Escolha do Período de Amostragem
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- Antônia Delgado
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1 Escolha do Período de Amostragem Notas de Aula: ELT013 - Controle Digital Prof. Bruno Teixeira brunoot@ufmg.br Departamento de Engenharia Eletrônica (DELT) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) 3 de Março de 2017 Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
2 Motivação Motivação O primeiro passo para se projetar um sistema de controle digital é a escolha do período de amostragem dos sinais envolvidos. Como fazê-lo? 1 Seborg, D.E., Mellichamp, D.A., Edgar, T.F., & Doyle III, F.J. (2011): Process Dynamics and Control. Wiley, 3a. edição. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
3 Motivação Motivação O primeiro passo para se projetar um sistema de controle digital é a escolha do período de amostragem dos sinais envolvidos. Como fazê-lo? A seleção do período de amostragem permanece mais como uma arte do que uma ciência. 1 1 Seborg, D.E., Mellichamp, D.A., Edgar, T.F., & Doyle III, F.J. (2011): Process Dynamics and Control. Wiley, 3a. edição. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
4 Motivação Motivação Geralmente, o desempenho de um controlador digital melhora com o aumento da taxa de amostragem. No entanto, nesse caso, o custo de implementação também aumenta. Portanto, a melhor escolha é a taxa de amostragem mais lenta que garanta satisfação dos critérios de desempenho. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
5 Motivação Motivação Geralmente, o desempenho de um controlador digital melhora com o aumento da taxa de amostragem. No entanto, nesse caso, o custo de implementação também aumenta. Portanto, a melhor escolha é a taxa de amostragem mais lenta que garanta satisfação dos critérios de desempenho. Tanto o desempenho transitório quanto a estabilidade assintótica do sistema de controle são afetados pela escolha do período de amostragem. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
6 Motivação Motivação Geralmente, o desempenho de um controlador digital melhora com o aumento da taxa de amostragem. No entanto, nesse caso, o custo de implementação também aumenta. Portanto, a melhor escolha é a taxa de amostragem mais lenta que garanta satisfação dos critérios de desempenho. Tanto o desempenho transitório quanto a estabilidade assintótica do sistema de controle são afetados pela escolha do período de amostragem. Ao diminuir a taxa de amostragem, aumenta-se a sensitividade do sistema de controle digital à incertezas na dinâmica do processo. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
7 Teorema da Amostragem Quando se fala em escolha do período de amostragem T s, a primeira ferramenta que vem à mente é o Teorema da Amostragem. Segundo esse teorema, um sinal Y (jω) limitado em banda deve ser amostrado com uma frequência de amostragem ω s satisfazendo a relação ω s > 2ω M, em que ω s = 2π T s e ω M é a máxima frequência do sinal do sinal Y (jω), tal que Y (jω) = 0, ω > ω M. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
8 Teorema da Amostragem Quando se fala em escolha do período de amostragem T s, a primeira ferramenta que vem à mente é o Teorema da Amostragem. Segundo esse teorema, um sinal Y (jω) limitado em banda deve ser amostrado com uma frequência de amostragem ω s satisfazendo a relação ω s > 2ω M, em que ω s = 2π T s e ω M é a máxima frequência do sinal do sinal Y (jω), tal que Y (jω) = 0, ω > ω M. Considerando que o sinal Y (jω) é gerado a partir de um sistema qualquer representado pela resposta em frequência G(jω) e que, em casos práticos, nenhum sistema se comporta como um filtro ideal, não é trivial usar esse teorema para escolha do período de amostragem de um sinal. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
9 Teorema da Amostragem Assim, em vez de se considerar a máxima frequência ω M, considera-se a frequência ω B da banda de passagem 2 do sistema. 2 A frequência ω B é definida como aquela na qual a resposta em frequência G(jω) do sistema tem magnitude 3dB abaixo da magnitude observada em baixas frequências (ω 0). 3 Seborg, D.E., Mellichamp, D.A., Edgar, T.F., & Doyle III, F.J. (2011): Process Dynamics and Control. Wiley, 3a. edição. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
10 Teorema da Amostragem Assim, em vez de se considerar a máxima frequência ω M, considera-se a frequência ω B da banda de passagem 2 do sistema. Uma diretriz comum é definir a frequência de amostragem ω s satisfazendo a relação 3 6ω B ω s 25ω B. 2 A frequência ω B é definida como aquela na qual a resposta em frequência G(jω) do sistema tem magnitude 3dB abaixo da magnitude observada em baixas frequências (ω 0). 3 Seborg, D.E., Mellichamp, D.A., Edgar, T.F., & Doyle III, F.J. (2011): Process Dynamics and Control. Wiley, 3a. edição. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
11 Teorema da Amostragem Outras referências sugerem uma taxa de amostragem maior a fim de produzir uma resposta mais suave e limitar os passos da ação de controle: 4 20ω B ω s 40ω B. 4 Franklin, G.F., Powell, J.D., & Workman, M. (1998): Digital Control of Dynamic Systems. Ellis-Kagle Press, 3a. edição Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
