Controlo Em Espaço de Estados. Exame

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Marco Antônio Rubens Cruz Eger
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1 Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Controlo Em Espaço de Estados 4/5 Eame 9 de Junho de 5, 5h horas salas F, F Duração horas Não é permitida consulta nem uso de calculadoras programáveis uotação: - ( em b),c),i) e nas restantes), a) b) ) 4).. O vírus HIV- ataca o sistema imunitário. De uma maneira simplificada, podemos caracterizar a infecção através das células do sistema imunitário sãs (ainda não afectadas pelo vírus) e pelas células infectadas (modificadas pelo vírus). Neste problema pretende-se estudar a dinâmica da infecção pelo vírus HIV- e projectar um controlador por realimentação de variáveis de estado que permita manter a concentração de vírus num determinado valor, através da aplicação de um fármaco ao indivíduo infectado. Considere o seguinte modelo não linear de infecção pelo HIV-: s d ( ( Neste modelo, as variáveis de estado são, respectivamente: concentração de células sãs; concentração de células infectadas. variável manipulada é designada por u e corresponde à dose de um fármaco que é aplicado ao paciente. s letras s, d,, representam parâmetros que, para o modelo do paciente considerado têm os valores s, d.,.,.4. Responda às seguintes perguntas:

De uma maneira simplificada, podemos caracterizar a infecção através das células do sistema imunitário sãs (ainda não afectadas pelo vírus) e pelas células infectadas (modificadas pelo vírus).

2 a) Na ausência de terapia (u = ), o modelo tem dois pontos de equilíbrio correspondentes ao paciente saudável (ponto de equilíbrio que designaremos por ) e ao paciente infectado (ponto de equilíbrio que designaremos por ). Escreva um sistema de duas equações algébricas cuja solução são estes dois pontos (não resolva as equações). b) O ponto de equilíbrio (correspondente ao estado de equilíbrio de um indivíduo infectado) é dado por Determine as coordenadas eq 4.67 eq do ponto de equilíbrio (o outro ponto de equilíbrio, correspondente ao estado de equilíbrio de um paciente são). c) Os incrementos das variáveis de estado em torno do ponto de equilíbrio e de u satisfazem um modelo linear em que as matrizes são Determine as matrizes b.7 5. e b do modelo linearizado em torno do ponto. d) Calcule os valores próprios das matrizes e e diga para cada uma a que tipo de resposta no tempo correspondem (se o ponto de equilíbrio é estável ou instável, se a resposta é ou não oscilatória e se tende ou não para zero quando o tempo aumenta). e) Calcule os vectores próprios da matriz e esboce graficamente de modo aproimado o comportamento local das trajectórias no plano de estado do modelo não linear em torno do ponto. Suponha u =. f) Considere as figuras a) a d). Diga qual é a que corresponde ao retrato de fase do modelo. Justifique a sua resposta.

b) O ponto de equilíbrio (correspondente ao estado de equilíbrio de um indivíduo infectado) é dado por Determine as coordenadas eq 4.

3 g) Recorrendo aos valores próprios e aos vectores próprios, escreva a solução do sistema linearizado para incrementos com componentes e em torno do ponto com condição inicial (referida ao modelo incremental) (), (). h) Considere o sistema linearizado em torno de e de u. Determine se este sistema linearizado é ou não controlável. a) b) a) b) c) d) c) d) Fig. roblema. i) rojecte um controlador por realimentação de variáveis de estado que permita estabilizar o estado em torno do ponto e do controlo de equilíbrio u por forma a que os valores próprios da dinâmica controlada sejam -. e -..

Determine se este sistema linearizado é ou não controlável. a) b) 9 9 8 8 7 7 6 6 5 4 4 5 6 5 4 4 5 6 a) b) c) d) 9 9 8 8 7 7 6 6 5 4 4 5 6 5 4 4 5 6 c) d) Fig.

4 dmita nesta alínea que tem acesso directo ao estado e que pode ter incrementos negativos na variável de controlo (quer dizer, que Δu pode ser negativo).. a) Recorrendo ao º Método de Lyapunov, mostre que a origem (, ) do sistema seguinte é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável: b) Considere agora o sistema d d d d Demonstre que a origem é instável com o teorema de instabilidade de Lyapunov.. Considere um veículo que se desloca sem atrito numa única direcção e em que se despreza a dinâmica do motor. equação diferencial que o representa é d = u, (o) =. variável (t) representa a coordenada do veículo no instante t, e u(t) é o comando do veículo (variável manipulada). Recorrendo ao rincípio de ontryagin, calcule u(t), t que maimiza o funcional juda: d f (, d ( )' '( t) f ( ( t), u( t)) L H (,, ' f (, L(, J( = () u (t). () J ( ( ( T)) ( ( t), u( t)) T L(, ( T) ( ( T)) 4

instável com o teorema de instabilidade de Lyapunov.. Considere um veículo que se desloca sem atrito numa única direcção e em que se despreza a dinâmica do motor.

5 f f L L f L f f 4. Considere um robot que se move de acordo com o modelo de estado d = d = u variável (t) = [ (t) ] representa o estado do veículo no instante t, e u(t) (t) (escalar) é o comando do robot (variável manipulada). Recorrendo ao rincípio de ontryagin, calcule a função de controlo que permite transferir o estado do valor inicial para o valor final em t = T = minimizando o funcional de custo () = [ ] () = [ ], J( = u (t). uer dizer: pretende-se calcular a lei de controlo que pára o robot em segundos consumindo o mínimo de energia. 5

instante t, e u(t) (t) (escalar) é o comando do robot (variável manipulada).

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