Robustez em controladores digitais.

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1 Robustez em controladores digitais. ENG730: Tópicos Especiais em Eng. Elétrica Departamento de Engenharia Elétrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA 14 de março de 2016 Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 30

2 Sumário 1 Introdução 2 Revisão - descrição de incertezas 3 Requisitos de malha 4 Problema de controle robusto 5 Introdução ao projeto IMC 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 2/ 30

3 Sumário 1 Introdução 2 Revisão - descrição de incertezas 3 Requisitos de malha 4 Problema de controle robusto 5 Introdução ao projeto IMC 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 3/ 30

4 Introdução Contextualização Tópicos: Requisitos de malha; Problema de garantia de estabilidade robusta; Introdução ao projeto de controladores por modelo interno (IMC). Referências principais M. Morari, E. Zafiriou, Robust Process Control, 1 a edição, Prentice Hall (1989). W. A Wolovich, Automatic Control Systems: Basic Analysis And Design, 1 a edição, Saunders College Publishing (1994). Referências auxiliar K. Astrom, B. Wittenmark, Computer Controlled Systems: Theory and Design, 3 a edição, Dover Publications (2011). Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 30

5 Introdução Contextualização Tópicos: Requisitos de malha; Problema de garantia de estabilidade robusta; Introdução ao projeto de controladores por modelo interno (IMC). Referências principais M. Morari, E. Zafiriou, Robust Process Control, 1 a edição, Prentice Hall (1989). W. A Wolovich, Automatic Control Systems: Basic Analysis And Design, 1 a edição, Saunders College Publishing (1994). Referências auxiliar K. Astrom, B. Wittenmark, Computer Controlled Systems: Theory and Design, 3 a edição, Dover Publications (2011). Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 30

6 Sumário 1 Introdução 2 Revisão - descrição de incertezas 3 Requisitos de malha 4 Problema de controle robusto 5 Introdução ao projeto IMC 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 30

7 Revisão - descrição de incertezas Representação de incertezas: Robust Process Control Descrição de incertezas aditivas Seja uma família de plantas LTI representada por Π = {P : P(e jω ) P n(e jω ) l a(e jω )}. Então, qualquer elemento de Π deve obedecer com P(e jω ) = P n(e jω )l a(e jω ) l a(e jω ) l a(e jω ). Descrição de incertezas multiplicativas Se considerarmosl a(jω) = P n(e jω )l m(e jω ), teremos { } Π = P : P(e jω ) P n(e jω ) P n(e jω ) lm(ejω ). Neste case, qualquer elemento de Π deve obedecer com P(e jω ) = P n(e jω )[1l m(e jω )] l m(e jω ) l m(e jω ). Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 30

8 Revisão - descrição de incertezas Representação de incertezas: Robust Process Control Descrição de incertezas aditivas Seja uma família de plantas LTI representada por Π = {P : P(e jω ) P n(e jω ) l a(e jω )}. Então, qualquer elemento de Π deve obedecer com P(e jω ) = P n(e jω )l a(e jω ) l a(e jω ) l a(e jω ). Descrição de incertezas multiplicativas Se considerarmosl a(jω) = P n(e jω )l m(e jω ), teremos { } Π = P : P(e jω ) P n(e jω ) P n(e jω ) lm(ejω ). Neste case, qualquer elemento de Π deve obedecer com P(e jω ) = P n(e jω )[1l m(e jω )] l m(e jω ) l m(e jω ). Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 30

9 Revisão - descrição de incertezas Representação de incertezas: Automatic Control Systems Descrição de incertezas multiplicativas Seja W c(z) uma F.T tal que W c(e jω ) P(e jω ) P n(e jω ) P n(e jω ). Neste caso, a F.T. real pode ser descrita por sendo (z) desconhecida com P(e jω ) = P n(e jω )[1 (e jω )W c(e jω )] (z) 1. O termo W c(e jω ) pode ser estimado experimentalmente. W c(z) é equivalente a l m(z) quando se considera apena uma planta em Π. Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 30

10 Sumário 1 Introdução 2 Revisão - descrição de incertezas 3 Requisitos de malha 4 Problema de controle robusto 5 Introdução ao projeto IMC 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 30

11 Requisitos de malha Sistema considerado r rf e u F C Wu du du P dy Wy dy y n Wn n Os sinais n (t), d y(y) e d u(t) são perturbações externas normalizadas. As funções de transferência W y(z), W u(z) e W n(z) apresentam uma infromação freqüêncial O sinal d u(t) poderia ser desconsiderado sem perda de generalidade uma vez que pode-se definir. W y(z) = P(z)W u(z) Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 30

12 Requisitos de malha Função de sensibilidade r rf e u F C Wu du du P dy Wy dy y n Wn n O efeito da variação de P(z) com relação à y(z) P(z)C(z) = H(z) = r f (z) 1P(z)C(z) pode ser estudado através da função de sensibilidade S(z) H(z) P(z) H(z) P(z) Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 30