12 Teorema da Amostragem Outras referências sugerem uma taxa de amostragem maior a fim de produzir uma resposta mais suave e limitar os passos da ação de controle: 4 20ω B ω s 40ω B. Nesse caso, o atraso de resposta provocado pela amostragem (considere o efeito do segurador de ordem zero) seria menor que 10% do tempo de subida da resposta e a degradação de desempenho na rejeição à perturbação seria atenuada. 4 Franklin, G.F., Powell, J.D., & Workman, M. (1998): Digital Control of Dynamic Systems. Ellis-Kagle Press, 3a. edição Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
13 Domínio do Tempo O período de amostragem T s dos sinais do sistema de controle pode ser escolhido em função: Da constante de tempo τd dominante do sistema: 5 0,01τ d T s 0,05τ d. 5 Astrom, K.J. & Wittenmark, B. (1997): Computer-Controlled Systems - Theory and Design. Prentice Kall: 3a edição. 6 Idem Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
14 Domínio do Tempo O período de amostragem T s dos sinais do sistema de controle pode ser escolhido em função: Da constante de tempo τd dominante do sistema: 5 0,01τ d T s 0,05τ d. Do tempo de acomodação t s do sistema: 6 t s 15 T s t s 6. 5 Astrom, K.J. & Wittenmark, B. (1997): Computer-Controlled Systems - Theory and Design. Prentice Kall: 3a edição. 6 Idem Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
15 Domínio do Tempo O período de amostragem T s dos sinais do sistema de controle pode ser escolhido em função: Da constante de tempo τd dominante do sistema: 5 0,01τ d T s 0,05τ d. Do tempo de acomodação t s do sistema: 6 t s 15 T s t s 6. Da localização dos polos do sistema em malha aberta: Para sistemas sobreamortecidos: quantas amostras por constante de tempo τ d? 1 Para sistemas subamortecidos: quantas amostras por ou por ζω n período de oscilação natural 2π? ω n 5 Astrom, K.J. & Wittenmark, B. (1997): Computer-Controlled Systems - Theory and Design. Prentice Kall: 3a edição. 6 Idem Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
16 Malha Fechada Também é preciso considerar a resposta do sistema em malha fechada T (jω) na escolha do período de amostragem T s. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
17 Malha Fechada Também é preciso considerar a resposta do sistema em malha fechada T (jω) na escolha do período de amostragem T s. Em alguns casos, pode ser necessário reduzir o período de amostragem T s para tratar a rejeição a perturbação em plantas com atraso puro de tempo θ significativo. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
18 Malha Fechada Uma diretriz para escolha da frequência de amostragem ω s é: 7 6ω Bcl ω s 25ω Bcl, em que ω Bcl é a banda de passagem da resposta em frequência T (jω) do sistema em malha fechada. 7 Landau, I.D. & Zito, G. (2007): Digital Control Systems. Springer. 8 Franklin, G.F., Powell, J.D., & Workman, M. (1998): Digital Control of Dynamic Systems. Ellis-Kagle Press, 3a. edição. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
19 Malha Fechada Uma diretriz para escolha da frequência de amostragem ω s é: 7 6ω Bcl ω s 25ω Bcl, em que ω Bcl é a banda de passagem da resposta em frequência T (jω) do sistema em malha fechada. Geralmente, as taxas de amostragem 1/T s devem ser 30 vezes mais rápidas do que a banda de passagem a fim de garantir que o controlador digital consiga ter desempenho próximo de sua versão contínua. 8 7 Landau, I.D. & Zito, G. (2007): Digital Control Systems. Springer. 8 Franklin, G.F., Powell, J.D., & Workman, M. (1998): Digital Control of Dynamic Systems. Ellis-Kagle Press, 3a. edição. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
20 Malha Fechada Sistemas pouco amortecidos Para sistemas sub-amortecidos para os quais a frequência de ressonância ω r é maior que a frequência da banda de passagem ω B, recomenda-se adicionalmente que 9 ω s > 2ω r. 9 Franklin, G.F., Powell, J.D., & Workman, M. (1998): Digital Control of Dynamic Systems. Ellis-Kagle Press, 3a. edição. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
21 Exemplo Efeito da Taxa de Amostragem no Desempenho em Malha Fechada Exemplo 3.2 de (Franklin, Powell & Workman, 1998) 1 Considere o processo G(s) = para o qual o compensador s(s + 1) analógico D(s) = 70 s + 2 foi projetado. Deseja-se emular esse s + 10 compensador em um microprocessador digital. Compare o desempenho do sistema em malha fechada, considerando três situações: implementação analógica implementação digital com taxa de amostragem f s = 20Hz implementação digital com taxa de amostragem f s = 40Hz Veja Ex PeriodoDeAmostragem1.m. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
22 Exemplo Escolha da Taxa de Amostragem Exemplo 3.4 de (Franklin, Powell & Workman, 1998) Considere o micro servomotor G(s) =, cuja entrada é tensão (V) e saída (s + 60)(s + 600) velocidade (rad/s), para o qual o controlador PID analógico com parâmetros K = 5, T D = 0,0008s e T I = 0,003s foi projetado. Deseja-se emular esse controlador em um microprocessador digital. Considere que o controlador PID analógico seja aproximado pela seguinte equação de diferenças [( u(k) = u(k 1) + K 1 + T + T ) ( D e(k) T ) D e(k 1) + T ] D e(k 2), T I T T T em que e(k) é o sinal de erro (rad/s) e u(k) é a ação de controle (V). Compare o desempenho do sistema em malha fechada digital com a abordagem analógica. Veja Ex PeriodoDeAmostragem2.m. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
23 Sugestão de leitura Franklin, G.F., Powell, J.D., & Workman, M. (1998): Chapter 11 - Sample Rate Selection, Digital Control of Dynamic Systems. Ellis-Kagle Press, 3a. edição. Prof. Bruno Teixeira (DELT/UFMG) Escolha do Período de Amostragem 3 de Março de / 12
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