x 4 e x 5, ao longo do tempo, identificando claramente os que são contínuos e os que são discretos. Não é necessário fazer um esboço rigoroso dos transitórios. e) Obtenha o modelo discreto equivalente. Problems - Computer Control Page 3

4 f) Verifique se a frequência de amostragem dada é adequada à obtenção de um equivalente discreto que seja uma boa aproximação do sistema contínuo. Caso contrário, escolha uma frequência adequada. g) Faça agora f s = 0Hz. Calcule os polos e zeros do equivalente discreto e indique o que lhes acontece se aumentarmos ainda mais a frequência de amostragem. Nota: h z( z ) Z ( 3 ( z ) P0. Considere um veículo submarino tipo torpedo com propulsão eléctrica que se mostra na figura seguinte. Fp v Este veículo desloca-se em linha recta, sendo a força de propulsão devida à rotação da hélice accionada por um motor eléctrico. Os dois incrementos u (variável manipulada, correspondente à variação da velocidade da hélice em torno do equilíbrio) e v (saída do sistema, correspondente ao incremento da velocidade do torpedo em relação ao equilíbrio) estão aproximadamente relacionados, para valores pequenos, pelo modelo linear: dv dt v u () Por forma a realizar o controlo por computador da velocidade do torpedo por actuação em u, é utilizado o esquema que se mostra na figura seguinte. A D/A B C D A/D v( v( Dinâmi ca i ncremental do torpedo O A/D e o D/A operam sincronamente, com um intervalo de amostragem h. Admita que o D/A se comporta como um retentor de amostras de ordem zero e que o A/D se comporta como um amostrador ideal. Suponha que as condições iniciais são nulas (isto é, quer a força de propulsão, quer a velocidade do torpedo se encontram inicialmente nos seus valores de equilíbrio). Nestas condições, responda às perguntas seguintes (considere apenas os incrementos em relação ao equilíbrio): a) Obtenha o modelo discreto equivalente entre os pontos A e D, na forma de uma função de transferência discreta. Considere h, e genéricos. b) Escreva a equação de diferenças equivalente à função de transferência que obteve em b). Problems - Computer Control Page 4

5 c) Recorrendo ao método dos mínimos quadrados para estimar parâmetros no modelo discreto, diga como poderia estimar os parâmetros e a partir de registos de observações experimentais para o comando do motor u e a velocidade v. Ajudas úteis: TL e at s a TZ (degrau) TZ kh / T e h / T z z z z e P. Considere o sistema contínuo cujo modelo de estado é y x x x u 0 x Determine um modelo discreto equivalente, na forma de uma função de transferência discreta, quando este sistema é amostrado com um retentor de amostras de ordem zero e um intervalo de amostragem de segundos. Nota: Z ( h z( z ) 3 ( z ) P Considere o sistema contínuo x ax bu y cx Suponha que a entrada u é constante durante intervalos de tempo de duração h. Amostre o sistema em instantes síncronos com as variações em u e discuta como é que os pólos do sistema discreto variam com o intervalo de amostragem h. P3 As equações de diferenças seguintes são supostas descrever sistemas em tempo contínuo, amostrados com um retentor de amostras de ordem zero e um intervalo de amostragem h. Determine, se existirem, os correspondentes sistemas em tempo contínuo: a) 0.5 kh h) 6 kh h) Problems - Computer Control Page 5

6 b) 0.5 x( kh h) 0 x( 0.5 x( c) 0.5 kh h) 6 kh h) P4 Determine a função de transferência discreta do sistema 0.5 x( kh h) 0 0 x( 0. x( 0 P5 Considere o sistema contínuo com função de transferência G( s) e s em que o atraso é. Obtenha o modelo de estado do sistema amostrado com um intervalo de amostragem h. s P6 Considere o sistema contínuo estável G( s) s b s a em que a b. Determine a função de transferência discreta do sistema amostrado com um intervalo de amostragem h. Obtenha condições para que o sistema amostrado tenha um inverso estável (isto é, para que não tenha zeros fora do círculo unitário). 3 Identification P - Dadas duas grandezas físicas X e Y, pretende-se estimar o parâmetro a no modelo linear que as relaciona, e que é da forma Y ax em que é uma variável que traduz a existência de erros experimentais. Em 5 experiências em que se mediu o valor de X e o correspondente valor de Y, obtiveram-se os seguintes resultados: Problems - Computer Control Page 6