13 Requisitos de malha Função de sensibilidade r rf e u F C Wu du du P dy Wy dy y n Wn n O efeito da variação de P(z) com relação à y(z) P(z)C(z) = H(z) = r f (z) 1P(z)C(z) pode ser estudado através da função de sensibilidade S(z) H(z) ( ) 1 H(z) = C(z)[1P(z)C(z)] C(z)[C(z)P(z)] P(z) P(z) P(z) [1P(z)C(z)] 2 H(z) = C(z)P(z) 1 [1P(z)C(z)] 2 H(z) = 1 1P(z)C(z) Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 30

14 Requisitos de malha Função de sensibilidade r rf e u F C Wu du du P dy Wy dy y n Wn n O efeito da variação de P(z) com relação à y(z) P(z)C(z) = H(z) = r f (z) 1P(z)C(z) pode ser estudado através da função de sensibilidade S(z) H(z) ( ) 1 H(z) = C(z)[1P(z)C(z)] C(z)[C(z)P(z)] P(z) P(z) P(z) [1P(z)C(z)] 2 H(z) = C(z)P(z) 1 [1P(z)C(z)] 2 H(z) = 1 1P(z)C(z) Prof. Tito Luís Maia Santos 12/ 30

15 Requisitos de malha Função complementar de sensibilidade r rf e u F C Wu du du P dy Wy dy y n Wn n S(z) pode ser utilizado para avaliar o efeito de variações em P(z) S(z) 1 1P(z)C(z) Por outro lado, C(z) = H(z) é complementar à função de sensibilidade pois S(z)C(z) = 1 1C(z)P(z) P(z)C(z) 1C(z)P(z) = 1 Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 30

16 Requisitos de malha Função de sensibilidade r rf e u F C Wu du du P dy Wy dy y n Wn n A relação S(z) C(z) = 1 impõe um compromisso. Notar que y(z) y(z) = C(z) ou n(z) y(z) y(z) = S(z) ou d y(z) n (z) = Wn(z)C(z) d y(z) = Wy(z)C(z) Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 30

17 Sumário 1 Introdução 2 Revisão - descrição de incertezas 3 Requisitos de malha 4 Problema de controle robusto 5 Introdução ao projeto IMC 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 15/ 30

18 Problema de controle robusto Objetivo Definir um controlador C(z), baseado num modelo P n(z), que seja estável ao controlar qualquer planta P(z) que pertença a Π. du dy r rf e u y F C P Prof. Tito Luís Maia Santos 16/ 30

19 Problema de controle robusto Estabilidade Interna du dy r rf e u y F C P Definição: Um sistema de controle é estável internamente se um sinal limitado, injetado em qualquer ponto do sistema, gera uma saída limitada em todos os outros pontos. Equivalente a testar a BIBO estabilidade par-a-par do sistema abaixo [ ] ] [ ] y(z) rf (z) = u(z) d u(z) [ P(z)C(z) 1P(z)C(z) C(z) 1P(z)C(z) P(z) 1P(z)C(z) P(z)C(z) 1P(z)C(z) Prof. Tito Luís Maia Santos 17/ 30

20 Problema de controle robusto Estabilidade Interna du dy r rf e u y F C P Definição: Um sistema de controle é estável internamente se um sinal limitado, injetado em qualquer ponto do sistema, gera uma saída limitada em todos os outros pontos. Equivalente a testar a BIBO estabilidade par-a-par do sistema abaixo [ ] ] [ ] y(z) rf (z) = u(z) d u(z) [ P(z)C(z) 1P(z)C(z) C(z) 1P(z)C(z) P(z) 1P(z)C(z) P(z)C(z) 1P(z)C(z) Prof. Tito Luís Maia Santos 17/ 30

21 Problema de controle robusto Estabilidade Interna Considere o sistema abaixo: [ ] y(z) = u(z) [ Pn(z)C(z) 1P n(z)c(z) P n(z) 1P n(z)c(z) C(z) 1P n(z)c(z) Pn(z)C(z) 1P n(z)c(z) ] [ r(z) d u(z) já temos as seguintes condições necessárias para garantir estabilidade robusta: i) C(z) não pode apresentar zeros de fase não-mínima que são pólos instáveis de P(z); ii) C(z) não pode apresentar pólos instáveis que são zeros de fase não-mínima de P(z); iii) As raízes de 1P n(z)c(z) devem pertencer ao interior do círculo unitário. Como garantir iii) para todo P(z) que pertence a Π? ] Prof. Tito Luís Maia Santos 18/ 30

22 Problema de controle robusto Análise de Robustez Imag 1 Real B A C(e jω )P n(e jω )(1l m(e jω )) C(e jω )P n(e jω ) O vetor que liga 1 a P(e jω )C(e jω ) é v(e jω ) = 1P(e jω )C(e jω ). O vetor que liga 1 a P n(e jω )C n(e jω ) é v n(e jω ) = 1P n(e jω )C(e jω ). Se a distância entre A e B (mesma freqüência) é menor do que a distância entre A e 1, então B não cruza o ponto 1. Prof. Tito Luís Maia Santos 19/ 30