7 i X Y Na tabela acima, I representa o número da experiência realizada. Determine uma estimativa do parâmetro a recorrendo aos método dos mínimos quadrados, indicando: a) A funcional de mínimos quadrados; b) A equação satisfeita pela estimativa; c) O valo da estimativa. P.Sabe-se que a grandeza Y tem uma variação polinomial no tempo, sendo modelada por um polinómio de segundo grau, da forma: Y( at ( Nesta equação, t é o tempo contado a partir do início da experiência, a é um parâmetro a estimar e ( é um resíduo que traduz a existência de erros experimentais, o qual se assume pequeno. Por forma a estimar a constante a, efectua-se uma experiência ao longo da qual se regista o valor de Y, bem como os instantes de medida contados desde o início. Obtiveram-se os resultados que se mostram na tabela seguinte: t (segundo) Y Problems - Computer Control Page 7

8 Estimativa Estimativa Recorrendo ao método dos mínimos quadrados e aos dados indicados na tabela, determine uma estimativa do parâmetro a. Indique sucessivamente: a)a funcional de mínimos quadrados; b)a equação satisfeita pela estimativa; c)o valor da estimativa; P3. Pretende-se estimar por mínimos quadrados não recursivos o parâmetro a no modelo y ( a t ) t ) para o que se observaram séries de observações das variáveis u ( e y (, com 000 pontos cada. Designam-se estas observações experimentais por u i e y i, i,, N 000. a) Determine uma fórmula para a estimativa não recursiva de mínimos quadrados do parâmetro a em função dos dados, indicando sucessivamente: i) O funcional de mínimos quadrados; ii) A equação satisfeita pela estimativa; iii) Uma fórmula para o cálculo da estimativa. b) Para estimar o mesmo parâmetro, no mesmo modelo, recorreu-se ao método dos mínimos quadrados recursivos com esquecimento exponencial. Na experiência efectuada o parâmetro a tem inicialmente o valor de 0.95 e, depois de t 500, assume o valor Fizeram-se duas experiências com factores de esquecimento com o valor e Os resultados destas experiências mostram-se nas figuras P4- e P4-. Pretende-se: Diga a qual das figuras corresponde qual dos valores do factor de esquecimento. Justifique Tempo [número de amostras] Tempo [número de amostras] Fig. P4- Fig. P4- Problems - Computer Control Page 8

9 P4. Considere o sistema modelado por a t ) b t ) e( em que e é um sinal branco, gaussiano, de média nula e variância unitária. É efectuada uma experiência no sistema para estimar os parâmetros a e b. Com os dados obtidos para u e y calcularam-se as seguintes quantidades: 999 i 999 y ( i) 30 u ( i) 50 y ( i ) i) y ( i) i) 0 y ( i ) i) 36 i 999 i Determine a estimativa de mínimos quadrados dos parâmetros a e b. 999 i 999 i P5 - Considere o sistema descrito pela seguinte equação às diferenças: Nesta equação, a t ) b t ) ( a, b, são parâmetros a estimar, t é o número do ensaio realizado e ( é um resíduo que traduz a existência de erros experimentais, o qual se assume pequeno. Por forma a estimar as constantes a, b, efectua-se uma experiência desde t= até t=000, estando o sistema inicialmente em repouso, ao longo da qual se registam os seguintes valores: 000 t 000 t 000 y ( t ).4, y ( t ) 0. 7, y ( t ) 0. 4 t u ( t ), u ( t ) t ) 0, u ( t ) t t 000 t ), y ( t ) t ) 0, t ) t ) 0 t a) Recorrendo ao método dos mínimos quadrados calcule a estimativa dos parâmetros do sistema (a, b). b) Qual das estimativas (de a ou de b) tem maior precisão? Justifique. c) Diga que condições deverá satisfazer a sequência de ruído para que a estimativa dos parâmetros seja centrada. t 000 t 000 t P6 Show that, whenever the indicated inverses exist, the following identity is true: A BCD A A BDA B C DA Suggestion: Use the fact that if, then. Problems - Computer Control Page 9

10 P7 Demonstre as seguintes equações que propagam no termpo a estimativa do método das variáveis instruimentais recursivas: P( t ) ( '( P( t ) P( P( t ) '( P( t ) ( ˆ ( ˆ( t ) P( ( ˆ( t ) ( P8 - Deduza as equações que permitem estimar recursivamente o vector de parâmetros dadas N observações de e de (t-), admitindo válido o modelo '( t ) v( em que v( é um resíduo pequeno (escalar para cada. O estimador não pode implicar a inversa de uma matriz, e minimiza o critério de mínimos quadrados com factor de esquecimento, dado por ^ N N t J( ) ( '( t ) ) t sendo um escalar positivo e menor do que. A BCD A A B DA B C DA. Sugestão: Use the fact that the batch least squares estimate with forgetting factor can be computed using ( ) ( ) ( ) ( ), where the information matrix verifies the recursive equation ( ) ( ) ( ) ( ). P9.Considere o processo estável descrito pela equação de diferenças k) a k ) k ) v( k) em que v(k) é um resíduo não mensurável, modelado por v( k) e( k) ce( k ) Problems - Computer Control Page 0

11 e as sequências k), e(k) são sequências brancas, independentes, de média nula e variância unitária. Supõe-se que apenas estão acessíveis para medida directa os sinais y, u, não sendo o sinal e acessível. Suponha válida a aproximação das médias estatísticas por médias na amostra. Exprima a estimativa de mínimos quadrados da constante a em função de a e de c. Sugestão: Dado o modelo linear '( t ) ( a estimativa de mínimos quadrados do vector o é dada por N N ( k ) '( k ) k) ( k ) k k Para obter a variância da saída y em regime estacionário, comece por obter uma equação de diferenças para ela. o P0. Pretende-se medir um parâmetro, para o que se dispõe de dois sensores que produzem medidas y e y tal como se mostra na figura. e sensor e y sensor y Pretende-se estudar o problema de fusão sensorial, isto é, de combinar as medidas dos dois sensores. Admite-se que o sensor i produz uma medida y i relacionada com o valor verdadeiro do parâmetro por y i e i tal que pei ( ei ) exp ei Problems - Computer Control Page

12 sendo e e e mutuamente independentes e independentes de. a)determine a estimativa de máxima verosimilhança do parâmetro, designada por calculada a partir de um par de medidas y e y. b)pretende avaliar-se da vantagem da utilização dos dois sensores em relação a um único. Admita que o parâmetro é uma variável aleatória gaussiana com uma certa média e uma certa variância. Determine a variância do erro: O que conclui? i)quando usa apenas um sensor, E y ii)quando usa a estimativa de máxima verosimilhança baseada nos dois sensores, E MV. P - Para a instalação de uma antena num prédio elevado, pretende-se caracterizar a força exercida pelo vento na estrutura. Como a força exercida é proporcional à velocidade do vento, efectuam-se medições diárias do módulo da velocidade do vento (independentemente da orientação) através de um anemómetro: v i, i= N. Admite-se que o módulo da velocidade segue uma distribuição de Rayleigh de parâmetro : p( v ) v v exp Admitindo que as medições em dias consecutivos são independentes, calcule a estimativa do valor do parâmetro pelo método da máxima verosimilhança (considere um número arbitrário N de medições). A distribuição de Rayleigh modela processos D cujas componentes ortogonais (neste caso v x e v y ) têm distribuição Gaussiana de média nula e variância. Problems - Computer Control Page

13 P Antes de uma partida de futebol é necessário verificar se a moeda a utilizar na escolha de campo está ou não viciada. Para isso recorre-se a uma experiência em que se efectuam n lançamentos independentes e se regista o número de faces e coroas obtidas: { n y, y,..., y } ; y i = se face e y i = 0 se coroa Seja p a probabilidade de um lançamento da moeda em questão resultar em face. A moeda será não viciada se p for próximo de 0.5. a) Mostre que a função de verosimilhança para a experiência referida é dada pela distribuição de Bernoulli: L y, y,..., y ( n p) p k p n k sendo k o número de faces saídas ( k n y i i ). b) Obtenha o estimador de máxima verosimilhança do parâmetro p. P3. Pretende-se caracterizar o ruído de um sensor utilizando o método da máxima verosimilhança. Para isso dimensiona-se uma experiência onde se obtêm N observações do sensor (y i, i= N), com entrada nula. Admita que o ruído do sensor é branco, gaussiano, de média nula, e as observações são independentes. Mostre que a estimativa de máxima verosimilhança da variância do ruído é: ˆ N i N y i y Notas: ( 0, ) e ; d log( x) dx x Problems - Computer Control Page 3