23 Problema de controle robusto Análise de Robustez Imag 1 Real B A C(e jω )P n(e jω )(1l m(e jω )) C(e jω )P n(e jω ) Matematicamente: C(e jω )P n(e jω )[1l m(e jω )] C(e jω )P n(e jω ) < 1C(e jω )P n(e jω ), π > ω > 0 Assim, l m(e jω ) < 1C(e jω )P n(e jω ) C(e jω )P n(e jω ), π > ω > 0 Prof. Tito Luís Maia Santos 20/ 30

24 Problema de controle robusto Análise de Robustez Imag 1 Real B A C(e jω )P n(e jω )(1l m(e jω )) C(e jω )P n(e jω ) Matematicamente: C(e jω )P n(e jω )[1l m(e jω )] C(e jω )P n(e jω ) < 1C(e jω )P n(e jω ), π > ω > 0 Assim, l m(e jω ) < 1C(e jω )P n(e jω ) C(e jω )P n(e jω ), π > ω > 0 Prof. Tito Luís Maia Santos 20/ 30

25 Problema de controle robusto Observações A condição de estabilidade robusta l m(e jω ) < 1C(e jω )P n(e jω ) C(e jω )P n(e jω ), π > ω > 0 pode ser expressa como C(z)l m(z) sup C(e jω )l m(e jω ) < 1 ω onde C(z) = P(z)C(z)/(1P(z)C(z)). Ela é conservadora uma vez que não se considera a informação da fase. Ela é condição suficiente e necessária para a estabilidade robusta da família de plantas Π. Prof. Tito Luís Maia Santos 21/ 30

26 Problema de controle robusto Análise via pequeno ganho du r e dy u y C Pn l M l Note que M M(z) = Pn(z)C(z) 1P n(z)c(z) = C(z) C(ejω )l(e jω ) = M(e jω )l(e jω ) < 1. Prof. Tito Luís Maia Santos 22/ 30

27 Sumário 1 Introdução 2 Revisão - descrição de incertezas 3 Requisitos de malha 4 Problema de controle robusto 5 Introdução ao projeto IMC 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 23/ 30

28 Introdução ao projeto IMC Projeto por modelo interno - plantas estáveis de fase mínima du dy r u y H d Pn 1 P n P n F r Estrutura do controlador IMC para plantas estáveis de fase mínima. estrutura de dois graus de liberdade H d (z) afeta a referência. F r (z) afeta a malha. Prof. Tito Luís Maia Santos 24/ 30

29 Introdução ao projeto IMC Projeto por modelo interno - plantas estáveis de fase-mínima r e u H d Pn 1 du P dy y n P n F r Na ausência de incertezas temos que y(z) r(z) = H d(z). Problema de resposta à referência é direto. Como lidar com S e C? Prof. Tito Luís Maia Santos 25/ 30

30 Introdução ao projeto IMC Projeto por modelo interno - plantas estáveis de fase-mínima du dy r e u y H d Pn 1 P n P n F r du dy r u y H d Pn 1 P F r P n Comparando com o controlador clássico F(z) = H d(z) F r(z) e F r C(z) = Fr(z)P 1 n (z) 1 F r(z) Prof. Tito Luís Maia Santos 26/ 30 n

31 Introdução ao projeto IMC Representação equivalente - plantas estáveis de fase-mínima Na forma padrão temos F(z) = H d(z) F r(z) e C(z) = Fr(z)P 1 n (z). 1 F r(z) Por razões de causalidade g r[f r(z)] g r[p n(z)] e g r[h d (z)] g r[f r(z)]. CalculandoS = 1/(1P n(z)c(z)) e C = 1 S temos S = 1 F r(z) e C = F r(z). du dy r rf e u y F C P Prof. Tito Luís Maia Santos 27/ 30

32 Introdução ao projeto IMC Representação equivalente - plantas estáveis de fase-mínima Na forma padrão temos F(z) = H d(z) F r(z) e C(z) = Fr(z)P 1 n (z). 1 F r(z) Por razões de causalidade g r[f r(z)] g r[p n(z)] e g r[h d (z)] g r[f r(z)]. CalculandoS = 1/(1P n(z)c(z)) e C = 1 S temos S = 1 F r(z) e C = F r(z). du dy r rf e u y F C P Prof. Tito Luís Maia Santos 27/ 30

33 Introdução ao projeto IMC Resumo do procedimento de síntese Com H d (z) ajusta-se Com F r(z) ajusta-se y(z) r(z) = H d(z) C = F r(z) Por razões de causalidade g r[f r(z)] g r[p n(z)] e g r[h d (z)] g r[f r(z)]. Se F r(1) = 1, então C(1) = [P 1 (1)F r(1)]/[1 F r(1)]. du dy r u y H d Pn 1 P n P n F r Prof. Tito Luís Maia Santos 28/ 30

34 Sumário 1 Introdução 2 Revisão - descrição de incertezas 3 Requisitos de malha 4 Problema de controle robusto 5 Introdução ao projeto IMC 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 29/ 30

35 Comentários Finais Discutiu-se a respeito da representação de incertezas; Apresentou-se um procedimento frequencial para análise de robustez; Introduziu-se o conceito do controlador IMC. Prof. Tito Luís Maia Santos 30/ 30